初中数学青岛版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程与实际问题精品同步训练题

这是一份初中数学青岛版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程与实际问题精品同步训练题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如表是2024年12月的月历，任意圈出“十”字形框的5个数(如图所示)，发现这5个数的和不可能是()
A. 60B. 120C. 100D. 80
2.如图，大长方形中放有6个完全相同的小长方形，根据图中标注的尺寸，图中阴影部分的面积为( )
A. 16 cm2B. 44 cm2C. 60 cm2D. 84 cm2
3.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是( )
甲：设人数为x人，可列方程5x+45=7x+3；
乙：设羊价为y钱，可列方程为y+455=y+37．
A. 只有甲对B. 只有乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都错
4.龟和鹤都是长寿的动物，龟和鹤在一起的寓意是龟鹤齐龄、龟鹤延年．如图，王爷爷和李奶奶正在讨论一幅龟鹤延年的画，你能帮忙算一下龟、鹤各多少只吗？
琪琪的做法是：设鹤有x只，则可列方程为4x+226−x=76；
亮亮的做法是：设鹤的腿有x条，则可列方程为x2+76−x4=26．
关于这两位同学的做法，你认为( )
A. 只有琪琪正确B. 只有亮亮正确C. 琪琪和亮亮都正确D. 琪琪和亮亮都错误
5.如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55.不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是( )
A. 40B. 88C. 107D. 110
6.如图，在长方形ABCD中，AB：BC=5：4，位于点A的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于点C的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行，如果两只蚂蚁第一次在点B相遇，那么两只蚂蚁第二次相遇在( )边上．
A. ABB. BCC. CDD. DA
7.相传有神龟出于洛水，其背上有此图案(图1)，史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则x的值为( )
A. −3B. −8C. 5D. 9
8.如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm，则AB的长为( )
A. 5 cmB. 10 cmC. 15 cmD. 7.5 cm
9.我国古代数学著作《九章算术》，它以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.例如其中记载的买鸡问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数几何？”意思是：有若干人共同出钱买鸡，如果每人出9钱，那么多了11钱；如果每人出6钱，那么少了16钱.问：共有几个人？若设共有x人共同出钱买鸡，根据题意，可以列出方程为( )
A. 9x+11=6x−16B. 9x−11=6x+16
C. 6x+11=9x+16D. 9x+11=6x+16
10.如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是( )
A. 1002B. 1004C. 1006D. 1008
11.某学校要整理一批图书，若由1人整理，则需要45ℎ完成.现计划由一部分人先整理3ℎ，然后增加3人与他们一起整理6ℎ，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排的人数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
12.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程为( )
A. 3x−2=2x+9B. 3(x+2)=2x−9
C. 3x+2=2x−9D. 3(x−2)=2x+9
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若5−2m的结果是最大的负整数，则m的值为 ．
14.某市出租车的收费标准为：路程在3km以内(含3km)按起步价11元收取；路程超过3km，超过的部分按每千米2.2元收取，某人乘坐出租车后付款24.2元，则此人乘车的路程为 km．
15.某家具厂生产由一个桌面和三条桌腿组成的休闲茶桌，该厂共有27名工人，每人每天可生产5张桌面或12条桌腿，若分配x名工人生产桌面，其它工人生产桌腿，每天生产的桌面和桌腿恰好配套，则所列方程是 ．
16.如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为−16和6.现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当OP=4OQ时，运动时间t的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
A，B两地相距280km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发沿同一条公路相向行驶2ℎ相遇后，甲车继续以原速行驶1.5ℎ到达B地，乙车立即以原速原路返回B地．
(1)甲车的速度为______km/ℎ；乙车的速度为______km/ℎ；
(2)甲车到达B地时，求乙车距B地的路程；
(3)写出出发多长时间后两车在行驶途中相距20km．
18.(本小题8分)
某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(Ⅰ)这项工程的规定时间是多少天？
