数学九年级上册二次根式的加减精练

这是一份数学九年级上册二次根式的加减精练，共47页。试卷主要包含了3 二次根式的加减等内容，欢迎下载使用。

题型一 同类二次根式的判断
（24－25 八年级下·广东惠州·阶段练习）
1 ．下列二次根式化简后与 的被开方数相同的二次根式是( )
A ．、 B ． C ． D ．
（24－25 八年级下·广西防城港·期中）
2 ．下列二次根式中，与2 是同类二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
（24－25 八年级下·山西朔州·期中）
3 ．下列二次根式中，能与 合并的是( )
A ． B ． C ． D ． ·
（24－25 八年级下·山东济南·期中）
4 ．若最简二次根式、/2x +1 与二次根式、可以合并，则 x 的值为( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
（24－25 八年级下·河南周口·期中）
5 ．下列各组根式中，同类二次根式为( )
1
\ 3
a2 -1
A ． 、i8 与s5 B ． 与 · C ．sa2b 与vab2 D ． ·、ia2 +1 与
（24－25 八年级下·广西南宁·期中）
6 ．最简二次根式 ·、与 ·、是同类二次根式，则x + 2y = ．
（24－25 八年级下·安徽淮北·期中）
7 ．最简二次根式 ·和 ·、 是同类二次根式，a 的值是
题型二 二次根式的加减运算
（24－25 八年级下·河南商丘·期中）
8 ．若 + = ，则 P 的值为( )
A ．8 B ．12 C ．24 D ．36
（24－25 八年级下·广东惠州·阶段练习）
9 ．下列各式计算正确的是( )
A ． + = B ．2 + = 2
C ．3 - = 2 D ． （2025·四川自贡·中考真题）
10 ．计算： - 3 = ．
（24－25 七年级下·云南·期中）
11 ．计算： 3-8 + 64 - (-3)2 - 1 - 2 （24－25 八年级下·广西南宁·期中）
计算
（2）已知 a = 3, b = - 3 ，求b(a + b) 的值． （24－25 八年级下·浙江温州·期中）
1
13 ．计算：
(1) - + ．
\ 2
(2) (2 -1)(2 +1)．
（23－24 八年级下·福建厦门·期中）
14 ．计算：
(2) ( + 2)2 + ( + 2)( - 2)．
题型三 二次根式的混合运算
（24－25 八年级下·山东烟台·期中）
15 ．下列计算错误的是( )
A ．
2
．．((3
（24－25 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）
16 ．计算
（24－25 九年级下·甘肃张掖·期中）
17 ．计算
（24－25 八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）
18 ．计算
(1) y20 + s5 (2 + ·、)
(2) ( + 3)2
（24－25 八年级下·河南商丘·期中）
计算
（2）解方程： x = + x ． （2025·甘肃陇南·模拟预测）
20 ．计算 （24－25 八年级下·河南许昌·期中）
21 ．计算： ÷ - × ( + )+ ( -1)2 （23－24 八年级上·江西九江·期中）
22 ．计算：
题型四 比较二次根式的大小
（20－21 八年级下·山东临沂·期中）
23 ．比较大小：2 3 ．（填> ，”“ ”，“ = ”或“ < ”）． （24－25 八年级下·安徽宣城·期中）
28 ．比较大小： + + （填“ < 或> 或= ”）．
题型一 已知字母的值，化简求值
（24－25 八年级下·山东淄博·期中）
29 ．已知m = -1 ，n = +1，则 n2 - m2 = ． （24－25 八年级下·江苏扬州·阶段练习）
30 ．若 则代数式x2 - 6x + 9 的值为 ． （24－25 八年级下·河北邢台·期中）
31 ．已知m = 2 - 3 ，n = ．
(1)求mn + 3n 的值；
(2)求m2 - 6mn + 9n2 的值．
（24－25 八年级下·广东中山·期中）
32 ．已知x = + 2, y = 5 - 2，求下列代数式的值．
(1) x2 - y2 ；
1 2x
（2025·安徽六安·三模）
33 ．先化简，再求值 其中x = 2 + ． （24－25 八年级下·河南周口·期中）
34 ．已知：x = +1 ，y = -1 ，求 x2 - y2 + 2xy ．
y x
（24－25 九年级下·山东滨州·期中）
35 ．先化简，再求值： x (x + y ) - y (x + y) ，其中 x = +1 ，y = -1． （2025·福建漳州·二模）
36 ．先化简，再求值 其中x = 2+ ．
题型二 已知条件式，化简求值
（23－24 八年级下·山东滨州·阶段练习）
37 ．已知 则 值为 ( )
A ．2 B ． ±2 C ．2 D ． ±2
（23－24 八年级上·全国·单元测试）
38 ．已知a + b = -1 ，ab = -1 ，则 a2 + ab + b2 的值是( )
A ．2 - B ．4 - 2 C ．2 - 2 D ．3 -
（24－25 八年级下·四川成都·阶段练习）
39 ．已知a + b = 3 + , a - b = 3 - ，求代数式 2a2 - 2b2 的值是 ．
（24－25 八年级下·全国·单元测试）
40 ．已知a + b = -8, ab = 6 ，则 ． （24－25 八年级上·重庆·期末）
41 ．若a + 2b = 2 ，则代数式4(b + 2)(2 - b) - a (a + 4b) 的值为 ．
（24－25 八年级上·全国·期末）
42 ．已知a + b = ，则代数式 a2 - b2 + 2 b + 9的值为 ． （21－22 八年级上·四川成都·期中）
43 ．若xy = 5，x + y = -7 ，则 ． （24－25 八年级下·辽宁葫芦岛·期中）
