（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习拓展四 圆锥曲线的向量问题（2份，原卷版+解析版）

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解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的。这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平移向量作为工具处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.
类型一 向量数量积
1．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于A，B两点，已知点，求的值.
【解析】（1）由题意可知，，又，所以，
所以椭圆的标准方程为：
（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为.
联立直线的方程与椭圆方程，
消去，得，其中.
设，，则，.
因为，
2．已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．
【解析】（1）设椭圆C的焦距，则
又经过点(，)，，
因此，椭圆C的方程为
（2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，而，此时，故不符合题意．
②当直线斜率不为0时，的方程为，设点，
将直线l的方程代入椭圆方程，并化简得．
解得或
由韦达定理得
，同理可得．
所以
即．
解得：符合题意
因此，直线l的方程为或
3．已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）解：①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，
综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）
①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，
使为定值.
类型二 向量数乘
（一）向量共线
4．设A，B是椭圆C：的左右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点.
(1)D是椭圆C的上顶点，且直线PA与直线BD垂直，求点P到x轴的距离；
(2)过点的直线（不过坐标原点）与椭圆C交于M，N两点，且点M在x轴上方，点N在x轴下方，若，求直线的斜率.
【解析】(1)解：由题意知：，
设，则，
因为直线PA与直线BD垂直，则，即，
所以，
因为点P在椭圆上，所以，
即，解得或，
当时，，在x轴上，不符合题意，
当时，，
则点P到x轴的距离为；
(2)由题意设直线方程为，联立，
消去x得，
设，恒成立，
则，
所以，
因为，
所以，即，
则，
解得，
因为，则，
所以直线l的斜率为.
5．已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为点、之间的距离为，
所以，因为椭圆的离心率，所以有，而，
因此组成方程组为：；
（2）设的方程为，与椭圆的标准联立为：
，
于是有，此时设，
于是有，
假设存在常数，使得与共线，
因为，，
所以有，
，因为，
所以，不满足，
因此不存在常数，使得与共线.
6．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．
【解析】（1）解：设所求的双曲线方程为（，），则，，
∴，又则，∴所求的双曲线方程为．
（2）解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，
∴l的斜率一定存在，则设．令得，
∵且M、Q、F共线于l，∴或
当时，，，∴，
∵Q在双曲线上，∴，∴，
当时，，代入双曲线可得：
，∴．
综上所求直线l的方程为：或．
7．已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线，的斜率之积为．
(1)求C的轨迹方程；
(2)过点的直线与C交于A，B两点，若，求λ的取值范围.
【解析】(1)由题意，不妨令，，
设，则，斜率之积为．化简得，
∴曲线C的轨迹方程为．
(2)显然点在曲线的内部，若直线与轴重合，则直线与曲线没有公共点，
当直线不与轴重合时，令直线的方程为，
联立直线方程与曲线的方程，消去并整理得
，令，，则，
，，，∴，
∵与方向相同，∴，不妨令，，则，①
，∴，②
由①②得，
∴，即，
∴，∴，∴的取值范围是．
8．已知椭圆的长轴长为，右焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，椭圆上存在点，使得，求实数的值.
【解析】（1）由已知得，解得，
所以椭圆方程为；
（2）设点，，
由，得，解得，，
则，，
所以，，
又，
即，
又点在椭圆上，所以，
解得.
9．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．
【解析】（1）依题意可得，，
解得，故的方程为.
（2）易得，
显然，直线的斜率不为0，设其方程为，，
联立方程，消去整理得，
所以，．
直线，令得，故
，，
，（*）
又
，即的值为0．
所以故A、Q、N三点共线．
利用向量共线求双变量的关系式
10．已知椭圆经过点，左焦点为F，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作直线l交椭圆C于A、B两点，过点F且垂直于x轴的直线交直线l于点E，记，求证：．
【解析】(1)设点，由题意得
解之得．
所以椭圆C的标准方程为；
(2)设直线l的方程为）（斜率k显然存在），代入，
整理得．
由，得
则，，
因为，所以．
设，则，由，可得
，由，得，
所以
11．已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．
【解析】(1)因为椭圆C的短轴长为2，所以，
又是椭圆C上一点，所以，解得，
所以椭圆C的方程为.
(2)由题可知，直线l的斜率一定存在，可设l的方程为，，则，
联立方程组，整理得，
则，
，.
因为，所以，
则，
12．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
【解析】（1）由题可得,，又，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，
设，则，，
又，则，由可得，所以.
同理可得，.
所以
所以，为定值.
13．已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以；
又点在图像上即，所以，所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得设直线，设、，
由得，解得或①
∵点在以线段为直径的圆的外部，则，又②
解得或
由①②得
（3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.
令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.
所以，，.
由，，可得：，，
所以，
由（2）得，，
所以
，
因为，所以，，
故的范围是.
