福建省莆田市荔城区2024-2025学年八年级下学期期末质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省莆田市荔城区2024-2025学年八年级下学期期末质量检测数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A. B. 0C. πD. 7
【答案】D
【解析】要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数，
解得．
选项A：，不符合；
选项B：，不符合；
选项C：，不符合；
选项D：，符合条件；
故选：D．
2. 若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵y关于x的函数是正比例函数，
∴，
故选：B.
3. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（ ）
A. 6，7B. 7，6C. 7，7D. 7，8
【答案】C
【解析】这组数据中出现次数最多的是数据7，
所以这组数据的众数为7，
将数据重新排列为4，6，7，7，8，
则这组数据的中位数为7，
故选：C．
4. 如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】点，是和的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
5. 下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．由可知总份数为12，最大角，是锐角三角形，不能判定为直角三角形；
B．由，符合勾股定理逆定理，c为斜边，能判定为直角三角形；
C．，代入内角和得，故，能判定为直角三角形；
D．边比为，验证得，满足勾股定理，能判定为直角三角形；
故选A．
6. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B. 对角线相等的平行四边形是菱形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 对角线相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项错误，不符合题意;
B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项错误，不符合题意，
C、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意
D、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，本选项错误，不符合题意，
故选：C．
7. 如图，在中，对角线、相交于点O，经过点O，交于E，交于F，若，，，则四边形的周长为（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】C
【解析】，
，，，，
，
又，
，
，，
，
的周长为20，
四边形的周长
．
故选：C．
8. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表：当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】观察表格，可知油温随时间呈线性变化，
设油温y与时间t的函数关系为，
将，代入得：
，
解得：，
即油温y与时间t函数关系为，
将代入得，
故选：C．
9. 如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴设正方形的边长为a，
∴，
∴，
如图所示，连接，过点作交的延长线于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
10. 某校开展数学文化节，向同学们征集文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以边，，为直径向外画半圆．若要求的面积，只要知道（ ）
A. 月形图形的面积
B. 月形图形的面积
C. 月形图案的面积与月形图案的面积之差
D. 月形图案的面积与月形图案的面积之和
【答案】D
【解析】记，，，，
以为的直径的半圆面积，
以为直径的半圆面积，
以为直径的半圆面积，
∵，
∴，
∴(阴影阴影)，
∴阴影阴影，
∴要求的面积，只要知道月形图案的面积与月形图案的面积之和．
故选：D.
二．填空题
11. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______．
【答案】
【解析】将直线y=2x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=2x+2．
故答案为：y=2x+2．
12. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等”，则这个逆命题是假命题；
例如：，但；
故答案为：假．
13. 在学校运动会跳高比赛中，新手的表现通常不太稳定，小李对五轮比赛后甲、乙两位选手的比赛成绩进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则根据图中信息判断可能是新手的是_______（填“甲”或“乙”）.
【答案】乙
【解析】通过折线统计图中数据的波动范围可知，乙的波动范围较大，所以，乙可能是新手，通过方差进行验证如下：
（分）；
（分）；
；
；
∵，
∴可能是新手的是乙，
故答案为：乙．
14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_________.
【答案】
【解析】由两个一次函数图象的交点可知，交点的左侧直线在直线的上方，
∴当时，，
故答案为：．
15. 我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为______________.
【答案】
【解析】由的三边长分别为4，5，7，
得．
∴三角形的面积．
故答案为：．
16. 如图，在中，相交于点O，，过点B作于点E，若，则_______.
【答案】5
【解析】如图，过点A作垂直交延长线于点F，
设为x，为y，则为，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，即，
故答案为：5．
三．解答题
17. 计算：.