44 ．如果x2 + y2 - 8x - 6y + 25 = 0 ，试求 的值． （24－25 八年级上·上海·阶段练习）
45 ．已知：a + b = 3 ，ab = 1 ，且a > b ，求 的值．
题型一 二次根式的应用
（24－25 八年级下·辽宁大连·期中）
46．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几 何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为 a， b ，c ，记 则三角形的面积为 因此后人将他们的 发现合称为海伦－秦九韶公式．若 △ABC 中，AB = AC = 5 ，BC = 4 ，请你利用海伦－秦九 韶公式计算 △ABC 的面积为 ．
（24－25 八年级下·全国·课后作业）
47 ．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B 、D 作AB 丄 BD、ED 丄 BD ，连接 AC 、 EC ．已知AB = 5 ，DE = 2 ，BD = 12 ，设CD = x ．
(1)用含 x 的代数式表示AC + CE 的长．
(2)点 C 在BD 上什么位置时，AC + CE 的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式 + 的最小值． （24－25 八年级下·全国·课后作业）
48 ．观察下列各式：
即
即 ．
(1)根据你发现的规律填空：
即
猜想 （ n ≥ 2 ，n 为自然数）等于什么，并验证你的猜想． （24－25 八年级下·北京·期中）
49．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过 网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数 a ，b，
称为 a ，b 这两个数的算术平均数，
称为 a ，b 这两个数的几何平均数，
称为 a ，b 这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若a = -2 ，b = -3 ，则 M = ，N = ，P = ；
(2)小聪发现当 a ，b 两数异号时，在实数范围内 N 没有意义，所以决定只研究当 a ，b 都是 正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图 形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a + b 的正方形和它的两条对角线，则图 1 中阴影部分的面积可以表N2 ．
①请分别在图2，图 3 中用阴影标出一个面积为M2 ，P2 的图形；
②借助图形可知当 a ，b 都是正数时，M，N，P 的大小关系是：__________（把 M，N，P 从小到大排列，并用“ < ”或“≤ ”号连接）．
1 ．C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简， 同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式 的化简．
先将各选项化简为最简形式，判断被开方数是否为 3 即可．
【详解】A. 、/6 ，无平方数因子，无法化简，被开方数为 6，故不符合题意；
B. = = . = 2 ，被开方数为 2，故不符合题意；
C. = = . = 2 ，被开方数为 3，故符合题意；
D. ，无平方数因子，无法化简，被开方数为 21，故不符合题意； 故选：C．
2 ．D
【分析】本题考查同类二次根式的识别， 掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二 次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类 二次根式的定义即可判定．
解 与2 不是同类二次根式，故 A 选项不合题意；
与2 不是同类二次根式，故 B 选项不合题意；
2 与2 不是同类二次根式，故 C 选项不合题意；
3 与2 是同类二次根式，故 D 选项符合题意； 故选：D．
3 ．B
【分析】本题考查了二次根式的加减， 先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义 判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A 、 = 3与3 不能合并，原选项不符合题意；
B 、2 与 3 能合并，原选项符合题意；
C 、3与 3 不能合并，原选项不符合题意；
D 、 与 3 不能合并，原选项不符合题意；
故选：B ．
4 ．A
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简， 最简二次根式，二次根式的加减，解题关键 是利用二次根式的性质化简．
先利用二次根式的性质化简，再列出关于x 的方程求解． 【详解】解： = = × = 2 ，
∵最简二次根式与二次根式 ·、/20 可以合并， : 2x +1 = 5 ，
解得：x = 2 ，
故选：A．
5 ．B
【分析】本题考查了同类二次根式， 熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类 二次根式的定义，逐项分析即可判断．
【详解】A 、 /8 与J5 不是同类根式，不符合题意；
B 、 故 和 是同类根式，符合题意；
C 、 故 和 不是同类根式，不符合题意；
D 、 与 不是同类根式，不符合题意； 故选：B．
6 ．2
【分析】本题考查的是同类二次根式， 二次根式的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做 同类二次根式．根据同类二次根式的定义得出3 + x =5 - 2y ，变形即可得出答案．
