（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习拓展一：直线和圆的对称问题（2份，原卷版+解析版）

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知识点1 直线的对称问题
1．中心对称问题的两种类型及求解方法
(1)点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称问题的两种类型及求解方法
(1)点关于直线的对称：
①若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
（关键词：垂直、平分）
设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
②若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则，故可设的方程为，代入，即可求出m，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标
(2)直线关于直线的对称：
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
知识点2 圆的对称问题
1．圆的轴对称性
圆关于直径所在的直线对称．
2．圆关于点对称
(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
3．圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
考点一 点关于点对称问题
【例1-1】点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为( )
A．(1,6) B．(6,1) C．(1，－6) D．(－1,6)
【解析】设M(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋x,2)＝1，,\f(2＋y,2)＝4，))∴x＝－1，y＝6，∴M(－1,6)．
变式1：已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．2B．4
C．5D.eq \r(17)
【解析】根据中点坐标公式得到eq \f(x－2,2)＝1且eq \f(5－3,2)＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝eq \r(4－02＋1－02)＝eq \r(17).故选D
变式2：若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为___________.
【解析】因为直线恒过定点，
所以关于点的对称点为，此时和都在直线上，
由直线方程的两点式可得，即，所以点到直线的距离为．
变式3：过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
【解析】设直线l1与直线l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得
－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
考点二 点关于直线对称问题
【例2-1】点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5)D．(4，－3)
【解析】设对称点坐标为(a，b)，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－3,2)＋\f(b＋4,2)－2＝0，,\f(b－4,a＋3)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝5，))即Q(－2,5)．
变式1：点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
【解析】设对称点为(x′，y′)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′－b,x′－a)×－1＝－1，,\f(x′＋a,2)＋\f(y′＋b,2)＋1＝0，))
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
变式2：已知点与关于直线对称，则，的值分别为
A．1，3B．C．，0D．，
【解析】因为点与关于直线对称，
所以直线与直线垂直且线段的中点在直线上，
直线的斜率为，线段的中点为，
则有，解得．
故选：．
变式3：点A(－2，a)与点B(b，－3)关于直线l：x＋2y－a＝0对称，则a＋3b＝________．
【解析】由题意知点A与点B的中点P的坐标为(eq \f(b－2,2)，eq \f(a－3,2))，因为P在直线l上，
所以eq \f(b－2,2)＋2· eq \f(a－3,2)－a＝0，得b＝8．又AB⊥l，所以 kAB·(－eq \f(1,2))＝－1，
即eq \f(a＋3,－2－8)＝2，得a＝－23，所以a＋3b＝－23＋3×8＝1．故填1．
变式7：已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为
【解析】直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．则解得．
点关于的对称点坐标为．
【例2-2】已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B.(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)
【解析】设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))∴BC所在直线方程为y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4)．
故选C
变式1：已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________________．
【解析】A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．
设A1(x1，y1)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋1,x1－4)×1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))所以A1(0，3)．
同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．
所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.
答案：2x－y＋3＝0
【例2-3】已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
【解析】设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))
解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，
即6x－y－6＝0.
变式1：光线通过点A(－2，4)，经直线l：2x－y－7＝0反射，若反射光线通过点B(5，8)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
【解析】已知直线l：2x－y－7＝0，设光线AC经l上点C反射后为BC，点A关于l的对称点为A′(a，b)，
所以AA′⊥l，且AA′中点在直线l上．所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2·\f(a－2,2)－\f(b＋4,2)－7＝0，,\f(b－4,a＋2)·2＝－1，))解得a＝10，b＝－2，即A′(10，－2)．所以A′B的方程为y＋2＝eq \f(8＋2,5－10)(x－10)，
即反射光线BC的方程为2x＋y－18＝0.所以A′B与l的交点为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,4)，\f(11,2))).所以入射光线AC的方程为y－4＝eq \f(2,11)(x＋2)，即2x－11y＋48＝0.
考点三 直线关于点对称问题
【例3-1】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
【解析】法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)．则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：在l：2x－3y＋1＝0上任取一点，如M(1，1)．则M关于点A的对称点M′易知
M′(－3，－5)在直线l′上．直线l和l′平行，设直线l′的方程为2x－3y＋m＝0，代入M′，得m= -9,即l′的方程为2x－3y－9＝0.
法三：设直线l关于点A的对称直线l′上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．
∵点P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
变式1：与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0
【解析】由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，
则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.
在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，
则点(－1，－2)必在所求直线上，
∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
变式2：已知直线与关于点对称，则______.
【解析】在直线上取点，，
M，N关于点对称的点分别为.点在直线上，，解得，.
考点四 直线关于直线对称问题
【例4-1】求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．
【解析】在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))
解得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设直线m与直线l的交点为N，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0.))得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
变式1：直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
考点五 根据对称性求最值
【例5-1】已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是( )
A．(1，－1)B．(－1,1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,5)，－\f(13,5)))D．(－2,2)
【解析】点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝eq \f(1,4)x－eq \f(13,4)，与x＋y＝0联立方程组并解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(13,5)，,y＝－\f(13,5)，))所以点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,5)，－\f(13,5))).故选C
变式1：已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小．
【解析】设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝8，))
故A′(－2，8)．
P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))
故所求的点P的坐标为(－2，3)．
变式2：已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
【解析】(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝8，))故A′(－2,8)．因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝10，))故所求的点P的坐标为(12,10)．
变式3：在直线l：3x－y－1＝0上，求点P和Q，使得
(1)点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
【解析】(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·kl＝－1，即3×eq \f(b－4,a)＝－1，∴a＋3b－12＝0.①
线段BB′的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))，且中点在直线l上，
∴3×eq \f(a,2)－eq \f(b＋4,2)－1＝0，即3a－b－6＝0.②，解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是直线AB′的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－1＝0，,2x＋y－9＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝5，))即l与直线AB′的交点坐标为P(2,5)，
且此时点P到点A，B的距离之差最大．
(2)如图所示，设点C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(24,5))).
∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
解得直线AC′和l交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,7)，\f(26,7)))，
故Q点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,7)，\f(26,7)))，且此时点Q到点A，C的距离之和最小．
考点六 圆的对称问题
（一）圆的轴对称性
【例6-1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
【解析】将圆的方程化成标准形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝，故选A.
（二）圆关于点对称
【例6-2】若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
【解析】因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.
（三）圆关于直线对称
【例6-3】圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
【解析】由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为eq \r(5)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C.
变式1：已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
【解析】圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1，
设圆C2的圆心坐标为(a，b)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)－\f(b＋1,2)－1＝0，,\f(b－1,a＋1)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2，))
所以圆C2的圆心坐标为(2，－2)，
又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B