解：
．
18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
，
即，
又，
四边形是平行四边形．
19. 已知关于的一次函数：
（1）若随的增大而增大，求的取值范围；
（2）若该一次函数与正比例函数的图象交于点，求的值．
解：（1）∵关于的一次函数中，随的增大而增大，
∴ ，
解得；
（2）正比例函数的图象过点，
∴，即，
∵一次函数与正比例函数的图象交于点，
∴，解得．
20. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
（1）如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想，求笔记本电脑屏幕宽度的长；
（2）小组成员调整张角大小继续探索，当张角调整为某个特定角时（点是点A对应点），用眼舒适度较为理想．调整后，此时顶部边缘与A的水平距离，求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．
解：（1）∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴笔记本电脑屏幕宽度为；
（2）在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
∵且，
在中根据勾股定理得，
∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长为．
21. 为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足．
请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
（1）求统计表中a，b的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．
解：（1）根据题意，得，解得.
（2）不正确．正确的算法：甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：
（分）.
（3）根据扇形统计图可知，乙组学生竞赛成绩为70分，80分，90分，100分的人数占乙组总人数的百分比分别为40%，25%，25%，10%．
所以乙组20名学生竞赛成绩的平均分是：
（分），
因为，所以甲组竞赛成绩较好．
22. 2025年6月，全国各地持续高温催生“清凉消费”热潮，空调、冰箱等制冷家电需求激增，某商城为积极响应群众迫切需求，切实保障市场供应，计划批量采购冰箱和空调．已知每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28 000元．
（1）求每台冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商城购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？
解：（1）设每台冰箱的进价为x元，每台空调的进价为元，
由题意得，，
解得 ，
此时，
答：每台电冰箱进价为2 000元，每台空调进价为1 600元．
（2）设购进冰箱a台，利润为y元，由题意可得，
，
根据题意得：，
解得：，
∵，
∴y随a的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值为元，
此时台，
答：当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元．
23. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）图一菱形的面积与矩形的面积之比为 .
（2）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值．
解：（1）∵，，
∴，，
∴菱形的面积与矩形的面积之比为；
故答案为：；
（2）先连接对角线，
以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，
以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，
连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，
则四边形即为所求：
（3）方法一：在矩形中，，，
∴，
由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为，
∴菱形的面积为；
方法二：设菱形边长为x，即，
∵，，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴菱形边长为10，
∴菱形的面积为；
方法三：由方法二可知，同理可得菱形边长10，
∴菱形的面积为，
∵，
∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60．
24. 定义：一次函数是一次函数的“倍函数”，已知直线的解析式为，直线是直线的“倍函数”．
（1）请直接写出的解析式；
（2）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴交于点．
①直线上有一点且在第一象限，若直线，直线与轴无法围成三角形，，求点的坐标；
②若点是轴上一个动点，当时，求直线的解析式.
解：（1）∵直线是直线的“倍函数”，
∴的解析式为；
（2）①∵直线，直线与轴无法围成三角形，
直线上有一点且在第一象限，
∴，即，如图，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵直线与轴交于点，
当时，得：，
∴，
∴，
∵直线与轴，轴分别交于点，，
当时，得：；当时，得：，
∴，，
又∵在第一象限，
∴；
②若点在轴负半轴上，
∵，，，，，
∴，
∴ 是等腰直角三角形，
∴，
过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
又∵点在第三象限，
∴，
设直线的解析式为，
代入点，，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，得：，
∴，
∴；
若点在轴的正半轴上，设为点，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入点，，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
综上所述，直线的函数解析式为或．
25. 如图1，在正方形中，，点P为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线分别交，对角线于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接．
①若，求的值；
②设的面积为，的面积为，试探究的变化情况，请从以下结论中选择一个正确的并证明；
（i）随x的增大而增大；
（ii）随x的增大而减少；
（iii）为定值．
（1）证明：∵是线段的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形是正方形，
∴．
在中，
，
∴，
∴；
（2）①解：连接，过点 F 作交于点M，
在正方形中，，
又∵，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
，
∴，
在等腰中和等腰中，
，
∴ ，
；
②选（iii）证明：过点E作交于点N，
由（1）得，
∵ ，
，
，
过点F作交于点R，
过点E作交于点T，
易证得四边形为正方形，四边形为矩形，
∴，
∴
，
∴保持不变．时间t/
0
10
20
30
40
油温y/
10
30
50
70
90
成绩（分）
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
作矩形的最大内接菱形的方法
顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法．
方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形．
方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2）
方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形．
实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形．