【详解】解：∵最简二次根式与 是同类二次根式，
: 3 + x = 5 - 2y ，
: x + 2y = 5 - 3 = 2 ， 故答案为：2．
7 ． ±2
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义， 若两个最简二次根式的被开方数相同，那么 这两个最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得a2 + 1 = 5 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵最简二次根式 ·和 ·、 是同类二次根式，
: a2 + 1 = 5 ， : a2 = 4 ， : a = ±2 ，
故答案为： ±2 ．
8 ．C
【分析】本题考查二次根式加法与乘方运算， 先合并同类二次根式，再两边同时平方即可得 到答案，熟记二次根式加法与乘方运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：Q + = ，
: = 2 ，
两边平方得(YP )2 = (2)2 ，即 P = 24 ， 故选：C．
9 ．C
【分析】本题考查二次根式的运算和二次根式的性质，根据二次根式加减运算法则和二次根 式性质，逐一验证各选项的正确性．
【详解】解：A ．二次根式相加时，被开方数需相同才能合并， 与 的被开方数不同， 无法直接相加，故 A 错误；
B ．左边为整数与二次根式相加，无法直接合并为2 2 ，故 B 错误；
C ．被开方数相同，合并系数 故 C 正确；
D ． 算术平方根结果非负，故 D 错误．
故选：C．
10 ．0
【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简 /18 ，再合并即可.
【详解】解： - 3 = 3 - 3 = 0 ；
故答案为：0 ．
11 ．4 -
【分析】分别计算各项， 立方根、算术平方根、绝对值， 再进行加减运算．本题主要考查了
立方根、算术平方根、绝对值的运算，熟练掌握各自的定义和性质是解题的关键． 【详解】解： 3-8 + 64 - (-3)2 - 1 - 2
= -2 + 8 - 3 - ( -1)
= -2 + 8 - 3 - +1
= 4 - ．
12 ．（1） ·
（2）10 - 3
【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）将字母的值代入，根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：（1）原式 = 3 2 - 2 = ；
原式
13 ． (2)11
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；
（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解．
解：原式
2
14（2）( )2：式 (2) -1= 12 -1= 11．
(2) 10 + 4
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算， 二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关
计算法则是解题的关键= 10 + 4 5 ．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
1
12 - 2 + 8 2
= 2 3 - 2 + 2 2
= 2 + ；
( )
( ·、i )
5 + 2 2 + 5 + 2 ( - 2)
（2）解：
= 5 + 4 5 + 4 + 5 - 4
= 10 + 4 5 ．
15 ．D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据运算法则逐项计算即可．
解 计算正确；
B：(3 - )2 = 32 - 2× 3· + ( )2 = 9 - 6 + 2 = 11- 6 ，计算正确；
计算正确；
D：( + 7)( - 7) = ( )2 - 72 = 5 - 49 = -44 ，选项计算错误；
故选：D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先计算括号二次根式的减法，然后计算除法；
（2）首先化简二次根式，计算二次根式的乘法，然后合并即可． 【详解】（1）(2- 3) ÷
= (8 - 9) ÷
1
8
（2） + 2 × -
17 ． ·、/5
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算乘法，再进行减法运算即可．
\ 3
【详解】解： - ×
= 2 -
= 、 ．
18 ．(1) 4 + 5
(2) 23 + 6
【分析】本题考查了二次根式混合运算， 二次根式的性质，完全平方公式，正确掌握相关性 质内容是解题的关键．
（1）先运用二次根式的性质化简，以及运算乘法，最后运算加法，即可作答．
（2）根据完全平方公式进行展开计算，即可作答． 【详解】（1）解： + (2 + )
= 2 + 2 + 5
= 4 + 5 ；
（2）解：( + 3)2
= 5 + 2 × × 3 +18
= 5 + 6 +18
= 23 + 6 ．
【分析】本题考查了解一元一次方程，二次根式的性质，二次根式的混合运算，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质以及运算乘法，再运算减法，即可作答．
（2）先移项再合并同类项，系数化 1，即可作答．
\ 2
【详解】解：（1） - ×
= 3 -
= 2 ；
（2） x = + x ，
移项可得 x - x = ， 即( - )x = ，
: (2 - 4 )x = 2 ， 即-2 x = 2 ，
解得
20 ．4
