初中数学华师大版九年级上册2. 平行线分线段成比例学案

教学目标

1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活运用.

2.掌握平行于三角形一边的直线的性质.

教学重难点

重点：掌握“平行线分线段成比例”的基本事实.

难点：平行线分线段成比例定理的推导证明.

教学过程

复习巩固

成比例线段的概念：对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如（或a∶b＝c∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

如图所示，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、EF的长度.

（1）与相等吗？

（2）任意平移l5，再度量AB、BC、DE、EF的长度，与相等吗？

（3）图中与，与，与，是否也相等呢？

【答案】（1）相等；（2）相等；（3）相等.

可以发现，当l3∥l4∥l5 时，

有＝，＝，＝，等.

教师总结：

引出课题： 23.1　成比例线段

2　平行线分线段成比例

探究新知

探究点一　平行线分线段成比例的基本事实

活动2（学生交流，教师点评）

阅读教材第51页～第52页的内容，完成问题，得到结论：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段成比例”）

符号语言表示：

∵ l3∥l4∥l5，

∴ ＝，＝，＝，＝.

【注意】对应线段写在对应的位置.

活动3　合作探究，解决问题（师生互学）

典例讲解

例1　如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1、l2、l3所截，AB＝3，BC＝2，求DE∶DF的值.

【探索思路】（引发学生思考）已知l1∥l2∥l3及AB、BC的长，利用平行线分线段成比例求解.

【解】∵ l1∥l2∥l3，∴ AB∶BC＝DE∶EF＝3∶2，∴ DE∶DF＝3∶5.

【题后总结】（学生总结，老师点评）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

探究点二　平行于三角形一边的直线的性质

【问题2】

活动4（学生交流，教师点评）

阅读教材第52页～第53页的“思考”内容，完成问题，归纳总结，得出结论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

符号语言表示：如图，在△ABC中，DE∥BC，

则 ，.

活动5　典例讲解（师生互动）

例2　如图，在△ABC中， EF∥BC.

（1）如图（1）所示，如果E、F分别是AB和AC上的点， AE＝BE＝7，FC＝ 4，

那么 AF的长是多少？

（2）如图（2）所示，如果AB ＝ 10，  AE＝6，AF ＝ 5  ，那么FC的长是多少？

（1）　　　　　　　　（2）　

【探索思路】要求线段的长，由EF∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例列比例式求解.

【解】（1）∵ EF∥BC，∴＝ .

∵ AE＝BE＝7，FC＝4，∴＝，∴ AF＝4.

（2）∵ EF∥BC，∴ ＝.

∵ AB＝10，AE＝6，AF＝5，∴ ＝，

∴ AC＝，∴ FC＝AC-AF＝-5＝.

【即学即练】（学生独学）

1.如图，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，如果EG＝4，求AC的长.

【探索思路】求AC的长，需要转化为求AE、GC的长.

【解】∵ DE∥FG∥BC，∴ AE∶EG∶GC＝AD∶DF∶FB＝2∶3∶4.

∵ EG＝4，∴ AE＝，GC＝，

∴ AC＝AE+EG+GC＝12.

活动6　拓展延伸（师生互动）

典例讲解

例3　如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC、AB于点E、F，连结BE、CF，分别交DF、DE于点N、M，连结MN.试判断△DMN的形状，并说明理由.

【探索思路】观察法：观察图形，猜测△DMN为等边三角形→已知线段平行→得＝→由平行线分线段成比例推论得MN∥BC→得结论.

【解】△DMN为等边三角形.理由：∵ DE∥AB，且△ABC为等边三角形，DF∥AC，

∴ ∠EDC＝∠ABC＝60°，∠BDF＝∠ACB＝60°，

∴ ＝，＝，∴ ＝，∴ MN∥BC，

∴ ∠MND＝∠BDN＝60°，∠NMD＝∠MDC＝60°，∴ △ DMN为等边三角形.

【题后总结】（学生总结，老师点评）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；有两个角为60°的三角形是等边三角形.

活动7　典例讲解（师生互动）

例4　如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.

求证：AD是AB和AF的比例中项.

【探索思路】 分别在△ABC及△ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论.

【证明】在△ABC中，∵ .

在△ADC中，∵ ∴ ，

∴ ，∴ AD2＝AB·AF，即AD是AB和AF的比例中项.

【即学即练】（学生独学）

2.如图，E为ABCD的边CD延长线上一点，连结BE，交AC与点O，交AD与点F，求证：.

【证明】∵ AF∥BC，∴　

∵ AB∥CE，∴ ＝，

课堂练习

1.如图所示，在△ABC中，EF∥BC，AE＝2 cm，BE＝6 cm，BC ＝ 4 cm，EF长为（　　）

A. 1 cm　　　　B. cm　　　　C. 3 cm　　　　D.2 cm

2.如图所示，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38 m，则AB的长为 　　　.

3.如图所示，在△ABC中，点M是BC上任一点， MD ∥ AC，ME ∥ AB，

若，求的值.

4.如图所示，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BE的长.

5.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝4，EC＝2，BC＝8.求BF和CF的长.

参考答案

1.A 　　2.152 m      

3. 【解】∵ MD∥AC，

∴＝＝，∴ ＝.

又∵ ME∥AB，∴＝.

4.【解】∵ l1∥l2∥l3，∴ ＝＝，即＝＝，

∴ BC＝6，BF＝BE，

∴ BE+BE＝7.5，解得BE＝5.

5. 【解】∵ DE//BC，

∴

∵ DF//AC， ∴ .

∵ BC＝8，∴

∴ BF＝BC-CF＝8-.

课堂小结

 （学生总结，老师点评）

1.平行线分线段成比例基本事实

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

【基本图形】

2.平行线分线段成比例的基本事实的推论

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

【基本图形】

布置作业

教材第55页练习题第1，2题.

板书设计

课题　23.1　成比例线段

2　平行线分线段成比例

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　    例1　

平行线分线段成比例的基本事实

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　    例2

平行线分线段成比例线段的基本事实的推论　　 例3　　　　

教学反思

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