初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）2 二元一次方程组的解法教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）2 二元一次方程组的解法教案设计，共19页。教案主要包含了置疑导入，情境导入，课堂引入，探究新知，典型例题，变式训练，课堂检测等内容，欢迎下载使用。
新课导入设计
【置疑导入】
问题：体育节要到了，篮球是七年级(1)班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么七年级(1)班应该胜、负各几场？
你会用二元一次方程组解决这个问题吗？
根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以很容易地列出方程组：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝22， ①,2x＋y＝40.②))
那么有哪些方法可以求得这个二元一次方程组的解呢？
教学设计
教学活动
续表
续表
续表
第2课时 加减消元法
新课导入设计
【情境导入】
如图，第一个天平的左边有三块积木，质量分别是x克、y克、y克，右边有四块砝码，质量都是1克，此时天平平衡．
第二个天平的左边有两块积木，质量分别是x克、y克，右边有三块砝码，质量都是1克，此时天平平衡．
如果第三个天平的左边只放一块质量是y克的积木，那么天平的右边应该放几块质量是1克的砝码才能使得天平平衡？说出你的理由．
教学设计
教学活动
续表
续表
续表
课题
第1课时 代入消元法
授课人
素养目标
1.了解解方程组的基本思想是“消元”，掌握代入消元法解二元一次方程组．
2．在解决问题的过程中学会交流与合作，感受二元一次方程组的实际应用价值.
教学重点
用代入法解二元一次方程组的基本步骤.
教学难点
探究如何用代入消元法将“二元”转化为“一元”的过程.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.下列方程是二元一次方程吗？
(1)x＋3y＝7；(2)2y＋2＝0；(3)2x－3＝5；(4)eq \f(x,3)－eq \f(y,2)＝1.
2．你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗？
3．解一元一次方程的步骤是什么？
回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
上节课我们学习了栽树问题，经过大家的共同努力，得出了二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,x＋1＝2（y－1）.))小明和小颖分别栽种了多少株绿植呢？这就需要我们去解这个二元一次方程组．我们会解一元一次方程，那么二元一次方程组如何解呢？
通过提出实际问题，充分调动学生的积极性，激发学生的学习动力和兴趣.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
问题1：栽树问题中，你能否列一元一次方程？如何求解？
解：设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了(x－2)株绿植．
根据题意，得x＋1＝2(x－2－1)，
x＋1＝2x－4－2，x－2x＝－4－2－1，－x＝－7，x＝7.
问题2：针对同样的问题，如何求二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,x＋1＝2（y－1）))的解呢？
提示：(1)对照一元一次方程的解法，问题2比问题1多了一个未知数y，y相当于问题1中的____________．
(2)一元一次方程会解，如何解二元一次方程呢？能否化成一元一次方程？换句话说，多出来的未知数y可以转化成____________，然后代入____________．
学生自己分析求解，教师规范解题格式．
解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2， ①,x＋1＝2（y－1）. ②))
由①，得y＝x－2.③
将③代入②，得x＋1＝2(x－2－1)．解得x＝7.
将x＝7代入③，得y＝5.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝5.))
探索与归纳：
(1)给前面解方程组的方法取个什么名字好？
(2)解方程组的基本思路是什么？
(3)解方程组的主要步骤有哪些？
代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法叫代入消元法，简称代入法．
基本思路：二元一次方程组⇨一元一次方程
解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程．
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值．
第四步：回代求出另一个未知数的值．
第五步：把方程组的解表示出来．
1.通过利用一元一次方程解决实际问题，引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”，调动学生思考问题的积极性，同时提高学生分析问题、解决问题的能力．
2．通过问题罗列及小组讨论，让学生发挥学习的主动性，同时让学生养成学会观察、分析、归纳的好习惯.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】

例1 (教材第115页例1)解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝14，①,x＝y＋3.②))
解：将②代入①，得3(y＋3)＋2y＝14.
解得y＝1.
将y＝1代入②，得x＝4.
经检验，x＝4，y＝1适合原方程组．
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1.))
