青岛版（2024）七年级上册（2024）等式的基本性质优秀课后作业题

这是一份青岛版（2024）七年级上册（2024）等式的基本性质优秀课后作业题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有三种不同质量的物体“⋆”“▲”“■”，其中，同一种物体的质量都相等．在研究等式的性质时，老师在天平的左边放了“⋆⋆⋆■”，甲、乙、丙、丁四位同学在天平的右边各放了下列物体，只有一名同学所放的物体不能使天平平衡，该同学是( )甲：⋆⋆⋆⋆⋆⋆；乙：⋆▲■；丙：“■▲▲”；丁：▲▲▲
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
2.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是( )
A. 若a=b，则ac2=bc2B. 若a=b，则ac=bc
C. 若a(x2+1)=b(x2+1)，则a=bD. 若x=y，则x−3=y−3
3.有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
则写有最大数卡片的编号是( )
A. ②B. ③C. ④D. ⑤
4.若a+3=2b−5，则下列等式不一定成立的是( )
A. a+8=2bB. a+5=2b+3C. a−2b=−8D. a2−b=−4
5.下列方程变形中，正确的是( )
A. 方程3x+4=4x−5，移项得3x−4x=5−4
B. 方程−5x=2，系数化为1得x=−52
C. 方程3−2(x+1)=5，去括号得3−2x−2=5
D. 方程x−12−1=3x+13，去分母得3(x−1)−1=2(3x+1)
6.下列等式的变形，正确的是( )
A. 由2x+8=7x−3，得2x−7x=8−3
B. 由2m−3(m−3)=5，得2m−3m−9=5
C. 由−3a−2a=9，得−5a=9
D. 由−14x=12，得x=−3
7.下列判断，不正确的是( )
A. 如果3a=3b，那么a=bB. 如果a+3=b+3，那么a=b
C. 如果a2=b2，那么a=bD. 如果a3=b3，那么a=b
8.根据等式的性质，下列变形正确的是( )
A. 如果2x=3，那么2xa=3aB. 如果x=y，那么x−5=5−y
C. 如果x=y，那么−2x=−2yD. 如果12x=6，那么x=3
9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a−b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2；
⑤若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0则方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实数根1x1，1x2．
其中，正确的是( )
A. ②④⑤B. ②③⑤C. ①②③④⑤D. ①②④⑤
10.已知等式3a=2b+5，则下列等式中，不一定成立的是( )
A. 3a−5=2bB. 3ac=2bc+5C. 3a+1=2b+6D. a=23b+53
11.下列运用等式的性质，变形不正确的是( )
A. 若x=y，则x+5=y+5B. 若a=b，则ac=bc
C. 若ac=bc，则a=bD. 若x=y，则xa=ya
12.下列命题中，其逆命题为真命题的是( )
A. 若a=b，则a2=b2B. 对顶角相等
C. 全等三角形的对应角相等D. 直角三角形的两个锐角互余
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50.从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则编号记为 的卡片上的数最大．
14.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m的取值范围是______．
15.小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省 N的力．(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂)
16.已知1a+b+1c=13，1a+c+1b=14，1b+c+1a=15，则a+2b+3c= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
“”“”“”分别表示三种不同的物体。如图，天平①②保持平衡，如果要使天平③也平衡，那么应在天平③的右端放几个“”？
18.(本小题8分)
(1)根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果a−b0，那么a ______b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
(2)请运用上述这种方法尝试解决下面的问题：
①比较4+3a2−2b+b2与3a2−2b+1的大小；
②若2a+2b−1>3a+b，比较a，b的大小．
19.(本小题8分)
比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：
如果a−b>0，那么a>b；
如果a−b=0，那么a=b；
如果a−b0，且A=xy，B=x+1y+2，试用“作差法”比较A、B的大小，并说明理由；
(2)对于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，则x、y满足的关系是______．
20.(本小题8分)
(1)在下列横线上填“>”“=”或“0，
∴b2−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，
∴c(ac+b+1)=0，
∴c=0或ac+b+1=0，故③错误；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c=0，
∴a2x02+abx0+ac=0，
∴4a2x02+4abx0=−4ac，
∴4a2x02+4abx0+b2=b2−4ac，
∴b2−4ac=(2ax0+b)2，故④正确；
③∵若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，
∴x1+x2=−ba，x1x2=ca，
