华东师大版（2024）九年级上册平行线分线段成比例课时作业

这是一份华东师大版（2024）九年级上册平行线分线段成比例课时作业，文件包含专题232平行线分线段成比例十大题型华东师大版原卷版docx、专题232平行线分线段成比例十大题型华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19282" 【题型1 辨别相似图形】 PAGEREF _Tc19282 \h 1
\l "_Tc6660" 【题型2 相似多边形的性质运用】 PAGEREF _Tc6660 \h 3
\l "_Tc8802" 【题型3 “A”模型中的平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc8802 \h 6
\l "_Tc30432" 【题型4 “8”模型中的平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc30432 \h 9
\l "_Tc23686" 【题型5 “X”模型中的平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc23686 \h 12
\l "_Tc15268" 【题型6 “#”模型中的平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc15268 \h 15
\l "_Tc456" 【题型7 多种模型的综合平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc456 \h 18
\l "_Tc2517" 【题型8 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合运用】 PAGEREF _Tc2517 \h 21
\l "_Tc4974" 【题型9 作平行线构造平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc4974 \h 26
\l "_Tc15828" 【题型10 作垂线构造平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc15828 \h 31
知识点1：相似多边形
定义1：形状相同的图形叫做相似图形。
定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【题型1 辨别相似图形】
【例1】（23-24九年级·山东聊城·开学考试）下面各组图形中，不是相似形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．
【详解】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意；
B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意；
C、两个五角星相似，故不符合题意；
D、所有的圆都相似，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．
【变式1-1】（23-24九年级·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形B．两个平行四边形
C．两个正五边形D．两个六边形
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键．
根据相似三角形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；
B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确；
C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确；
D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确．
故选C．
【变式1-2】（23-24九年级·山西阳泉·期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图形相似的概念进行解答即可．
【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，
故选：A．
【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·期末）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可．
【详解】①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为②③．
【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
【题型2 相似多边形的性质运用】
【例2】（23-24九年级·河北邢台·期中）已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3，下面四个矩形中与矩形ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】验证对应边是否成比例即可判断．
【详解】解：A：42=31.5，符合题意；
B：43≠32，不符合题意；
C：42≠31.2，不符合题意；
D：42.5≠32，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可．
【变式2-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E，F分别在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD与矩形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（ ）
A．16B．403C．323D．163
【答案】C
【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明S矩形ABEFS矩形BCDA=ABBC2=462=49，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形ABFE∽矩形BCDA，AB=4，BC=6，
∴S矩形ABEFS矩形BCDA=ABBC2=462=49，S矩形ABCD=4×6=24，
∴S矩形ABEF=323，
故选：C．
【变式2-2】（23-24九年级·海南海口·期末）如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ．
【答案】22.5
【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．
根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
30:20=x:15
∴x=22.5．
故答案为：22.5．
【变式2-3】（23-24九年级·山西太原·期末）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使AB边落在AD边上，点B的对应点为点F，折痕为AE，展平后连接EF；继续折叠该纸片，使FD落在FE上，点D的对应点为点H，折痕为FG，展平后连接HG．若矩形HECG∽矩形ABCD，AD=1，则CD的长为（ ）．
A．0.5B．3-1C．5-12D．5+12
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设CD=x，则EC=1-x,CG=x-1-x，根据两矩形相似求出即可．
【详解】解：在矩形ABCD中，设CD=x，
则AB=CD=x，AD=BC=1，
由翻折得AB=AF=x,∠AFE=∠B=∠BAF=90°，
∴四边形ABEF是正方形，
同理，四边形DFHG是正方形，
∴BE=AB=x,DF=DG=1-x，
∴CE=1-x,CG=x-1-x=2x-1，
∵矩形HECG∽矩形ABCD，
∴ECBC=CGCD，即1-x1=2x-1x，
解得：x=5-12（负值舍去），
经检验，x=5-12是原方程的解，
∴CD=5-12
故选：C．
知识点2：平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图：如果，则，，．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
【题型3 “A”模型中的平行线分线段成比例】
【例3】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若PQ∥MN，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是（ ）
A．52B．3C．103D．5
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵PQ∥MN，
∴OPON=OQOM=13，
∵ON=10，
∴OP=103．
故选：C．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，数轴，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
【变式3-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）

