初中二次根式的加减当堂检测题

这是一份初中二次根式的加减当堂检测题，文件包含专题213二次根式的加减十大题型华东师大版原卷版docx、专题213二次根式的加减十大题型华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc22604" 【题型1 同类二次根式】 PAGEREF _Tc22604 \h 1
\l "_Tc1557" 【题型2 分母有理化】 PAGEREF _Tc1557 \h 3
\l "_Tc6923" 【题型3 二次根式的加减】 PAGEREF _Tc6923 \h 5
\l "_Tc16039" 【题型4 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc16039 \h 7
\l "_Tc13322" 【题型5 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc13322 \h 10
\l "_Tc23598" 【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 PAGEREF _Tc23598 \h 13
\l "_Tc4100" 【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】 PAGEREF _Tc4100 \h 15
\l "_Tc24624" 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 PAGEREF _Tc24624 \h 18
\l "_Tc7000" 【题型9 二次根式中的新定义类问题】 PAGEREF _Tc7000 \h 21
\l "_Tc23244" 【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc23244 \h 25
知识点1：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
【题型1 同类二次根式】
【例1】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A．136和32B．a和2a
C．12和13D．3和9
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A、136与32的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
B、a与2a的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
C、12=23与13=33的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；
D、3与9=3的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式2a-3与12是同类二次根式，则a= ．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出12=23，再根据同类二次根式的定义得出2a-3=3，再求出答案即可．
【详解】解：12=23，
∵最简二次根式2a-3与12是同类二次根式，
∴2a-3=3，
∴a=3．
故答案为：3．
【变式1-2】（23-24九年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与12合并的是（ ）
A．2B．8C．118D．0.2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并．
将各选项化为最简二次根式即可解答．
【详解】解：12=22，
A、2与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
B、8=22与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
C、118=26与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
D、0.2=15=55与12不是同类二次根式，不可以合并，符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式3x-102x+y-5和x-3y+11是同类二次根式，求x2+y2的平方根．
【答案】±5
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出x2+y2的值，最后求出平方根即可．
【详解】解：∵最简二次根式3x-102x+y-5和x-3y+11是同类二次根式，
∴3x-10=22x+y-5=x-3y+11，
解得：x=4y=3，
∴x2+y2=42+32=25，
∴x2+y2的平方根是±5．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算．
知识点2：分母有理化
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型2 分母有理化】
【例2】（23-24九年级·河北衡水·期末）已知a=45-3，b=5+3，则a与b的关系是（ ）
A．互为相反数B．相等C．互为倒数D．互为负倒数
【答案】A
【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得a的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得a的值是解题的关键．
【详解】解：a=45-3=45+35-35+3=-5-3，
∴a+b=0，
∴a与b互为相反数，
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·上海·期末）计算：11-2+22= ．
【答案】-1
【分析】
本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解．
【详解】解：11-2+22=1+21-21+2+222×2
=-1+2+2
=-1-2+2
=-1．
故答案为：-1．
【变式2-2】（23-24九年级·上海浦东新·期末）2a-1的一个有理化因式是（ ）
A．2a-1B．2a-1C．2a+1D．2a+1
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答．
【详解】解：∵2a-12a+1=2a2-12=4a-1，
∴2a-1的一个有理化因式是2a+1，
故选：C．
【变式2-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．
11+2=2-1；12+3=3-2．
验证：11+2=2-12+12-1=2-12-1=2-1；