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算， 先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最 后根据二次根式加减计算法则求解即可．
【详解】解：原式 = 3 + - 4
= 3 + 5 - 4 = 4 ．
21 ．-9 - 2
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式，再计算二次根式乘除法， 最后计算加减法即可得到答案．
2
=【-解3】×：3 - =--21) - 2+1
= 3 -15 + 2 - 2 +1
= -9 - 2 ．
22 ．(1) -1 (2) 3
【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义和绝对值的性质分别运算，再合并即可；
（2 ）根据二次根式的性质和运算法则计算即可；
本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题 的关键．
【详解】（1）解：原式 = 4 - 2 - 2 + -1
= -1；
解：原式
3 = 2 +
= 3 ．
23 ．>
【分析】本题考查了二次根式的大小比较： 对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方 法先转化为有理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系．
【详解】解：Q (2)2 = 20 ，(3 )2 = 18 ，
:(2)2 > (3 )2 ，
:2 > 3 ． 故答案为：> ．
24 ．>
【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式比较大小 ．根据3 = ，2 = ，而
> 即可判断．
【详解】解：依题意，3 = ，2 = ，
: > ，
: 3 > 2 ．
故答案为：>
25 ．
【分析】本题考查了实数的大小比较， 二次根式的性质，解题关键是将数都放到根号内，再 作比较．
先将两个数都化为一个根号下的二次根式，再通过比较补开方数，然后得出原数的大小． 【详解】解：: 2 = ，3 = ，
12 > 9 ，
故答案为：> ．
27 ．
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出( + )2 ，
即可求解．
2
∵ 17 + 2 > 17 + 2 ，
: + > + ．
故答案为：> ．
29 ．4
【分析】本题考查二次根式的运算， 化简求值，求出m + n 和n - m的值， 因式分解后，整体 代入法进行求值即可．
【详解】解：∵ m = -1 ，n = +1， : m + n = 2 ，n - m = 2 ，
: n2 - m2 = (n - m)(m + n) = 2 × 2 = 4 ；
故答案为：4 ．
30 ．2025
【分析】此题考查了代数式的值、二次根式的性质等知识，整体代入是解题的关键．
先求出x - 3 = ，把 x2 - 6x + 9 变形为(x - 3)2 ，整体代入即可得到答案．
解
: x - 3 = 、 ， : x2 - 6x + 9
= (x - 3)2
= ( )2
= 2025
故答案为：2025 ．
31 ．(1)10
(2) 14 + 6
【分析】本题考查二次根式的运算， 代数式求值，完全平方式，熟练掌握二次根式的运算法 则是解题的关键．
（1）直接将 m = 2 - 3 ，n = 代入式子计算即可；
（2）先利用完全平方式将 m2 - 6mn + 9n2 变形为(m - 3n)2 ，再代入进行计算即可．
【详解】（1）解：mn + 3n
= (2 - 3) + 3
= 10 - 3 + 3
= 10 ；
（2）解：m2 - 6mn + 9n2
= (m - 3n)2
= (2 - 3 - 3)2
2
= (-3 - )
= 9 + 6 + 5
= 14 + 6 ． 32 ．(1) 8
(2) -4
【分析】本题主要考查了分式化简求值， 二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟 练掌握运算法则．
（1）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据分式加减运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：Qx = + 2 ，y = - 2 ，
: x2 - y2 = (x + y)(x - y )
= ( + 2 + - 2) + 2 - ( - 2)
= 2 × 4 = 8 ；
（2）解：Qx = + 2 ，y = - 2 ，
:xy = ( + 2)( - 2) = 5 - 4 = 1 ，
x y
=
y - x xy
= - 2 - ( + 2)
= - 2 - - 2
= -4 ．
【分析】本题考查了分式的化简求值．先通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到最
简分式，然后把x = 2 + 代入计算即可．
1 2x
当x = 2 + 时，
原式
34 ．4 +12
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 先把所求代数式变形为(x + y)(x -y ) + 2xy ，再代值计算即可．
【详解】解：当 x = +1 ，y = -1 时， 原式= (x + y)(x -y ) + 2xy
= 4 +12 ．
（注：运算过程不唯一，方法合理，运算结果正确即可）
-2
【分析】本题主要考查了分式化简求值， 熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．先根 据异分母分式加减运算法则进行化简，然后代入数据求值即可．
代入 x、y 的值，得：
原式
【分析】本题考查了分式的化简求值.