A．BDAD=DFACB．BFFC=AEECC．BFFC=DFACD．BFFC=CEAE
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
【详解】解：A．由DF∥AC，得BDBA=DFAC，故A选项错误；
B．由DF∥AC，得BFFC=BDDA，又由DE∥BC，得BDDA=CEEA，则BFFC=CEEA，故B选项错误，D选项正确；
C．由DF∥AC，得BFBC=DFAC，故C选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是（ ）

A．ANAF=12B．DNDE=23C．ADAC=12D．NEFC=12
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出AN=NF,根据中位线定理分析求解．
【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE∥BC.
∴ADDB=ANNF=1
∴ANAF=12,NE=12CF,DN=12BF .
∴NEFC=12.
∵BF=2FC，
∴DN=2NE.
∴DNDE=23.
所以，A,B,D正确，C错误；
故选：C
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l1，l3，l4，l2上，若直线l1∥l2∥l3且相邻两直线间距离相等．若AB=6，BC=4，则l2，l3之间的距离为（ ）．

A．5B．65C．125D．245
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键．
过A点作AN⊥l3于点N，交l2于点M，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得AEEB=AMNM=1，进而可得AE=EB=12AB=3，再利用勾股定理可得ED=AE2+AD2=5，结合三角形的面积即可求解．
【详解】过A点作AN⊥l3于点N，交l2于点M，如图，

∵在矩形ABCD中，BC=4，
∴AD=BC=4，∠BAD=90°，
∵直线l1∥l2∥l3且相邻两直线间距离相等，AN⊥l3，
∴AM=NM，
∴AEEB=AMNM=1，
∵AB=6，
∴AE=EB=12AB=3，
∴在Rt△EAD中，ED=AE2+AD2=5，
∵S△EAD=12×AE×AD=12×AM×ED，
∴AM=AE×ADED=125，
∴MN=AM=125，
故选：C．
【题型4 “8”模型中的平行线分线段成比例】
【例4】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）如图，DE∥BC，则下列比例式错误的是（ ）
A．ADBD=DEBCB．AEEC=ADBD
C．ABBD=ACECD．ADAB=AEAC
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．
【详解】解：∵DE//BC，
∴ADBD=AEEC,ABBD=ACEC,ADAB=AEAC；
∴A错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．
【变式4-1】（2024春·上海静安·九年级校考期中）已知ax=bc，求作x，那么下列作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可．
【详解】∵ax=bc，
∴ab=cx或ac=bx．
A．作出的为ab=a+xb+c，故不符合题意；
B．该情况无法作图，故不符合题意；
C．作出的为ab=cx，故符合题意；
D．作出的为ax=cb，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键．
【变式4-2】（2024春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，AB=3，FD=2，则EFFB的值为（ ）
A．25B．38C．37D．35
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=3，又FD=2，
∴BC=AD=AF+FD=5，
∵AD∥BC，
∴EFBE=AFBC=35，
∴EFFB=38，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【变式4-3】（2024春·全国·九年级专题练习）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【答案】C
【分析】根据l1∥l2，可得△AFG∽△BFD，进而得出AGBD＝AFBF＝25，AEEC＝AGCD，求出AG＝25BD，CD＝15BD，再求出AGCD即可．
【详解】解：∵l1∥l2，
∴△AFG∽△BFD
∴AGBD＝AFBF，
∵AF：BF＝2：5，
∴AGBD＝25，
即AG＝25BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝15BD，
∴AGCD＝25BD15BD＝21，
∵l1∥l2，
∴△AGE∽△CDE，
∴AEEC＝AGCD＝21，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型5 “X”模型中的平行线分线段成比例】
【例5】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知ABBC=32，若DF=10，则DE的长为（ ）

A．2B．3C．5D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据题意可得ABBC=DEEF，设DE=x，则EF=10-x，由此即可求解，掌握平行线的分线段成比例，比例的性质，解方程的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，ABBC=DEEF=32，设DE=x，则EF=10-x，
∴32=x10-x，
解得，x=6，
∴DE的长为6，
故选：D．
【变式5-1】（23-24九年级·山西晋中·期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被直线l1、l2、l3所截，AB=2，BC=5，EF=6，则DE的长为（ ）