变形得出−bc=x1+x2x1x2=1x1+1x2，ac=1x1x2=1x1⋅1x2，
即可得出方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实根1x1，1x2，从而判断⑤正确．
∴正确的有：①②④⑤，
故选：D．
由ax2+bx+c=0有一个根是x=−1，知b2−4ac≥0，可判断①正确；由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，−4ac>0，可得b2−4ac>0，即得方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，判断②正确；若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，得c=0或ac+b+1=0，判断③错误；若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，有ax02+bx0+c=0，可得4a2x02+4abx0+b2=b2−4ac，从而判断④正确．由根与系数的关系，可得x1+x2=−ba，x1x2=ca，变形得出−bc=x1+x2x1x2=1x1+1x2，ac=1x1x2=1x1⋅1x2，即可得出方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实根1x1，1x2，从而判断⑤正确；
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】略
11.【答案】D
【解析】【分析】此题主要考查了等式的性质，正确把握相关性质是解题关键．
直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．
【解答】
解：A、若x=y，则x+5=y+5，正确，不合题意；
B、若a=b，则ac=bc，正确，不合题意；
C、若ac=bc，则a=b，正确，不合题意；
D、若x=y，则xa=ya，要求a≠0，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
12.【答案】D
【解析】解：A、逆命题为“如果a2=b2，那么a=b”，错误，为假命题，故A选项不符合题意；
B、逆命题为“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，故B选项不符合题意；
C、逆命题为“对应角相等的三角形全等”，错误，为假命题，故C选项不符合题意；
D、逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，为真命题，故D选项符合题意；
故选：D．
分别写出各项的逆命题，然后判断真假即可．
本题考查了命题与定理的知识．熟练掌握该知识点是关键．
13.【答案】D
【解析】【分析】本题考查等式的性质，方程的应用根据题意，求出A+B+C+D+E=149，结合A+B=71，求出C+D+E=78，结合C+D=54，求出E=24，依次求出其它卡片表示的数，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：A+B+B+C+C+D+D+E+E+A=71+48+54+66+59=298，
即：2A+B+C+D+E=298，
∴A+B+C+D+E=149，
∵A+B=71，
∴C+D+E=78，
∵C+D=54，
∴E=24，
∴A=59−24=35，B=71−35=36，C=48−36=12，D=54−12=42，
故编号记为D的卡片上的数最大；
故答案为：D
14.【答案】321>0
∴aB；理由见解析；
y=2x．
【解析】(1)A−B=xy−x+1y+2=2x−yy(y+2)，
∵y>0，
∴y+2>0，
∴y(y+2)>0．
∵2x>y，
∴2x−y>0，
∴2x−yy(y+2)>0，即A>B；
(2)∵A−B=0，
∴xy−x+1y+2=0，
∴2x−yy(y+2)=0，
∵y为正数，
∴分母不为0，
∴2x−y=0，y=2x．
故答案为：y=2x．
(1)把两个分式作差，判断得到分子、分母大于0，再比较大小即可；
(2)等式通分2x−yy(y+2)=0，判断得到分母不为0，推出分子2x−y=0，由此即可得到结论．
本题主要考查了分式的性质和分式的加减运算，正确理解题意是解题的关键．
20.【答案】< = >
【解析】解：(1)①如果a−bb．
故答案为：；．
(2)能．
(3x2−4x+7)−(4x2−4x+7)=−x2，
∵x2≥0，
∴−x2≤0．
∴3x2−4x+7≤4x2−4x+7．
(1)根据不等式的性质以及等式的性质填空即可求解；
(2)计算(3x2−4x+7)−(4x2−4x+7)=−x2，根据−x2≤0即可求解．
本题考查了不等式的性质、整式的大小比较，熟练掌握不等式性质是关键．
21.【答案】证明见解析．
【解析】证明：由题意，∵非零实数a，b，c，m满足am2+bm+c=0①，和4am2+2bm+c=0②，
∴②−①得，3am2+bm=0，即m(3am+b)=0．
又∵m≠0，
∴m=−b3a．
∴将m代入①得，a(−b3a)2+b(−b3a)+c=0．
∴b29a−b23a+c=0．
∴c=2b29a．
∴4b−3ac=4b−3a⋅2b29a=4b−2b23．
设f(b)=4b−23b2，
∴其为开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得．
∴顶点横坐标为：b=−42⋅(−2/3)=3，此时f(3)=4⋅3−23⋅9=6．
∴4b−3ac≤6，当且仅当b=3时取等号．
依据题意，由非零实数a，b，c，m满足am2+bm+c=0①，和4am2+2bm+c=0②，结合m≠0，可得m=−b3a，然后将m代入①得，a(−b3a)2+b(−b3a)+c=0，故c=2b29a，则4b−3ac=4b−3a⋅2b29a=4b−2b23，再结合二次函数的性质即可判断得解．
本题主要考查了二次函数的最值、等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22.【答案】【小题1】
31
【小题2】
∵a+b2=17，a−b2=13，
∴a+b2+a−b2=30，a2+2ab+b2+a2−2ab+b2=30，2a2+2b2=30，∴a2+b2=15．
【小题3】
∵x2+3x−1=0，∴x+3−1x=0，即x−1x=−3，
∴x−1x2=−32，∴x2+1x2−2=9，∴x2+1x2=11．

【解析】1.
