（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步题型讲与练专题3.10 圆锥曲线的方程全章八类必考压轴题（2份，原卷版+解析版）

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专题3.10 圆锥曲线的方程全章八类必考压轴题考点1曲线与方程1．若θ是任意实数，方程x2sinθ+y2cosθ=5表示的曲线不可能是（    ）A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线2．如图，线段AB与平面α斜交于点B，且直线AB与平面α所成的角为60∘，平面α上的动点P满足∠PAB=30∘，则点P的轨迹是（    ）A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线一支3．已知MN是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0中垂直于长轴的动弦，A,B是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和NB的交点P的轨迹方程为 ．4．在直角坐标系xOy中，动点Q到直线l:x=−4的距离与到点F(−1,0)的距离之比为2，动点Q的轨迹记为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)P是直线l上一点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、B，求tan∠APB的最大值．5．如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD四边的中点，F2,0,C2,1，CS=λCF,OR=λOF. (1)求直线ER与直线GS交点M的轨迹方程；(2)过点I1,0任作直线与点M的轨迹交于P,Q两点，直线HP与直线QF的交点为J，直线HQ与直线PF的交点为K，求△IJK面积的最小值.考点2椭圆的弦长与“中点弦”问题1．过点M(1,1)的直线与椭圆x24+y23=1交于A,B两点，且点M平分弦AB，则直线AB的方程为（    ）A．4x+3y−7=0 B．3x+4y−7=0C．3x−4y+1=0 D．4x−3y−1=02．已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则AB等于（    ）A．247 B．127 C．1227 D．8373．已知椭圆x29+y2=1，过左焦点F作倾斜角为π6的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为 ．4．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是短轴长的2倍，且右焦点为F1,0．(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l:y=kx+2交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为−23．求直线l的方程．5．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点(2,0)且短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(2,1)且倾斜角为π4的直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长.考点3双曲线的弦长与“中点弦”问题1．已知双曲线C:2x2−y2=2，过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ）A．423 B．334 C．43 D．422．已知双曲线方程x2−y23=1，则以A2,1为中点的弦所在直线l的方程是（    ）A．6x+y−11=0 B．6x−y−11=0 C．x−6y−11=0 D．x+6y+11=03．过双曲线x23−y26=1的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．4．已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.5．双曲线的焦点F1,F2的坐标分别为−5,0和5,0，离心率为e=54，求：(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线l与该双曲线交于交于A,B两点，且A,B中点P5,1，求直线AB的弦长．考点4抛物线的弦长问题1．过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则|AB|的值为（    ）A．837 B．163 C．83 D．16372．已知F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F的直线l交地物线C于A,B两点，若AF=λBF=λ，则λ=（    ）A．1 B．32 C．3 D．43．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线y2=2x，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则AB= .4．已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点a,2a（a>0）．(1)求C的方程；(2)若斜率为3的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段AB的长度．5．已知直线l与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点.(1)若直线l过点Q4,1，且倾斜角为45∘，求AB的值；(2)若直线l过点Q4,1，且弦AB恰被Q平分，求AB所在直线的方程.考点5圆锥曲线中的面积问题1．已知双曲线C:x216−y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线y=kx与双曲线C交于A，B两点，若AB=F1F2，则△ABF1的面积等于（    ）A．18 B．10 C．9 D．62．已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，若AB⋅DE=0，则四边形ADBE面积的最小值为（    ）A．48 B．32 C．16 D．83．过点Px0，y0作抛物线C:y=ax2(a>0)的两条切线，切点分别为A，B，作AA1，BB1垂直于直线l:y=y0，垂足分别为A1,B1，记△PAB,△PAA1,△PBB1的面积分别为S,S1,S2，则S2S1S2的最小值为 .4．已知椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为22，抛物线C2:x2=8y的准线与C1相交，所得弦长为26.(1)求C1的方程；(2)若Ax1,y1,Bx2,y2在C2上，且x10)的右焦点为F2,0，过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点，当直线AB垂直于x轴时AB=22．(1)求椭圆M的方程；(2)作BC⊥x轴于点C，作AD⊥x轴于点D，直线BD交直线x=4于点E．①求证：C，A，E三点共线；②求△ECD与△EAB的面积之比．考点6圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题1．已知椭圆C:x24+y2=1的左右顶点分别为A,B，上顶点为D,M为椭圆C上异于四个顶点的任意一点，直线AM交BD于点P，直线DM交x轴于点Q.(1)求△MBD面积的最大值；(2)记直线PM,PQ的斜率分别为k1,k2，求证：k1−2k2为定值.2．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为22，C的一条渐近线斜率为−22，直线l交C于P，Q两点，点M2a,b在双曲线C上.(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为−1，求△PMQ的面积；(2)设P，Q为双曲线C上异于点M2a,b的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2k1k2，求证：直线PQ过定点.3．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1，F2，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．4．已知抛物线C:y2=2pxp>0，O为坐标原点，焦点在直线2x+4y−1=0上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点4,0作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆x−12+y2=1交于点P，Q两点（异于点O），设直线OM，ON斜率分别为k1，k2．①求证：k1⋅k2为定值；②求证：直线PQ恒过定点．5．已知抛物线C:y2=2pxp>0，圆B:x2+y2−6x+1=0，直线m:x−y+b=0b>0与抛物线C和圆B同时相切.（1）求p和b的值；（2）若点A的坐标为−2,0，过点A且斜率为23的直线l1与抛物线C分别相交于P、Q两点（点Q在点P的右边），过点A的直线l2与抛物线C分别相交于M、N两点，直线l1与l2不重合，直线PM与直线QN相交于点T，求证：点T在定直线上.考点7圆锥曲线中的最值问题1．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，上顶点P到直线l:x+2y−6=0的距离为455．(1)求E的方程；(2)直线y=kx+12(k>0)与E交于A，B两点，直线PA，PB分别交直线l于C，D两点，求CD的最小值．2．已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1,a>0,b>0经过点P2,1，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.3．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，椭圆的左顶点为P，上顶点为Q，O为坐标原点，且△OPQ的面积为32．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．4．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1，（a>0，b>0）的实轴长为2，且过点(e,3)，其中e为双曲线C的离心率．(1)求C的标准方程；(2)过点M(−2,0)且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A,B，点N在线段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P为线段AB的中点，记直线OP，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的最小值．5．直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB的斜率之积为−1，以线段AB的中点为圆心，2为半径的圆与直线l交于P、Q两点．（1）求证：直线l过定点；（2）求AB中点的轨迹方程；（3）设M6,0，求MP2+MQ2的最小值．考点8圆锥曲线综合1．双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，抛物线y2=2pxp>0的准线与双曲线C的渐近线交于A,B点，ΔOAB（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为(    )A．y2=4x B．y2=6x C．y2=8x D．y2=16x2．已知抛物线C：x2=−2pyp>0的焦点F与y28+x24=1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长AB=（    ）A．12 B．14 C．15 D．163．已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点与抛物线y2=2pxp>0的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若CD=2AB.则双曲线的离心率为 .4．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y2=4x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且PF2=53.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与椭圆C交于R，S两点，存在一点T4,0使∠OTS=∠OTR，判断直线l是否经过定点?若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.5．已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F6,0，渐近线与抛物线C2：y2=2px交于点1,2.(1)求C1，C2的方程；(2)设A是C1与C2在第一象限的公共点，作直线l与C1的两支分别交于点M，N，使得AM⊥AN.求证：直线MN过定点.