A．7B．125C．152D．245
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出比例式代入即可．
【详解】解：∵ l1∥l2∥l3，
∴ ABBC=DEEF，
∴25=DE6，
∴DE=125．
故选B．
【变式5-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b相交于点G，与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（ ）
A．ABBG=DEEGB．AGGC=DGGF
C．BEFC=BGBCD．ADBE=AGBG
【答案】C
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、∵l1∥l2∥l3，
∴ABBG=DEEG，结果正确，故本选项不符合题意；
B、∵l1∥l2∥l3，
∴AGGC=DGGF，结果正确，故本选项不符合题意；
C、∵l1∥l2∥l3，
∴BEFC=BGGC，结果错误，故本选项符合题意；
D、∵l1∥l2∥l3，
∴ADBE=AGBG，结果正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
【变式5-3】（2024春·吉林长春·九年级统考期末）如图 ，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于 ．
【答案】34
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵AB//CD//EF，
∴BCCE=ADDF=AG+GDDF,
∵AG=4,GD=2,DF=8,
∴BCCE=ADDF=AG+GDDF=4+28=34,
故答案为：34.
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解此题的关键．
【题型6 “#”模型中的平行线分线段成比例】
【例6】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，l1∥l2∥l3，则下列比例式成立的是（ ）
A．ABAC=DEEFB．ABAC=DEDFC．ABAC=BECFD．ABAC=ADCF
【答案】B
【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABAC=DEDF，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．
【变式6-1】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）如图，AB∥CD∥EF，BF=20．
(1)若AC=3，CE=5，求DF的长；
(2)若AC:CE=2:3，求DF的长．
【答案】(1)DF=12.5
(2)DF=12
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
（1）由平行分线段成比例得出ACCE=BDDF，再代入数值计算；
（2）由平行线分线段成比例的性质得出BDDF=23，再代入计算．
【详解】（1）∵AB∥CD∥EF，
∴ACCE=BDDF，
∵AC=3，CE=5，BF=20，
∴35=20-DFDF，
解得DF=12.5；
（2）∵AB∥CD∥EF，AC:CE=2:3，
∴ACCE=BDDF=23.
∵BF=20，
∴20-DFDF=23，
解得DF=12．
【变式6-2】（23-24九年级·贵州铜仁·期末）如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC=16m，当DF:DE=4:3时，则AB的长是（ ）
A．10mB．11mC．12mD．13m
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到ACAB=DFDE=43，再由AC=16m可得结果．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ACAB=DFDE=43，
∵AC=16m，
∴AB=12m，
故选C．
【变式6-3】（23-24九年级·海南海口·期末）如图，l1∥l2∥l3，若2AB=3BC，DF=6，则DE等于（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到DE,EF的关系，再根据DF=6可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，2AB=3BC，
∴ABBC=DEEF=32，
∴DEDF=35，
∵DF=6，
∴DE=35×6=185=3.6，
故选：C．
【题型7 多种模型的综合平行线分线段成比例】
【例7】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
A．1r+1q=1pB．1p+1q=2rC．1p+1q=1rD．1q+1r=2p
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，两式相加即可得出结论．
【详解】解：∵AC//EF，
∴ EFAC=BFBC，
∵EF//DB，
∴ EFBD=CFBC，
∴ EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，即rp+rq=1，
∴ 1p+1q=1r．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．
【变式7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DG//BC，交AC于点G，过点E作EH//AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A．ADDB=DGBCB．GFEC=HCGHC．FHAD=GHAGD．HEAB=ECBE
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵DG//BC，
∴ADAB=DGBC，故A选项错误；
∵DG//BC，
∴GFEC=GHHC，故B选项错误；
∵EH//AB，
∴FHAD=GHAG，故C选项正确；
∵EH//AB，
∴HEAB=ECBC，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，在▱ABCD中，E，F，G依次是对角线BD上的四等分点，连结CG并延长交AD于点M，连结MF并延长交BC于点H．若MF=MC,MG=1，MH的长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据AD∥BC，得到MDBC=MGCG=DGBG，根据四等分点和MG得到CG，可得MC=MF=4，再证明DFBF=MFFH=1可得HF，可得MH．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴MDBC=MGCG=DGBG，
∵E，F，G依次是对角线BD上的四等分点，MG=1，
∴1CG=DGBG=13，
∴CG=3，
∴MF=MC=MG+CG=4，
∵AD∥BC，
∴DFBF=MFFH=1，
∴HF=4，
∴MH=MF+HF=8，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行线得到相应的比例式．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图， 点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边 形ABCD的四边于E，F，G，H． 连结AC分别交EG，FH于M和N． 若四边形FBGP~四边形EPHD，且四边形FBCH的面积是四边形AFPE`的3倍． 下列选项正确的是（ ）
A．EP=PHB．AN=EPC．AN=2MND．AM=2CM
【答案】D
【分析】设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，利用平行线分线段成比例定理求得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，再利用已知条件求得k=2，据此即可求解．
【详解】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E，F，G，H．四边形FBGP~四边形EPHD，
∴四边形PFBG，DEPH都是平行四边形，且相似，
设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∵FN∥BC，
∴FNBC=AFAB，GMAB=GCBC，即FN(k+1)y=x(k+1)x，GM(k+1)x=y(k+1)y，
∴GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，
∴△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，
∴S四边形PGCH=S四边形AFPE，
∵四边形FBCH的面积是四边形AFPE`的3倍．
∴(k+1)yy=3，
∴k=2，
∴EP=PH、AN=EP、AN=2MN都不成立，
AM=2CM成立，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键
【题型8 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合运用】
【例8】（23-24九年级·山东枣庄·期中）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为16，则△AEF的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．
【详解】解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，菱形ABCD的面积为：12AC•BD，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF=12BD，
∴AC⊥EF，CFDF=CGOG，
∴OG=CG，
∴AG=3CG，
设AC=a，BD=b，
∴12ab=16，即ab=32，
S△AEF=12EF•AG=12×12b×34a=316ab=6．
故选：D．
【点睛】此题考查的是菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键．
【变式8-1】（23-24九年级·上海·期中）△ABC中，AB=AC=10，重心G到底边BC的距离为2，那么AG= ．
【答案】4
【分析】过点D作DE//BF交AC于点E，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出AGGD=AFEF=2，然后代入计算即可．
【详解】如图，过点D作DE//BF交AC于点E，