先通分，再去括号，约分，最后将x = 2 + 代入即可.
1
当x = 2 + 时，原式= 2 + - 2 = 2
37 ．A
【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据 推出 再将 化为 ，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关
键．
解 : a ≥ 0 且a ≠ 0 ，
: a > 0 ，
: 、 > 0 ，
: + 值为2 ．
故选：A．
38 ．B
【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式a2 + ab + b2 变形为(a + b)2 - ab 的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案．
【详解】解：Qa + b = -1 ，ab = -1 ，
: a2 + ab + b2 = (a + b)2 - ab
= ( -1)2 - (-1)
= 2 - 2 + 1 + 1
= 4 - 2 ， 故选：B．
39 ．14
【分析】根据2a2 - 2b2 = 2 (a2 - b2 )，整体代入计算即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解
: (a + b)(a - b) = a2 - b2 = (3 + )(3 - ) = 32 - ( )2 = 7
: 2a2 - 2b2 = 2 (a2 - b2 ) = 14 ， 故答案为：14．
【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化， 完全平方公式，进行解答，即可．
【详解】解：∵ a + b = -8 < 0 ，ab = 6 > 0 ， : a < 0 ， b < 0 ，
b a
a b
: b + a ·
ab ab
\ a2 b2
= b + a
b a
= - -
a b
故答案为：- ．
41 ．4
【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的计算，掌握整式的运算法则化简代数式式， 再代入求值即可．
根据整式的混合运算先化简代数式，再代入，运用二次根式性质化简求值即可． 【详解】解：4 (b + 2)(2 - b) - a (a + 4b)
= 4 (4 - b2 )- (a2 + 4ab)
= 16 - 4b2 - a2 - 4ab
= 16 - (a2 + 4ab + 4b2 )
= 16 - (a + 2b)2 ，
∵ a + 2b = 2 ，
:原式= 16 - (2)2 = 16 -12 = 4 ， 故答案为：4 ．
42 ．11
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进 行计算．
将原式进行变形，再将a + b = ·、2 代入式子中，进行计算，整理；再将a + b = 、/2 代入式子中 进行计算即可．
【详解】a2 - b2 + 2 b + 9
= (a + b)(a - b) + 2 b + 9
= (a - b) + 2 b + 9
= a - b + 2 b + 9
= (a + b) + 9
= × + 9
= 11 ．
故答案为： 11．
43 ．
【分析】本题考查了二次根式化简求值， 先将二次根式化简，再把xy = 5，x + y = -7 代入即 可求出答案．
【详解】解：由题意可知，x < 0，y < 0
原式
y x
当xy = 5，x + y = -7 时，
原式
故答案为： ．
44 ．
【分析】本题考查二次根式的化简求值， 将已知转化为(x - 4)2 + (y - 3)2 = 0 ，根据平方的非 负性质得x = 4 ，y = 3 ，继而得到x + y = 7 ，x - y = 1 ，xy = 12 ，再将 化为 ，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公 式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键．
【详解】由 x2 + y2 - 8x - 6y + 25 = 0 得到x2 - 8x + 16 + y2 - 6y + 9 = 0 ，
: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 0 ，
: x - 4 = 0 ， y - 3 = 0 ，
解得：x = 4 ，y = 3 ，
: x + y = 7 ，x - y = 1 ，xy = 12 ，
x2 + 2xy + y2
x2 - 2xy + y2
=
-
/
,\
\ xy
xy
(x + y)2
2 x - y
xy
= -
\ xy
/
()
7 1
= -
6 6
= 、 ．
【分析】本题考查了完全平方式的变形运用， 二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得 a - b = 、/5 ，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点 是解题的关键．