(Ⅱ)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作共同完成.则该工程施工需要多少天？
19.(本小题8分)
为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为22m3，每月生活用水的收费标准(单位：元/m3)及单价说明如表所示：
某居民某月用水10m3，共缴纳水费23元．
(1)求a的值；
(2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量．
20.(本小题8分)
列方程解应用题
商场准备将某商品打折出售，如果按原价的7.5折出售，每件将亏损25元；如果按原价的9折出售，每件将盈利20元，求该商品每件的原价是多少．
21.(本小题8分)
“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织52名同学做礼品盒送给敬老院的老人们.平均每人每天加工大礼品盒14个或小礼品盒10个.已知每个大礼品盒可以装3个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？
22.(本小题8分)
周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为600m的环形跑道，若把跑道从A，B，C，D处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从A，D两处同时出发，沿箭头方向相向而，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为5m/s，7m/s．
(1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置；
(2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距60m？
23.(本小题8分)
国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示：
(1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？
(2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？
24.(本小题8分)
已知点A在数轴上表示的数是−4，从点A出发向右平移7个单位长度得到点B．
(1)求出点B表示的数，画一条数轴并在数轴上标出点A和点B；
(2)在数轴上有一点C，点C到点A和点B的距离之和为11，求点C所表示的数；
(3)A，B从初始位置分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度同时向左运动，是否存在t的值，使t秒后点B到表示−2的点的距离与点A到原点的距离相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
随着城区面积不断扩大，使排水收水范围增大，雨污分流不能满足需求的问题日益凸显，为了完善城区排水管网系统，某县开始实施雨污分流项目，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需180天.若由甲先单独做30天，余下的工程由甲、乙共同工作50天可完成．
(1)请直接写出甲工程队的工作效率______；
(2)求乙单独完成该项工程需要多少天？
(3)甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付3.5万元工程费.若该工程计划在100天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设中间一个数为x，则有x−1+x+1+x+x−7+x+7=5x，
当5x=60时，x=12，符合题意；
当5x=120时，x=24，符合题意；
当5x=100时，x=20，符合题意；
当5x=80时，x=16，没有前一个数，不符合题意；
故选：D．
设中间一个数为x，剩下四个数为x−1、x+1、x−7、x+7，将 5个数的和相加即可得到答案．
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：设小长方形的长为x cm，则小长方形的宽为14−x3cm.由题意得2×14−x3+6=x+14−x3，解得x=8，所以14−x3=2.所以阴影部分的面积为(6+2×2)×14−2×8×6=44(cm2).
3.【答案】A
【解析】解：依题意，设人数为x人，可列方程5x+45=7x+3；甲对，
设羊价为y元，可列方程为y−455=y−37，
则乙错了；
故选：A．
根据“每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．”设人数为x人，可列方程5x+45=7x+3；设羊价为y钱，可列方程为y−455=y−37，即可作答．
本题考查了一元一次方程的实际应用，能列出方程是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】分别根据琪琪和亮亮设的未知数列出一元一次方程即可．
【详解】根据琪琪的做法可得，
设鹤有x只，则龟有26−x只，
∴根据题意列方程为2x+426−x=76，
∴琪琪的做法错误；
根据亮亮的做法可得，
设鹤的腿有x条，则龟的腿有76−x只，
∴根据题意列方程为x2+76−x4=26，
∴亮亮的做法正确；
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为x−8、x−6，下方两个数为x+8、x+6，得出五个数的和为5x，再结合各选项逐一列方程判断即可．
【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为x−8、x−6，下方两个数为x+8、x+6，
所以这五个数的和为x+x−8+x−6+x+6+x+8=5x，