∵a−b=−5，ab=3，
∴a−b2=25，2ab=6，
∴a2−2ab+b2=25，即a2−6+b2=25，
∴a2+b2=31．
2. 略
3. 略
23.【答案】解：①等式的基本性质；乘法分配律；
②三 ；移项时−10x没有变号；
③ x=1
④去分母得2(5x+1)=6−(2x−1)
10x+2=6−2x+1
12x=5
解得x=512
【解析】解：任务一：
①以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律；
②以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时−10x没有变号；
由4(2x−1)−3(x+1)=12−2(5x+2)，
8x−4−3x−3=12−10x−4，
8x−3x+10x=12−4+3+4，
15x=15，
x=1
③该方程的正确解：x=1；
任务二：见答案．
任务二：解一元一次方程需要注意以下事项：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“−”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化
任务一：根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答；
任务二：结合解一元一次方程的经验，解方程即可．
本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键．
24.【答案】等式的性质 三 所移的项没有改变符号 任务二：①移项时，要改变所移项的符号(答案不唯一) x=73
【解析】解：任务一：①去分母的与依据是：等式的性质，
故答案为：等式的性质；
②在第三步，移项时出现了错误，
正确的移项是：4x−x=8−3+2，
原因是：x在移项时，所移的项没有改变符号，
故答案为：三，所移的项没有改变符号；
任务二：①移项时，要改变所移项的符号(答案不唯一)；②去分母时，各项都要乘以分母的最小公倍数；
任务三：解：去分母得：2(2x−1)=8−(3−x)，
去括号，得：4x−2=8−3+x，
移项，得：4x−x=8−3+2，
合并同类项，得：3x=7，
未知数的系数化为1，得：x=73，
∴该方程的正确解为：x=73．
任务一：①根据去分母的依据是等式的性质即可得出答案；
②移项时，移动的项要改变符号，由此可得出答案；
任务二：①移项时，要改变所移项的符号(答案不唯一)；②去分母时，各项都要乘以分母的最小公倍数；
任务三：先去分母得2(2x−1)=8−(3−x)，去括号得4x−2=8−3+x，移项得4x−x=8−3+2，再合并同类项得3x=7，然后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的正确解．
此题主要考查了解一元一次方程，等式的性质，理解等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法与步骤是解决问题的挂念．
25.【答案】一
【解析】解：(1)该同学解答过程从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
(2)正确解答过程如下：
去分母得：5(y−1)=20−2(y+2)，
去括号得：5y−5=20−2y−4，
移项得：5y+2y=20−4+5，
合并同类项得：7y=21，
方程两边同时除以7得：y=3．
(1)先观察已知条件中解方程的步骤，第一步去分母时，方程两边同时乘10，特别是不含分母的项也得乘10，由此可得答案；
(2)按照解一元一次方程的一般步骤进行解答即可．
本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程中需要注意的事项．卡片编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
两数的和
52
64
57
69
46
卡片编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
两数的和
71
48
54
66
59
2x−13−x+14=1−5x+26
解：4(2x−1)−3(x+1) =12−2(5x+2)⋯⋯⋯⋯第一步
8x−4−3x−3=12−10x−4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步
8x−3x−10x=12−4+3+4⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步
−5x=15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步
x=−3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步