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
例2 (教材第116页例2)解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝16，①,x＋4y＝13.②))
解：由②，得x＝13－4y.③
将③代入①，得2(13－4y)＋3y＝16.
解得y＝2.
将y＝2代入③，得x＝5.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2.))
师生活动：学生独立思考后分小组讨论，最后完成解答，教师鼓励并肯定学生“消元”方法的多样性．
【变式训练】
1．用代入法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝2，①,4x＋1＝9y，②))正确的解法是(2)(3)．
(1)先将①变形为x＝eq \f(3y－2,2)，再代入②；
(2)先将①变形为y＝eq \f(2－2x,3)，再代入②；
(3)先将②变形为x＝eq \f(9y－1,4)，再代入①；
(4)先将②变形为y＝9(4x－1)，再代入①.
2．先阅读材料，然后解方程组．
材料：
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，①,3（x＋y）＋y＝14.②))
在本题中，先将x＋y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4＋y＝14，解得y＝2.
将y＝2代入①，得x＝2.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，①,4（x－y）－y＝5.②))
解：由①，得x－y＝1.③
将③代入②，得4－y＝5，解得y＝－1.
将y＝－1代入③，得x＝0.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1.))
师生活动：学生分小组讨论并作答，教师巡堂并对学习有困难的学生给予及时指导点拨，最后由教师统一进行讲解．
1.两道典型例题先易后难，进一步巩固所学新知，加强对代入法解二元一次方程组的训练．
2．变式训练通过增加题目的难度，培养学生的团队合作意识，提高学生的分析能力，增强学生思维的灵活性.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】

1.代入法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝7，,y＝1－x))时，代入正确的是(C)
A．x－2－x＝7 B．x－2－2x＝7
C．x－2＋2x＝7 D．x－2＋x＝7
2．用代入法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2s＋t＝1，①,3s－5t＝8，②))下面四个选项中正确的是(C)
A．由②得t＝eq \f(3s＋8,5)，再代入①
B．由②得s＝eq \f(8－5t,3)，再代入①
C．由①得t＝1－2s，再代入②
D．由①得s＝eq \f(1＋t,2)，再代入②
3．用代入法解方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－3，,3x＋2y＝8；)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝5，,3x＋4y＝2.))
解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－3，①,3x＋2y＝8，②))
将①代入②，得
3x＋2(2x－3)＝8，
解得x＝2.
将x＝2代入①，得y＝1.
故方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.)) 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝5，①,3x＋4y＝2，②))
由①，得y＝2x－5.③
将③代入②，得3x＋4(2x－5)＝2，
解得x＝2.
将x＝2代入③，得y＝－1.
故方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置当堂检测，使学生进一步巩固新知，及时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说．
2．布置作业：
教材第117页随堂练习第1题；教材第119页习题5.2第1题.
学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计
第1课时 代入消元法
1．基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”．
2．一般步骤：①变；②代；③解．
提纲挈领，重点突出.
教学反思
通过对比“一元一次方程的解法”，学生能理解“二元转一元”的核心思想，大部分学生能独立完成简单方程的代入消元．需关注学生变形时的符号处理和代入的准确性，对基础较弱的学生单独指导，后续可对比代入消元法与加减消元法，深化“消元”思想的应用．
反思，更进一步提升.
课题
第2课时 加减消元法
授课人
素养目标
1.会用加减消元法解二元一次方程组．
2．在用加减消元法解二元一次方程组的过程中，会用不同解法解同一问题.
教学重点
用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤.
