初中数学北师大版（2024）八年级上册8*三元一次方程组教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册8*三元一次方程组教案设计，共6页。

1.理解三元一次方程、三元一次方程组及其解的概念.
2.能解简单的三元一次方程组,掌握解三元一次方程组过程中化“三元”为“二元”,再化为“一元”的思路,进一步体会“消元”思想.
3.会利用三元一次方程组解决实际问题,进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习重点
理解和掌握三元一次方程、三元一次方程组及其解的概念.
学习难点
理解和掌握三元一次方程组的解法.
课时活动设计
情境引入
已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的2倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
引导学生小组讨论,准确地找到等量关系,列出方程.教师参与并给予点评,依据已有知识和题目特点,预设学生回答.
设计意图:在已有知识背景的前提下,通过情境问题引入新课,充分调动学生的学习积极性.
探究新知
探究1 三元一次方程(组)的概念
在教学活动1的问题中,设甲数为x,乙数为y,由题意可得到方程组:x+y+z=23,x-y=1,2x+y-z=20.
观察方程x+y+z=23和2x+y-z=20.
1.它们有什么共同特点?
2.类比二元一次方程,你能说出这两个方程是什么方程吗?
3.那么上面的方程组应该叫做什么方程组呢?
4.什么是三元一次方程组的解?
分析:类比学习二元一次方程,指导学生讨论回答,教师总结归纳.对于问题3学生可能会产生分歧,教师应进行适当点拨.
解:1.它们都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1.
2.三元一次方程.
3.三元一次方程组,类比二元一次方程组,三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数,只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,就是三元一次方程组.
4.三元一次方程组中各个方程的公共解.
探究2 三元一次方程组的解法(类比解二元一次方程组把“三元”化成“二元”.)
观察下列三元一次方程组.
x+y+z=23,①x-y=1,②2x+y-z=20.③
问题1:解这个三元一次方程组.
教师引导学生思考并给予适当提示,小组展开讨论并尝试解题,组内展示后派代表发言,教师参与学生讨论并及时矫正在此过程中出现的问题.
小组展示思路:由②得x=y+1,把它代入①和③就可以消掉x,得到两个关于y和z的方程,把它们联立成一个二元一次方程组,就可求出y和z的值,再求x的值即可.
解:由方程②,得x=y+1.④
把④分别代入①③,得2y+z=22,⑤3y-z=18.⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得y=8,z=6.
把y=8代入④,得x=8+1=9.
经检验,x=9,y=8,z=6适合原方程组.
所以原方程组的解是x=9,y=8,z=6.
问题2:(1)刚才我们利用代入消元法消去未知数x,化“三元”为“二元”,从而解出了这个方程,你能用代入消元法先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗?
(2)这个方程组还有其他的解法吗?
利用已有解题经验,根据各方程所含字母特点,引导学生小组讨论、交流解题过程,并由学生展示解题思路,教师根据学生回答点评矫正.
解:(1)能.由方程②,得y=x-1.④
把④分别代入①③,得2x+z=24,3x-z=21.
解这个方程组,得x=9,z=6.
把x=9代入④,得y=8.
所以原方程组的解是x=9,y=8,z=6.
(2)有,还可以用加减消元法.
解法1:用①+③,得3x+2y=43.④
联立②④,得方程组x-y=1,3x+2y=43.
解这个方程组,得x=9,y=8.
把x=9,y=8代入①,得z=6.
所以原方程组的解是x=9,y=8,z=6.
解法2:①+②,得2x+z=24.④
②+③,得3x-z=21.⑤
联立④⑤,解得x=9,z=6.
把x=9代入②,得y=8.
所以原方程组的解是x=9,y=8,z=6.
设计意图:结合具体实例,利用类比法学习三元一次方程、三元一次方程组及其解的有关概念,通过小组合作学习,师生共同分析,总结三元一次方程组的解法,进一步加深学生对三元一次方程组的理解,让学生明确解三元一次方程组的基本思想是“消元”,方法仍为代入消元法和加减消元法.
归纳总结
上述不同的解法有什么共同之处?与二元一次方程组的解法有什么联系?解三元一次方程组的基本思路是什么?
基于对二元一次方程组的充分探究,可以让学生尝试利用类比方法解决问题.在问题的解决过程中,可以采取小组内交流展示形式,对于出现的问题,教师及时予以指出.
小组展示结论:解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”再化为“一元”,即
三元一次方程组二元一次方程一元一次方程
设计意图:对所学内容进行总结和梳理,培养学生合作探究和归纳总结的能力.
典例精讲
例 解三元一次方程组:x+y+z=15,①x+y=8,②3x+2y-z=11.③
解:①+③,得4x+3y=26.④
②×3,得3x+3y=24.⑤
④-⑤,得x=2
把x=2代入②,得y=6.
把x=2,y=6代入①,得z=7.
所以原方程组的解是x=2,y=6,z=7.
设计意图:通过例题,及时巩固所学知识,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
解下列方程组:
(1)x-2y=-9,y-z=4,2z+x=47; (2)3x-y+2z=3,2x+y-3z=11,x+y+z=12.
解:(1)x=23,y=16,z=12; (2)x=3,y=8,z=1.
设计意图:通过练习,进一步巩固对所学知识的应用,发挥学生作为数学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
课堂小结
1.三元一次方程、三元一次方程组及其解的概念是什么?
2.解三元一次方程组的基本思路是什么.
3.三元一次方程组的解法有哪些?
设计意图:通过小结,帮助学生梳理知识,让学生养成及时整理的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第131页习题5.9第1,2,3题.
2.七彩作业.
*5.8 三元一次方程组
教学反思


三元一次方程:
三元一次方程组:
三元一次方程组的解:
三元一次方程的解法
例题