（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习拓展一 圆锥曲线的离心率问题（2份，原卷版+解析版）

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离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。
一、求离心率的方法．
求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
1、 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距，从而可求解；
（1）特殊三角形与离心率
这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.
平行四边形与离心率
与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.
圆与离心率
借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等.
2、利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解．（要习惯将看作常数）
3、通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
重要类型：
(1)利用焦点三角形求离心率
利用定义，求出。
椭圆：，设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。
双曲线：，设双曲线焦点三角形两底角分别为来表示:
(2)由渐近线求离心率
因为双曲线夹在两渐近线之间，所以两渐近线夹角的大小确定了双曲线的开口大小.双曲线中，渐近线的倾斜角与离心率有如下关系
①
②过焦点作渐近线的垂线，垂足为点M，因≌，所以焦点到渐近线的距离垂足点M的坐标.
(3)中点弦的离心率问题
涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
与焦点弦有关的离心率问题
当椭圆或双曲线的焦点在轴上时，过焦点F作倾斜角为的弦AB（若为双曲线，则弦AB 在同一支上），设是较长的焦半弦，为较短的焦半弦，则
当抛物线的焦点在轴上时，过焦点F作倾斜角为的弦AB，设是较长的焦半弦，为较短的焦半弦，则
结论中的a，b，c，p都是相关曲线的参数。这两个结论又称为长短弦公式。
焦比定理：若圆锥曲线的焦点在轴上，设AB 是过圆锥曲线的焦点F的弦（对双曲线，限定AB在同一支上），圆锥曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或
推论1：若圆锥曲线的焦点在轴上，设AB 是过圆锥曲线的焦点F的弦（对双曲线，限定AB在同一支上），圆锥曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或
推论2：若双曲线的焦点在轴上，设AB是过焦点F的弦，且弦AB与双曲线的两支都相交，双曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或
推论3：若抛物线的焦点在轴上，设AB是过焦点F的弦，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或
二、离心率的范围问题．
在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）借助题目中给出的不等信息
题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求．如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；
基本步骤：
①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；
②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
（2）借助函数的值域求解范围
若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；
基本步骤：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
借助平面几何图形中的不等关系
基本步骤：
①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，
②将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，
③解不等式，确定离心率的范围.
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．
类型一 利用定义法求离心率
1、已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．
求椭圆的焦点坐标及离心率.
2、已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
类型二 利用几何关系求离心率
3、椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(2\r(2),3)
4、直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
5、变式2：已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
6、已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7、焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq \f(b,3)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2)D.eq \f(2,3)
8、已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为椭圆的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9、若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
类型三 借助焦点三角形求离心率
11、设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
12、设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
13、椭圆的左、右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于 .
14、已知椭圆的左焦点为,与过原点的直线相交于两点,连接.若,,则的离心率= .
15、设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
16、双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
17、已知是双曲线的左、右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
18、已知是双曲线的两个焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
类型四 由渐进线求离心率
19、已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
20、已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
21、若双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离是，则的离心率为____.
22、已知双曲线E:（a＞0,b＞0）与抛物线C:有共同的焦点,过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行,则E的离心率为（ ）．
A．B．C．3D．2
23、已知双曲线的一条渐近线为，左､右焦点分别是，过点作轴的垂线与渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为__________.
24、已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则该双曲线的离心率为___________.
25、已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率.
类型五 中点弦的离心率问题
26、直线与椭圆相交于A,B两点，且恰好为AB中点，则椭圆的离心率为 .
27、过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
28、已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
29、已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
类型六 与焦点弦有关的离心率问题
30、已知椭圆的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为，且直线l交该椭圆于A，B两点，若，则该椭圆的离心率为______________.
31、椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
类型七 求离心率的取值范围
（一）利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式
32、已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
33、已知直线l：x＋y＝0与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为_______．
34、正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
35、已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（二）利用已知的角度关系建立不等式
36、已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
37、已知椭圆：的右焦点为，左顶点为.若点为椭圆上的点，轴，且，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
38、已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
39、已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
（三）利用已知的位置关系建立不等式
40、过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
41、已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
（四）利用已知长度（面积）关系建立不等式
42、已知椭圆：的左、右焦点分别是，，，是椭圆的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆的离心率的取值范围是________．
43、从一块短轴长为的椭圆形玻璃中划出一块面积最大的矩形，若这个矩形的面积的取值范围是，则这一椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．