教学难点
对用加减消元法解方法组过程的理解.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
2．用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？
回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
怎样解下面的方程组？
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))
小明：把②变形得x＝eq \f(5y－11,2)，代入①，不就消去x了！
小亮：把②变形得5y＝2x＋11，可以直接代入①呀！
小丽：5y和－5y互为相反数……
按小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
以实例引入，既巩固旧知，又引入新课.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
解法1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))
解：由②，得x＝eq \f(5y－11,2)，③
把③代入①……
解法2：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))
解：由②，得5y＝2x＋11，③
把5y当作整体，将③代入①……
(此种解法体现了整体的思想)
解法3：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))
解：①＋②，得5x＝10，解得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝3.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))
师生活动：学生先独立对方程组进行求解，然后分小组进行解法的交流，并比较解法的复杂程度，最终教师进行引导，帮助归纳得到加减消元法的特点和思路．
归纳：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数互为相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，则可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法．
特点：某一个未知数的系数相同或互为相反数．
基本思路：二元―→一元．
主要步骤：
(1)加减消去一个元；
(2)分别求出两个未知数的值；
(3)写出方程组的解．
1.通过对一道练习题的解答，鼓励学生一题多解，不要局限于教师教过的方法，而要注意观察、发现题目中的特点，找到解决问题的其他方法，同时通过一题多解，拓展学生的思维．
2．总结归纳加减消元法的解题思路、步骤，让学生体会加减消元法与代入消元法的区别，合理恰当地选择解题方法.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】

例1 (教材第117页例3)解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5y＝7，①,2x＋3y＝－1.②))
分析：观察到方程①和②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
解：②－①，得8y＝－8，解得y＝－1.
把y＝－1代入①，得2x＋5＝7，解得x＝1.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
1.典型例题进一步巩固所学新知，同时锻炼学生观察、分析、发现问题的能力，使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
例2 (教材第118页例4)解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝12，①,3x＋4y＝17.②))
解：①×3，得6x＋9y＝36.③
②×2，得6x＋8y＝34.④
③－④，得y＝2.
把y＝2代入①，得x＝3.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2.))
师生活动：学生独立完成解答，教师巡堂并鼓励学生自主选择所要消去的未知数，最后进行讲解．
【变式训练】
阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(14x＋15y＝16，①,17x＋18y＝19②))时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
②－①，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1.③
③×14，得14x＋14y＝14.④
①－④，得y＝2，从而得x＝－1.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
请你运用上述方法解方程组：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2 008x＋2 009y＝2 010，,2 011x＋2 012y＝2 013.))
解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2 008x＋2 009y＝2 010，①,2 011x＋2 012y＝2 013，②))
②－①，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1.③
①－③×2 008，得y＝2.
将y＝2代入③，得x＋2＝1，解得x＝－1.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
师生活动：学生分小组讨论，教师巡堂进行指导和点拨，最后教师进行讲解．
2.变式训练间接通过加减对方程进行变形，然后再进行求解，锻炼学生阅读和举一反三的能力.
活动四：课堂检测
【课堂检测】

1.用加减法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝1，,3x－2y＝8)) 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形结果：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋9y＝1，,6x－4y＝8；)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋6y＝1，,9x－6y＝8；)) (3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋9y＝3，,－6x＋4y＝－16；)) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋6y＝2，,9x－6y＝24，)) 其中变形正确的是(B)
A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4)
2．解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝1，①,3x－6y＝7②))时，用加减法消去y，需要(C)
A．①×2－② B．①×3－②×2
C．①×2＋② D．①×3＋②×2
通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
3.用加减消元法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝6，,4x－3y＝2，)) 若先求出x的值，应先将两个方程相加；若先求出y的值，应先将两个方程相减．
4．用加减消元法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，,x－y＝－1；)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋7y＝－19，,6x－5y＝17；))
(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＝9，,x－y＝7；)) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝3，,3x＋4y＝－1.))
解：(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－3.))
(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－12.))
(4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说．
2．布置作业：
教材第118页随堂练习第1题；教材第119页习题5.2第2题.
学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计
第2课时 加减消元法
加减消元法：
1．基本思路：二元―→一元．
2．主要步骤：
(1)加减消去一个元；
(2)分别求出两个未知数的值；
(3)写出方程组的解．
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生在已有知识的基础上，自然地过渡到加减消元法的学习．在讲授新课环节，通过具体的方程组引导学生探索加减消元法的原理和步骤，并通过例题的讲解，让学生逐步掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法．课堂练习环节，学生能够积极参与，大部分学生能够正确运用加减消元法解题，但仍有部分学生在计算过程中出现错误，需要在今后的教学中加强对学生计算能力的训练．同时，在教学过程中，要更加注重引导学生自主思考和探索，培养学生的创新思维和解决问题的能力．
反思，更进一步提升.