（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步题型讲与练专题3.8 圆锥曲线中的面积问题【六大题型】（2份，原卷版+解析版）

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专题3.8 圆锥曲线中的面积问题大题专项训练【六大题型】题型一椭圆中的三角形（四边形）面积问题1．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，且过点P4,−2.(1)求椭圆C的方程；(2)若O为坐标原点，直线l交椭圆C于A，B两点，且点O是△PAB的重心，求△PAB的面积.2．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，已知A1F=3,A2F=1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．3．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1,F2，直线x=m与椭圆C交于A，B两点，且△ABF1的周长最大值为8．  (1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线OP与OQ的斜率之积为−34（O为坐标原点），D为射线OP上一点，且|OP|=|PD|，线段DQ与椭圆C交于点E，|QE|=23|ED|，求四边形OPEQ的面积．4．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点为F，已知椭圆短轴长为4，离心率为22.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆相交于M、N两点，线段MN垂直平分线与直线l及x轴和y轴相交于点D、E、G，直线GF与直线x=4相交于点H，记三角形EFG与三角形GDH的面积分别为S1，S2，求S1S2的值.5．已知椭圆：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F，椭圆上的点到F的最大距离为3，最小距离为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆左右顶点为A,B，在x=4上有一动点P，连接PA,PB分别和椭圆交于C,D两点，△PAB与△PCD的面积分别为S1,S2．是否存在点P，使得S1S2=43，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．题型二椭圆中的三角形（四边形）面积的最值问题6．已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，C的上顶点到右顶点的距离为5.(1)求C的方程；(2)M，N为C上的动点，设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，且k1k2=−4.求△OMN的面积的最大值.7．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点N0,1，且离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l分别交椭圆C于A、B两点，若线段AB的中点M在直线y=12上，求△OAB面积的最大值.8．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0的上、下顶点分别为A1,A2，点P22,1在C上，且PA1·PA2=−12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设坐标原点为O，若不经过点P的直线与C相交于M,N两点，直线PM与PN的斜率互为相反数，当△MON的面积最大时，求直线MN的方程.9．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为32．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(−2,1)的直线与椭圆C交于不同的两点D,E，点D在第二象限，直线AD,AE分别与x轴交于M,N，求四边形DMEN面积的最大值．10．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，且与双曲线y2−x2=12有相同的焦距．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B，过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点（其中点D在x轴上方），求△AEF与△BDF的面积之比的取值范围．题型三双曲线中的三角形（四边形）面积问题11．已知离心率为5的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线l:y=4x−3a−1与C的右支交于A,B两点，直线l与C的两条渐近线分别交于M,N两点，且从上至下依次为M,A,B,N，|MA|=12|AB|．(1)求双曲线C的方程；(2)求△AOM的面积．12．已知圆C:(x+2)2+y2=4和定点A2,0,P为圆C上的动点，线段AP的中垂线l与直线PC交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C1.(1)求证：QA−QC为定值，并求曲线C1的方程；(2)若曲线C1与x轴的正半轴交于点E，直线l′:x=my+2与曲线C1交于M,N两点，且△EMN的面积是322，求实数m的值.13．已知双曲线C:x24−y2b2=1的渐近线方程为x±2y=0，左右顶点为A,B，设点P−1,t，直线AP,BP分别与双曲线交于M,N两点（不同于A,B）.(1)求双曲线的方程；(2)设△ABP,△MNP的面积分别为S1,S2，若S2=6S1，求直线MN方程.（写出一条即可）14．已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4，且过点P2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F分别作斜率为k1,k2的两直线l1与l2，直线l1交双曲线Γ于A,B两点，直线l2交双曲线Γ于C,D两点，设M,N分别为AB与CD的中点，若k1⋅k2=−1，试求△OMN与△FMN的面积之比.15．