类型三 利用向量加法的几何意义构造平行四边形
14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，若M为椭圆C上一点，线段与圆C：相切于该线段的中点N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点做直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C上存在点P，使得四边形若OAPB为平行四边形，求直线l的方程．
【解析】（1）∵，，且ON是的中位线，
∴，，，
而，，，
∴，∴椭圆C的方程为：．
（2）存在，理由如下：
①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，此时椭圆上不存在符合题意的点P，
②当直线AB的斜率存在且k＝0时，此时O，A，B三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点P，
③当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，
，，，设直线AB的方程为，
联立方程，消去y得：，
∴，∴，，
∴，∵四边形OAPB是平行四边形，
∴，
∴，代入椭圆方程得：，
化简整理得：，∴，
∴椭圆C上存在三个点A，B，P，满足题意，此时直线AB的方程为
15．已知椭圆：的离心率是，以的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是.
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，是上一点，，若四边形是平行四边形，求的坐标.
【解析】（1）令椭圆长轴长，短轴长，
由已知，得 ∴解得
∴椭圆的方程是．
（2）设，，
由得，
，解得，
，，
四边形是平行四边形，∴，
∴，
∴，，
代入椭圆方程，得，
即，∴，解得，
又，
∴，
∴ ，
∴点的坐标是．
16．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为．过点作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中，，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求k的值；
(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．
【解析】（1）由题意得，2b＝2，，，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）当m＝1时，直线l的方程为，
设，，由，消去y得．
因为点P在椭圆C内，所以．
所以，所以．
所以，直线MN的方程为．
由，消去y得，则
因为，所以．
因为，所以，
因为，所以．
（3）直线l的方程为，
由，消去y得．
所以，即，（*）
且，所以．
因为M，N关于原点对称，所以由（2）易知，．
由四边形OANB为平行四边形，得，
可得，解得．
因为将代入（*）式恒成立，
所以存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，
所以当时，，
因为，所以，所以m的取值范围为．
类型四 向量垂直
17．已知椭圆的离心率为，长轴右端点到左焦点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是圆上的一点，过作圆的切线，且切线与椭圆交于、两点，证明：．
【解析】(1)解：由题意知，，解得，，，
所以，椭圆的方程为．
(2)证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为．
当直线的方程为，联立，解得或，
此时，则；
当直线的方程为，同理可证；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、．
因为直线与圆相切，所以，即．
联立，得，
则，
所以，，
所以，
，所以，.综上所述，.
18．已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．所以，故C的方程为：；
（2）设点，且，
因为为线段的中点，所以，所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以，
所以，所以．
19．已知椭圆C：的上顶点与右焦点分别为M，F，O为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，，若，求k的值.
【解析】(1)解：设椭圆C的半焦距为c.
因为是底边长为2的等腰三角形，所以且，
又，所以由勾股定理得，
所以.所以，，
所以椭圆C的方程为.
(2)解：联立，消去得，
则，解得或.
设，，则
则，，
由，得，即，
得，得，
整理得，
代入得，
化简得，所以，
解得，都满足或.
综上，k的值为或.
20．已知椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为，直线与的另一个交点为，连接，若的周长为，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，当为何值时，恒成立？
【解析】(1)设，由椭圆定义可知，的周长为，故，
直线的方程为与椭圆联立可得，
所以的面积为，即，解得
或（舍去），则，所以椭圆的标准方程为.
(2)联立，得，，
由（1）可知，，设，，
则，，，，
所以，解得
或（舍去），所以当时，恒成立.
类型五 向量模长
21．已知椭圆的左、右顶点分别为点，且为椭圆上一点，关于轴的对称点为，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线与椭圆交于两点，在轴上存在点，使得，，求直线的方程．
【解析】(1)解：由椭圆知，设，则.
点在椭圆上，有，所以，
故椭圆的离心率
(2)解：由题意知椭圆的一个焦点为，即，所以，又，即，所以椭圆的方程为，
设直线方程为，，，，线段的中点为，
联立，则，，即，由，即，
所以，所以，解得，
由，即，所以
，即，
将代入可得，，
解得满足条件，所以，故直线的方程为.
类型六 定角
22．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
【解析】（1）由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）
证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，所以，即
类型七 直角、锐角、钝角
23．在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
【解析】(1)设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.所以曲线的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.
所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.
，
因为，所以.
所以，解得
所以直线的方程为，即或.
24．设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围．
【解析】（1）由双曲线C：可得：右焦点，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），所以双曲线的离心率为2；
（2）因为，所以，因为，解得，故，
所以双曲线的方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，则，，
则，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，同理可求得：，
所以，，
因为为锐角，所以，
即，所以
所以即，解得或；
当直线的斜率不存在时，将代入双曲线可得，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
所以，，
因为为锐角，所以，解得或；
综上所述，t的取值范围或
25．已知椭圆C的离心率为，焦点、．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知、，是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求的取值范围．
【解析】（1）依题意，，所以椭圆的方程为.