∵G是△ABC重心，
∴AD，BF都是△ABC的中线，
∴AF=CF,BD=DC．
∵DE//BF，
∴CE=EF=12CF，
∴AF=2EF ．
∵DE//BF，
∴AGGD=AFEF=2．
∵GD=2，
∴AG=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽宿州·期末）如图，∠AOB=60°，C、D是边OA上的两点，且OD=8,CD=2，点P是OB上的一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连接CQ，则CQ的最小值为（ ）
A．1B．3C．32D．2
【答案】B
【分析】取OD的中点M，连接MQ，过点C作CQ'⊥MQ于点Q'，得MQ是△DOP的中位线，连接DQ'并延长交OB于点P'，可得Q点的运动轨迹是射线MQ，所以得CQ的最小值为CQ'的长，然后利用含30度角的直角三角形性质即可解决问题．本题考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，轨迹，解决本题的关键是得到Q点的运动轨迹是射线MQ．
【详解】解：如图，取OD的中点M，连接MQ，过点C作CQ'⊥MQ于点Q'，
∵点Q是PD的中点，
∴MQ是△DOP的中位线，MQ始终与OB平行，
连接DQ'并延长交OB于点P'，
∴DMOM=DQ'Q'P'=1
∴DQ'=Q'P'，
∴Q点的运动轨迹是射线MQ，
∴CQ的最小值为CQ'的长，
∵∠CMQ'=∠AOB=60°，OD=8，M是OD的中点，
∴MD=12OD=4，
∵CD=2，
∴MC=MD-CD=2，
∴MQ'=12MC=1，
∴CQ'=3MQ'=3，
∴CQ的最小值为3．
故选：B
【变式8-3】（2024·福建泉州·模拟预测）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ三线共点．