已知离心率为2的双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右顶点分别为A，B，顶点到渐近线的距离为3.过双曲线E右焦点F的直线l与双曲线E交于P，Q（异于点A，B）两点.(1)求双曲线E的标准方程；(2)记△ABP，△ABQ，△BPQ的面积分别为S1，S2，S3，当S1−S2S3=22时，求直线l的方程；(3)若直线AP，AQ分别与直线x=1交于M，N两点，试问∠MFN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.题型四双曲线中的三角形（四边形）面积的最值问题16．如图，已知双曲线C:x22−y2=1，经过点T1,1且斜率为k的直线l与C交于A,B两点，与C的渐近线交于M,N两点（从左至右的顺序依次为A,M,N,B），其中k∈0,22.(1)若点T是MN的中点，求k的值；(2)求△OBN面积的最小值.17．在平面直角坐标系xOy中，动点N到F2,0的距离与它到直线l:x=12的距离之比为2，记N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A,B两点（均位于y轴右侧），F关于原点的对称点为M，求△ABM的面积的取值范围.18．在平面直角坐标系O−xy中，点G−14,0，点A14,0.以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q.(1)求Q的轨迹方程；(2)过原点斜率为k00为轨迹C上异于A1，A2的一个动点，直线QA1，QA2分别与直线x=1相交于S，T两点，以ST为直径的圆与x轴交于M，N两点，求四边形SMTN面积的最小值.20．已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为23，且点P（0，-1）到渐近线的距离为33.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记△ODE和△OAB的面积分别为S1、S2，求S1S2的取值范围.题型五抛物线中的三角形（四边形）面积问题21．已知F为抛物线C:y=14x2的焦点，点D(0,4)，A为抛物线C上的动点，直线l:y=t（t为常数）截以AD为直径的圆所得的弦长为定值．(1)求实数t的值；(2)若点E(0,3)，过点A的直线y=x+m交抛物线于另一点B，AB的中垂线过点D，求m的值和△ABE的面积．22．如图，过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为S1，S2，求S1⋅S2的值；(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．23．已知抛物线C：x2=2pyp>0上一点Mm,1到焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点−1,0的直线交抛物线C于A，B两点，点Q0,−2，连接QA交抛物线C于另一点E，连接QB交抛物线C于另一点F，且△QAB与△QEF的面积之比为1:3，求直线AB的方程.24．已知平面曲线C满足：它上面任意一定到0,12的距离比到直线y=−32的距离小1.(1)求曲线C的方程；(2)D为直线y=−12上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为A､B，证明：直线AB过定点；(3)在（2）的条件下，以E0,52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.25．已知坐标原点为O，抛物线为G:x2=2py(p>0)与双曲线y23−x23=1在第一象限的交点为P，F为双曲线的上焦点，且△OPF的面积为3．(1)求抛物线G的方程；(2)已知点M(−2,−1)，过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于C，D，求△MAB与△MCD的面积之比．题型六抛物线中的三角形（四边形）面积的最值问题26．已知直线y=kx+1与抛物线C：x2=8y交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为D.(1)证明点D在一条定直线上；(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，线段AB的中点为P，①证明：E为DP的中点；②求△ADE面积的最小值.27．已知O为坐标原点，动圆过定点A6,0，且在y轴上截得的弦BD的长为12.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知M，N是曲线C上两点，且OM⋅ON=0，分别延长MO与NO交圆E:x+32+y2=9于P，Q两点，求四边形MNPQ面积的最小值.28．已知双曲线T：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，且过点3,1．若抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F与双曲线T的右焦点相同．(1)求抛物线C的方程；(2)过点M−2,0且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：NA=6AF，求△ABF与△AMN面积之和的最小值．29．设抛物线方程为y2=2x，过点P的直线PA,PB分别与抛物线相切于A,B两点，且点A在x轴下方，点B在x轴上方.(1)当点P的坐标为−1,−2时，求AB；(2)点C在抛物线上，且在x轴下方，直线BC交x轴于点N，直线AB交x轴于点M，且3AM0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，_____________．(1)求抛物线的方程；(2)点C在抛物线上，△ABC的重心G在y轴上，直线AC交y轴于点Q（点Q在点F上方）．记△AFG,△CQG的面积分别为S△AFG,S△CQG,T=S△AFGS△CQG，求T的取值范围．