【详解】解：∵ a + b = 3 ，ab = 1 ，
: (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab = 32 - 4× 1 = 5 ， ∵ a > b ，
: a - b = ·、 ，
46 ．2
【分析】本题主要考查了二次根式的应用， 三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的 计算方法是解题的关键．
先根据 △ABC 的三边长求出p 的值，然后再代入面积公式S = ，进 行计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：a = 4 ，b = c = 5 ，
= =
= 2、/21 ，
故答案为：2 ．
(2)点A 、C、E 在一条直线上； /193
(3)25
【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题， 涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解 题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法．
（1）利用勾股定理分别求出 AC = = ， 即可求解；
（2）延长 AB 至 F，使 BF = DE ，连接EF、AE ，证明四边形 BFED 是矩形，得到
上F = 90° , 求出 由两点之间线段最短，可知当 点 A 、C、E 在一条直线上时AC + CE 的值最小，即可求解；
（3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可． 【详解】（1）解：已知 BD = 12 ，CD = x ，
: BC = 12 - x ，
: AB = 5 ，DE = 2 ，AB 丄 BD、ED 丄 BD ，
（2）解：当点 A 、C、E 在一条直线上时AC + CE 的值最小，最小值是、/193 ；
理由如下：如图，延长AB 至 F，使 BF = DE ，连接EF、AE
由AB 丄 BD、ED 丄 BD ，
则ÐD = 90° , BF P DE ， :四边形BFED 是矩形，
: 上F = 90° ,
由两点之间线段最短，可知当点 A 、C、E 在一条直线上时AC + CE 的值最小，最小值是
·、 ．
(24 - x)2 +16
（3）解： 、 +
如图，H 为线段PQ 上一动点，分别过点 P、Q 作PM 丄 PQ、QN 丄 PQ，连接MH 、 NH ．已知PM = 4 ，QN = 3 ，PQ = 24 ，设HQ = x ．
: HN + MH = + ，可知当点 M、H、N 在一条直线上时HN + MH 的值 最小，
延长MP 至 G，使PG = QN ，连接MN、GN ， 同理可证四边形PGNQ 是矩形，
: 上G = 90° ,
由两点之间线段最短，可知当点 M、H、N 在一条直线上时HN + MH 的值最小，最小值是 25，
:代数式 + 的最小值是 25．
125 5 5
\ 26 26 26
(2) · = n ，见解析
48 ．(1) · , 5 ,5·
\ n + 1 n + 1
【分析】本题考查的是与二次根式相关的运算规律的探究；
（1）用二次根式的相关运算法则计算即可得到本题两空的答案；
（2）观察、分析前面四个式子的计算结果可知：当n 为不小于 2 的自然数时，总有：
,由二次根式的运算法则把左边的式子化简变形可得右边的式子．
解 即
（2）解：观察、分析前面四个式子可知：
当n 为不小于 2 的自然数时 理由如下：
故当n 为不小于 2 的自然数时
49 ．(1) - ， ·、 ，
(2)①画图见解析，@ N ≤ M ≤ P
【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点， 较难的是题 （2）①,正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
（1）将 a = -2 ，b = -3 分别代入M , N, P 求值即可得；
（2）①分别求出M2 , P2 ，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
@根据（2）①中的所画的图形可得N2 ≤ M2 ≤ P2 ，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当 a = -2 ，b = -3 时，
N = = = ，
,
故答案为：- ， ， ；
则用阴影标出一个面积为M2 的图形如下所示：
P = = = + ab ，
2 2 2
2 a2 + b2 (a - b)2 + 2ab (a - b)2
则用阴影标出一个面积为P2 的图形如下所示：
@由（2）①可知，N2 ≤ M2 ≤ P2 ，当且仅当 a - b = 0 ，即 a =b 时，等号成立， Qa, b 都是正数，
:M , N, P 都是正数，
:N ≤ M ≤ P ，