【答案】见解析
【分析】令AX,CZ相交于点E，延长AX，使XE=XD，连接BD，CD，证明四边形BDCE是平行四边形，则BE∥CD，BD∥CE，再证明ZE为△ABD中位线，则点E为AD中点，最后证明EY为△ABD中位线，得出EY∥CD，即可根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求证．
【详解】解：令AX,CZ相交于点E，延长AX，使XE=XD，连接BD，CD．

∵AX是△ABC的中线，
∴BX=CX，
∵XE=XD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴BE∥CD，BD∥CE，
∵CZ是△ABC的中线，
∴点Z为AB中点，BD∥CE
∴AEAD=AZAB=12，
∴ZE为△ABD中位线，即点E为AD中点，
∵BY是△ABC的中线，
∴点Y为AC中点，BE∥CD
∴AEAD=AYAC=12，
∴EY为△ABD中位线，
∴EY∥CD，
∵EY∥CD，BE∥CD，
∴点B、E、Y在同一条直线上，
∴AX，BY，CZ三线共点．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的证明，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线的判定和性质，以及在平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【题型9 作平行线构造平行线分线段成比例】
【例9】（23-24九年级·广东河源·期末）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE=14AD，BE的延长线交AC于F，则AFFC的值为（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴FH=HC，
∵DH∥BF，且AE=14AD
∴AFHF=AEED=13，
∴AF：FC=1：6，
故选：C
【变式9-1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若DFFG=45，则FE的长度是（ ）
A．259B．237C．12D．47
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作FH∥BC交CD于H，则DHHC=DFFG=45，根据E为CD边中点，得HEED=19，再根据FH∥AD，得FEAE=HEDE=19，根据勾股定理得AE=25，所以FE=259．
【详解】解：如图，作FH∥BC交CD于H，
则DHHC=DFFG=45，
∵E为CD边中点，
∴ HEED=19，
∵FH∥AD，
∴ FEAE=HEDE=19，
∵AE=42+22=25，
∴FE=259．
故选：A．
【变式9-2】（23-24九年级·浙江湖州·期末）如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E． 记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当S1S2＝25时，则OGBC的值是（ ）
A．25B．13C．411D．38
【答案】D
【分析】连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，首先证明AGEG=41，再利用平行线分线段成比例求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，
∵点O是AB的中点，
∴AO=OB，
∴S∆AOG=S∆OBG，
∵S∆AOGS∆ABE=25，
∴S∆ABGS∆BEG=41，
∴AGEG=41，
∵OT∥AE，AO=BO，
∴ET=TB，
∴OT=12AE，
∴GEOT=25，
∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，
∴∠DCG=∠DCE，
∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°，
∴∠CGE=∠CEG，
∴CG=CE，
∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTD，
∴∠COT=∠CTD，
∴CO=CT，
∴OG=ET，
∵GE∥OT，
∴CECT=GEOT=25，
∴CEET=23，
∴OGBC=38，
故选：D．
【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，三角形的面积，三角形中位线定理等，理解题意，学会添加辅助线，构造平行线是解题关键．
【变式9-3】（23-24九年级·广西·期中）如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于（ ）

A．3∶2∶1B．4∶2∶1C．5∶3∶2D．5∶2∶1
【答案】C
【分析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3a，则BP=PQ=QC=a；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可求得答案．
【详解】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3a，