（2）依题意，，
由于∠APB是钝角，所以①，
由于是椭圆C在第一象限部分上的一动点，
所以，且②，
将②代入①得，，则
所以的取值范围是.
类型八 点在圆上、点在圆外、点在圆内
26．已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左右顶点分别为、，当不与、重合时，直线，分别交直线于点、，证明：以为直径的圆过右焦点.
【解析】(1)由题干可得，所以，即椭圆的方程；
(2)解法一：设
因为直线交直线于点，所以，则
同理，则 由于异于轴两侧，因此异号.
所以
又因为，所以
即 ，以为直径的圆过右焦点.
解法二：设直线方程，
，
得 ，即
因为直线交直线于点，即.
因为直线交直线于点，则由三点共线，得，即
所以 即 ，以为直径的圆过右焦点.
27．已知椭圆C：1（a＞b＞0）长轴长为4，且椭圆C的离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标轴原点，以PQ为直径的圆过坐标轴原点，求直线l的方程．
【解析】（1）因为长轴长为4，所以a=2，
又因为椭圆C的离心率为，所以，∴b2=a2-c2，b2=2，
所以椭圆C的方程为：．
（2）设P（x1y1），Q（x2，y2），l的方程为y=x+m，
由x2+2y2=4且y=x+m得3x2+4mx+2m2-4=0，
令=（4m）2-4⋅3⋅（2m2-4）＞0，（1）
∴，∴，
由题意知OP⊥OQ，故x1x2+y1y2=0，，
解得或，验证知满足（1），所以直线的方程为：或．
28．已知是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)折线与相交于，两点，若以为直径的圆经过原点，求的值.
【解析】(1)因为，所以，
所以的轨迹是以，为焦点，4为长轴长的椭圆，
因为，，，所以动点的轨迹的方程为.
(2)如下图所示，设，，则
得，则，.
因为以为直径的圆经过原点，所以，所以，
所以，即，
则，所以.
29．已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为M、N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交椭圆于A、B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
【解析】（1）选①：由上顶点，即，
由，且，可得，所以椭圆的方程为.
选②：由题设，，即，而，所以，故，
所以椭圆的方程为.
（2）联立与，
并整理可得：，则，，
所以，
，
由，，
所以
，
故，故且不共线，故为锐角，
所以G在以AB为直径的圆外.
30．椭圆的离心率为，设为坐标原点，为椭圆的左顶点，动直线过线段的中点，且与椭圆相交于、两点．已知当直线的倾斜角为时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在定直线，使得直线、分别与相交于、两点，且点总在以线段为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)解：因为，则，，
所以，椭圆的方程为，即，
易知点，则点，当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
设点、，联立，可得，
，由韦达定理可得，，
所以，，
解得，则，，因此，椭圆的标准方程为.
(2)解：易知点，若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的两个端点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
直线的斜率为，直线的方程为，
故点，同理可得点，，，
由题意可得，解得或.
因此，存在满足题设条件的直线，且直线的方程为或，点总在以线段为直径的圆上.
31．已知椭圆的焦点在圆上，且椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上一点作圆的切线交椭圆于两点，证明：点在以为直径的圆内.
【解析】（1）∵圆与轴的交点为，∴
∵椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为
∴ ∴ ∴∴椭圆的方程为
（2）当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为
此时点到中点的距离为1，以为直径的圆的半径为
∵，∴点在以为直径的圆内；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
因为直线与圆相切，所以，即
联立，化简得：∴
∴
∴即 ∴点在以为直径的圆内
综上所述，点在以为直径的圆内.
32．已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，且，，若原点在以为直径的圆外，求的取值范围.
【解析】（1）依题意，可设椭圆的方程为.
∵离心率为，∴，即，∴，
∵椭圆经过点，∴.
解得，∴，，∴椭圆的方程为.
（2）记、两点坐标分别为，，
由消去，得，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴，∴，
由韦达定理，，
∵原点在以为直径的圆外，∴为锐角，
∵，，
∴为锐角，∴，
∵
.
∴，∴.
∵，∴，
∴的取值范围为.向量的运算
向量的数量积
若，则
向量的数乘
若，则时，
向量的线性运算
若，则时，.
向量的翻译
向量垂直
当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况）
向量模长
当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直.
定角
求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即.
直角
当为直角时，则
锐角
当为锐角时，则；
钝角
当为钝角时，则；
点在圆上
直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当为直角时，则；
点在圆内
直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当为钝角时，则；
点在圆外
直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当为锐角时，则；
平行四边形
若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.
向量其他常见条件
1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为；
2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线: = 1 \* GB3 ①=; = 2 \* GB3 ②=+且+=1; = 3 \* GB3 ③=(+)/(1+)； = 4 \* GB3 ④∥.
3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点: = 1 \* GB3 ①=; = 2 \* GB3 ②=(+).
4.在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD.
5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.