若5x=40，解得x=8，此时左上数字为空，不符合题意；
若5x=88，解得x=17.6，不是整数，不符合题意；
若5x=107，解得x=21.4，不是整数，不符合题意；
若5x=110，解得x=22，符合题意；
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：设这个长方形的长和宽分别为5a和4a，
则长方形ABCD的周长为：(5a+4a)×2=9a×2=18a，
∵位于点A的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于点C的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行，如果两只蚂蚁第一次在点B相遇，
∴第一只蚂蚁爬行了5a，第二只蚂蚁爬行了4a，
∴两只蚂蚁的速度之比是5：4，
∴从B点出发再次相遇时它们爬行的路程比仍是5：4，
∵第一只蚂蚁路程为18a×55+4=10a，
∴第一只蚂蚁从B点爬了10a，第一只蚂蚁从B点爬了8a，
∵BC+CD=4a+5a=9a，
∴此时第一只蚂蚁已经爬过了C点，D点，
∴它们是在DA边上相遇．
故选：D．
由题干，第一次相遇在B点，可知第一只蚂蚁与第二只蚂蚁的速度比也是5：4，那么相遇后再相遇，它们的路程比仍是5：4，令这个长方形的长和宽分别为5和4，由此即可解决问题；此题的关键是抓住由路程比的关系得出速度比，根据长度比设出确切数据计算出结果从而判断二者相遇地点．
这道题主要考查行程问题中的相遇问题(重点是时间相同，路程比等于速度比)、长方形周长计算及比例应用，同时需要结合蚂蚁的爬行路线分析相遇位置．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.首先由4+5+6=15=5×3，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：∵4+5+6=15=5×3，
∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，
∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于中间的数(−5)的3倍，
∴−2−5+x=−5×3，
∴x=−8，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
首先证明△ABO≌△DCO，推出OA=OB，由∠AOD=90°，推出∠OAD=∠ODA=45°，由∠BAD=∠CDA=90°，推出∠BAO=∠CDO=45°，推出∠BAO=∠AOB，∠CDO=∠COD，推出AB=BO=OC=CD，设AB=CD=x，则BC=AD=2x，由题意x+x+2x+2x=30，解方程即可解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
在△ABD和△DCO中，
AB=DC∠B=∠COB=OC，
∴△ABO≌△DCO，
∴OA=OB，
∵∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴∠BAO=∠CDO=45°，
∴∠BAO=∠AOB，∠CDO=∠COD，
∴AB=BO=OC=CD，
设AB=CD=x，则BC=AD=2x，
由题意x+x+2x+2x=30，
∴x=5，
∴AB=5，
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：由题意得9x−11=6x+16，
故选：B．
设共有x个人，根据每人出九钱，那么多了十一钱，可知鸡的价格为(9x−11)钱，根据每人出六钱，那么少了十六钱可知鸡的价格为(6x+16)钱，据此列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，理解题意是关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】设最左边数为x，则另外两个数分别为x−7、x+2，进而可得出三个数之和为3x−5，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数，即可得到答案．
【解答】解：设最左边数为x，则另外两个数分别为x−7、x+2，
∴三个数之和为x+x−7+x+2=3x−5．
根据题意得：3x−5=1002、3x−5=1004、3x−5=1006、3x−5=1008，
解得：x=335.7(舍去)，x=336.3(舍去)，x=337，x=337.6(舍去)，
∴3×337−5=1006．
故选：C．
11.【答案】B
【解析】解：设应先安排x人整理，
3x45+6(x+3)45=1，
3x+6(x+3)=45，
3x+6x+18=45，
9x=27，
解得x=3，
所以假设这些人的工作效率相同，应先安排的人数为3，
故选：B．
根据题意，设应先安排x人整理，先整理3小时，完成的工作量是3x45，增加3人后，完成了6(x+3)45，两者相加，等于1，即可解答．
本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找准数量关系式，正确列出方程．
12.【答案】D
【解析】解：根据人数为定值可列方程为：3(x−2)=2x+9；
故选：D．
根据人数为定值，列出方程即可．
本题考查列方程，理解题意是关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵5−2m的结果是最大的负整数，
∴5−2m=−1，
整理得，2m=6，
解得m=3．
即m的值为3，
故答案为：3．
根据题意，最大的负整数为−1，则5−2m=−1，得到m，即可．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到关系式．
14.【答案】9
【解析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．根据起步价11元，3千米后每千米收取2.2元，乘坐该市出租车后付款24.2元，直接列出方程即可．
【详解】解：设此人乘车的路程为x千米，
