（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习拓展七：圆锥曲线方程大题专项训练（2份，原卷版+解析版）

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类型一 圆锥曲线的离心率问题（2道）
1．已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点且在第一象限.已知为等腰三角形，且.
(1)求的离心率；
(2)若的周长为10，求点的坐标.
2．已知椭圆C：（）的右顶点为，且为其上一点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)B是椭圆C上异于左右顶点的一点，线段的中垂线交y轴于点D，且为等边三角形，求B点横坐标.
类型二 圆锥曲线的轨迹问题（3道）
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．
4．已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.
(1)求动点P的轨迹的方程；
(2)过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.
5．已知平面内两点，，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N，点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标．
类型三 圆锥曲线的面积问题（3道）
6．在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C1以椭圆C2：1长轴的两个端点为焦点，以C2的焦点为顶点．
(1)求C1的标准方程；
(2)过（0，1）的直线l与C1的右支相切，且与C2交于点M，N，求 OMN的面积．
7．已知椭圆，已知点，椭圆上有两点，且在线段上，
(1)求的最小值；
(2)若是点关于轴的对称点，连结并延长交直线轴于点，求面积的取值范围.
8．已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
类型四 圆锥曲线的向量问题（3道）
9．已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．
10．已知椭圆C:的离心率为，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线交C于A，B两点，且（O为坐标原点），求m的值．
11．已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
类型五 圆锥曲线的斜率问题（3道）
12．已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)点P的坐标为(2，1)，直线（不过原点也不过点P）交于A，B两点，且直线AP，BP的倾斜角互补，若点M是AB的中点，求直线OM的斜率.
13．已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
14．设椭圆的右顶点坐标为，且其离心率为．
(1)求椭圆的方程;
(2)若在轴上的截距为2的直线与椭圆分别交于两点，为坐标原点，且直线的斜率之和等于12， 求直线的方程．
类型六 圆锥曲线中角的问题（3道）
15．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小．
16．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，．
(1)求C的方程：
(2)在x轴上是否存在点P，使得恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．
17．已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
类型七 圆锥曲线中的三点共线问题（3道）
18．已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
(1)求的方程.
(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
19．设直线x=m（m>0）与双曲线C：的两条渐近线分别交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为.
(1)求m的值；
(2)与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.
20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C上任意一点A作两条直线与C的另外两个交点为M，N，O为坐标原点，若直线AM和AN的斜率分别为和，且，证明：M，O，N三点共线．
类型八 圆锥曲线的对称问题（3道）
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，M是一个动点，且直线AM，BM的斜率之积是，记M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若过点且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求点G的坐标．
22．已知椭圆：的左､右焦点分别为､，焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于，两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率.
23．已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为A．
(1)求点A的坐标；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点（均与A，不重合），过点与轴垂直的直线分别交直线，于点，，证明：点，关于轴对称．
类型九 圆锥曲线的最值问题（3道）
24．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且．
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程；
(2)求点M到直线距离的最大值.
25．抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
(1)求的准线方程；
(2)若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，当点到直线的距离最大值时，求点的坐标．
26．已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.
类型十 圆锥曲线中的定点问题（3道）
27．已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
28．已知双曲线过点，且C的渐近线方程为．
(1)求C的方程．
(2)A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，与y轴分别交于M，N两点，证明：以为直径的圆过两个定点．
29．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．
类型十一 圆锥曲线中的定值问题（3道）
30．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．
31．如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的取值范围；
(3)求证：为定值．
32．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的上顶点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．
①求证：；
②设OA，OB分别与椭圆相交于C，D两点，过点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：为定值．
类型十二 圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（3道）
33．已知定点，，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段交于点，点在圆上运动.
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作两条直线，且，与点的轨迹交于､两点，与点的轨迹交于､两点，探究：是否存在常数，使恒成立.
34．抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
(1)求的准线方程；
(2)若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，试探究直线MN是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.
35．已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标.