则BP=PQ=QC=a；
∵AM=CM，AF∥BC，
∴AFBC=AMCM=1，
∴AF=BC=3a，
∵AF∥BP，
∴BDDF=BPAF=a3a=13，
∴BD=DF3=BF4，
∵AF∥BQ，
∴BEEF=BQAF=2a3a=23，
∴BE=2EF3，即BE=2BF5，
∵AF∥BC，
∴BMMF=BCAF=3a3a=1，
∴BM=MF，即BM=BF2，
∴DE=BE-BD=2BF5-BF4=3BF20，EM=BM-BE=BF2-2BF5=BF10，
∴BD:DE:EM=BF4:3BF20:BF10=5：3：2．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．
【题型10 作垂线构造平行线分线段成比例】
【例10】（2024·浙江绍兴·一模）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（ ）
A．125B．1252C．245D．2452
【答案】A
【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．
【详解】解：如图所示，过C点分别向OA、OB作垂线，垂足分别为点D、点E，
因为∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，
∴OE=CE=CD=OD,
设OE=CE=CD=OD=x,
∴BE=6-x，
∵CE∥OA，
∴BEOB=CEOA,
∴6-x6=x4，
∴x=125，
∵OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,
∴点C处的标度等于CD的长，即为125，
故选：A．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．
【变式10-1】（23-24九年级·浙江·周测）如图，在ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，∠ABC的平分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，则BD:DE为（ ）
A．3:2B．5:3C．4:3D．2:1
【答案】A
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由勾股定理得AC=8，再由角平分线的性质得DA=DF，进而由面积法求出DF=3，则CD=AC-DA=5，然后由勾股定理得CF=4，则BF=6，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠A=90°，AB=6，BC=10，
∴DA⊥BA，AC=BC2-AB2=102-62=8，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，
∴DA=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，
∴12AB⋅AC=12AB⋅DA+12BC⋅DF，
∴6×8=6DF+10DF，
解得：DF=3，
∴DA=3，
∴CD=AC-DA=8-3=5，
∴CF=CD2-DF2=52-32=4，
∴BF=BC-CF=10-4=6，
∵DF⊥BC，CE⊥BC，
∴DF∥CE，
∴BDDE=BFCF=64=32，
即BD:DE=3:2．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键
【变式10-2】（23-24九年级·山东聊城·期末）如图，正方形ABCD边长为3，G，F是对角线BD的三等分点，点E在边AB上，EG∥AD，连接FC．
(1)求EF的长．
(2)试判断EF与FC之间的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)5
(2)EF⊥FC，理由见解析
【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理的逆定理等：
（1）过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，先证四边形MBNF为正方形，根据EG∥AD得出BEME=BGGF=1，最后由勾股定理解Rt△MFE即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理证明△EFC为直角三角形，即可得出EF⊥FC．
【详解】（1）解：过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴FM=FN
又∵∠ABC=∠BMF=∠BNF=90°，
∴四边形MBNF为正方形，
∴BD=32+32=32，
∵点F为三等分点，
∴BF=22，
∴MF=MB=BN=2，
又∵G为FB中点，EG∥AD，
∴BEME=BGGF=1，
∴ME=BE=12MB=1，
在Rt△MFE中，EF=ME2+MF2=12+22=5．
（2）解：EF⊥FC，
理由：连接EC，
在Rt△BEC中，EC2=EB2+BC2=12+32=10，
由（1）知EF=5，
∴EF2=5，
在Rt△FNC中，FC2=NC2+FN2=1+4=5，
∴EC2=EF2+FC2，
∴△EFC为直角三角形，
∴EF⊥FC．
【变式10-3】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在四边形ACBD中，对角线AB，CD相交于点O，∠ACB=90°，BD=CD=10，BC=16，若∠DAB=2∠ABC，则ADAB的值为 ．

【答案】12/0.5
【分析】过D作DE⊥BC于E，交AB于F，设∠ABC=α，∠ABD=β，利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明∠ADC=β=∠FBD，∠ACD=90°-α+β=∠FDB，再证△DAC≌△BFDASA，推出BF=AD，根据AC∥DE推出BECE=BFFA=1，进而可证ADAB=BFAB=12．
【详解】解：过D作DE⊥BC于E，交AB于F，

设∠ABC=α，∠ABD=β，
∴∠DAB=2∠ABC=2α，∠DBC=α+β，
∵BD=CD，DE⊥BC，
∴∠DCB=∠DBC=α+β，CE=BE，
在△DAO和△BCO中，由三角形内角和定理可知∠ADO+2α=α+β+α，
∴∠ADC=β=∠FBD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+α+β=90°，
∴∠ACD=90°-α+β=∠FDB，
在△DAC和△BFD中，
∠ACD=∠FDBBD=CD∠ADC=∠FBD，
∴△DAC≌△BFDASA，
∴BF=AD，
∵AC⊥CB，DE⊥CB，
∴AC∥DE，则BECE=BFFA=1，
∴F是AB的中点，
∴ADAB=BFAB=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等，正确作出辅助线，证明△DAC≌△BFDASA是解题的关键．