由题意可知：2.2(x−3)+11=24.2，
解得：x=9千米，
故答案为：9．
15.【答案】3×5x=12(27−x)
【解析】解：根据题意得3×5x=12(27−x)，
故答案为：3×5x=12(27−x)．
设分配x名工人每天可生产桌面的数量为5x张，分配(27−x)名工人每天可生产桌腿的数量为12(27−x)张，再根据由一个桌面和三条桌腿组成休闲茶桌建立方程即可．
本题考查了列一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
16.【答案】2或134
【解析】解：当03时，点P表示的数为−16+4t，点Q表示的数为3(t−3)=3t−9，
∴OP=|16−4t|，OQ=3t−9，
∵OP=4OQ，
∴|16−4t|=4(3t−9)，
∴16−4t=4(3t−9)或16−4t=−4(3t−9)，
解得t=134或t=52(舍去)；
综上所述，t=2或t=134，
故答案为：2或134．
分03两种情况，分别用含t的式子表示出点P和点Q表示的数，进而表示出线段OP，OQ的长，再根据OP=4OQ建立方程求解即可．
本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
17.【答案】80，60；
30千米；
137小时或3小时
【解析】(1)设甲车的速度为x km/ℎ，乙车的速度为y km/ℎ，
根据题意列一元一次方程得，(2+1.5)x=280，
整理得，3.5x=280，
解得x=80，
∴甲车的速度为80km/ℎ，
∴2(80+y)=280，
整理得，2y=120，
解得y=60，
∴乙车的速度为60km/ℎ．
故答案为：80，60；
(2)2×60−60×1.5=30km，
∴甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km．
(3)设出发t小时后，两车相距20km，
当两车相遇前相距20km时，则80t+60t=280−20，
整理得，140t=260，
解得t=137，
当两车相遇后相距20km时，则80(t−2)−60(t−2)=20，
整理得，20t=60，
解得t=3，
综上所述，出发137小时或3小时后两车在行驶途中相距20km．
(1)设甲车的速度为x km/ℎ，乙车的速度为y km/ℎ，根据路程速度时间，先求出甲车的速度，再根据相遇时两车的路程之和为280km，列出方程求出乙车的速度；再根据相遇后乙行走了2ℎ求出此时距离B的距离即可；
(2)根据相遇后行驶1.5ℎ甲车到B达地，求出此时乙车的路程，再根据(1)所求相遇时距离B的距离即可得到答案；
(3)设出发t小时后，两车相距20km，分当两车相遇前相距20km时，当两车相遇后相距20km时，两种情况列出方程求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，
根据题意得：(1x+13x)×15+10x=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定时间是30天；
(2)由(1)可知，3x=90，
设该工程施工需要m天，
由题意得：(130+190)m=1，
解得：m=22.5，
答：该工程施工需要22.5天．
【解析】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，根据由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天，列出分式方程，解方程即可；
(2)设该工程施工需要m天，根据该工程由甲、乙两队合作共同完成，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
19.【答案】a=2.3；
28m3
【解析】(1)由题意得，10a=23，
解得a=2.3，
答：a=2.3；
(2)∵2.3×22=50.6300，
∴由甲、乙全程共同完成更省钱
【解析】(1)可以把工作总量看作“1”，
∵甲工程队单独完成该项工程需180天，
∴甲工程队的工作效率是1180，
故答案为：1180；
(2)设乙单独完成该项工程需要x天，
由题意得：30×1180+(1180+1x)×50=1．
解得：x=90．
经检验：x=90是原分式方程的解．
答：乙单独完成该项工程需要90天．
(3)由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下：
甲单独完成这项工程超过100天，不符合要求．
乙单独完成这项工程所需付工程费：90×3.5=315(万元)．
设甲、乙全程共同完成这项工程需要y天，由题意得：
(1180+190)⋅y=1．
解得：y=60．
所以甲、乙全程共同完成这项工程所需付工程费：60×(1.5+3.5)=300(万元)，
∵315>300，
∴由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下：
甲单独完成这项工程超过100天，不符合要求．
乙单独完成这项工程所需付工程费：90×3.5=315(万元)．
设甲、乙全程共同完成这项工程需要y天，由题意得：
(1180+190)⋅y=1．
解得：y=60．
所以甲、乙全程共同完成这项工程所需付工程费：60×(1.5+3.5)=300(万元)，
∵315>300，
∴由甲、乙全程共同完成更省钱．
(1)根据工作效率=工作总量工作时间即可得出答案；
(2)设乙单独完成该项工程需要x天，根据“甲先单独做30天，余下的工程由甲、乙共同工作50天可完成”列出分式方程，解方程即可；
(3)根据题意，甲工程队单独完成逾期，分别计算乙工程队单独完成及甲、乙两队合作完成所需的工程费用，再比较即可．
本题考查了一元一次方程及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．用水量x(m3)
单价a(元)
费用说明
x≤22
a
免收污水处理费
超出22m3的部分
a+1.1
超出22m3的部分加收污水处理费1.1元/m3
有关量
A款
B款
成本/(元/个)
13
15
标价/(元/个)
18
22