（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习 专题05 导数的综合问题（2份，原卷版+解析版）

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题型1：构造函数解不等式问题
题型2：证明不等式
题型3：恒成立问题
题型4：能成立问题
题型5：零点问题
题型6：方程的根问题
题型7：双变量问题问题
题型8：极值点偏移问题
【考点预测】
1、恒成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
2、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．

图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．
3、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
5、利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典例例题】
题型1：构造函数解不等式问题
例1．已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
例2．已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例3．设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（4，+∞）B．（-∞，4）C．（-∞，3）D．（3，+∞）
变式2．已知定义在上的函数的导函数为，满足，若函数的图像关于直线对称，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
变式3．已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型2：证明不等式
例4．已知函数.
(1)求在（为自然对数的底）处的切线方程；
(2)证明：当时，．
变式4．已知函数.
(1)求的极值；
(2)证明：.
变式5．已知函数.
(1)判断的零点个数；
(2)当时，证明：.
变式6．已知函数的最小值为．
(1)求实数的值；
(2)求证：当时，．
题型3：恒成立问题
例7．已知函数.
(1)证明：；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
例8．设为实数，函数，.
(1)若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
变式7．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)已知对于恒成立，求整数的最大值.
变式8．已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．
变式9．已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．
变式10．已知函数（其中，e为自然对数的底数）．
(1)当时，讨论函数f（x）的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．
题型4：能成立问题
例10．已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
变式11．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.
变式13．函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围．
题型5：零点问题
例13．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若存在两个不同的零点，求实数a的取值范围.
变式14．已知函数.
(1)当时，求曲线点处的切线方程；
(2)求证：当时，函数存在极值；
(3)若函数在区间上有零点，求的取值范围.
变式15．已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)记为的导函数，若函数有且只有一个零点，求a的值．
题型6：方程的根问题
例16．已知函数，在处有极值.
(1)求、的值；
(2)若，有个不同实根，求的范围.
例18．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
变式18．已知函数（e为自然对数的底数），（），.
(1)若直线与函数，的图象都相切，求a的值；
(2)若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围.
变式19．已知函数，其中为常数，．
(1)求单调区间；
(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．
题型7：双变量问题问题
例19．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）实数，满足，求的最大值．
例20．已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，而，求证：．
变式20．已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）设斜率为的直线与曲线交于两点，证明：.
题型8：极值点偏移问题
例25．已知函数，．
(1)记，当时，求的单调区间．
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，．
①求实数a的取值范围；
②证明：．

例27．设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.