12+3=3-23+2(3-2)=3-23-2=3-2．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
13+4=_______，16+7=______；
(2)通过上述探究，猜想1n+n+1=______（n>0，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：11+2+12+3+13+4+…+12022+2023+12023+20241+2024
【答案】(1)2-3，7-6
(2)n+1-n，证明见解析
(3)2023
【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键；
（1）根据题中给的例子即可得出答案；
（2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案；
（3）根据（2）中规律计算化简即可；
【详解】（1）13+4=4-33+44-3=4-34-3=4-3=2-3，
16+7=7-67+67-6=7-67-6=7-6，
故答案为：2-3，7-6；
（2）1n+n+1=n+1-n，
验证： 1n+n+1=n+1-nn+1+nn+1-n=n+1-nn+1-n=n+1-n，
故答案为：n+1-n；
（3）11+2+12+3+13+4+…+12022+2023+12023+20241+2024
= 2-1+3-2+4-3+…+2023-2022+2024-20231+2024
=2024-11+2024
=2023．
知识点3：二次根式的加减
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如
【题型3 二次根式的加减】
【例3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）计算
(1)3-27-81+(-2)2
(2)169+6-26+13
【答案】(1)-8
(2)1-6
【分析】本题主要考查了乘方和开方，二次根式的加减，对于（1），根据3-27=-3，81=9，(-2)2=4，再计算有理数的加减法即可；
对于（2），先开方，再去括号，然后根据二次根式的加减法法则计算．
【详解】（1）原式=-3-9+4
=-8；
（2）原式=43+6-26-13
=1-6．
【变式3-1】（23-24九年级·山东聊城·期末）计算313-248+27结果为 ．
【答案】-43
【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键．
先将二次根式化简，然后计算加减法即可．
【详解】解： 313-248+27
=3×33-2×43+33
=3-83+33
=-43，
故答案为：-43．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）212-613+348= ．
【答案】143
【分析】先根据性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】原式=43-23+123，
=143，
故答案为：143．
【点睛】此题考查了二次根式的性质和加减运算，解题的关键是熟练掌握利用二次根式性质的化简及其应用．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）计算：a-ba-b-a+b-2aba-b．
【答案】2b
【分析】分母不变，分子作减法后，根据b=b⋅b ，将分子分解为2b(a-b) ，通过约分即可得.
【详解】原式=a-b-a-b+2aba-b=-2b+2aba-b=2b(a-b)a-b=2b
【点睛】本题考查分式的化简，利用b=b⋅b使此题化简更为简便.
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（23-24九年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a=23和b=32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2=12，b2=18，则a25-2B．5-2>2+52>2+2
C．2+52>5-2>2+2D．5-2>2+2>2+52
【答案】D
【分析】根据作差法，分别比较5-2与2+2，2+2与2+52的大小，即可得到答案.
【详解】∵(5-2)-(2+2)=3-22=3-8=9-8>0，
∴5-2>2+2，
∵(2+2)-(2+52)=2-52=222-52=8-52>0，
∴2+2>2+52，
∴5-2>2+2>2+52，
故选D.
【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键.
【变式4-3】（23-24九年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
12+1=2-12+12-1=2-1
13+2=3-23+23-2=3-2
14+3=4-34+34-3=4-3=2-3
(1)化简：19+8=______，191+90=______；
(2)利用上面的规律，比较13-12______14-13（填“>”或“
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据分母有理化的方法得到113+12=13-12，114+13=14-13，根据14+13>13+12>0，得到114+1314-13．
【详解】（1）解：19+8
=9-89+89-8
=9-89-8
=3-22；
191+90
=91-9091+9091-90
=91-9091-90
=91-310，
故答案为：3-22，91-310；
（2）解：113+12=13-1213+1213-12=13-12，
114+13=14-1314+1314-13=14-13，
∵14+13>13+12>0，
∴114+1314-13，
故答案为：>．
【题型5 二次根式的混合运算】
【例5】（23-24九年级·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
18×24+12-22+3
=18×24+23-22+23………第一步
=3+23+23-22………第二步
=53-22………第三步
任务：
(1)原式中的二次根式18、24、12、2、3中，是最简二次根式的是______；
(2)第______步开始出错，错误的原因是______；
(3)第一步中，去括号的依据是______；
(4)请写出正确的计算过程．
【答案】(1)2、3
(2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
(3)乘法分配律
(4)见解析
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可；
（2）根据去括号法则分析即可；
（3）根据去括号的依据解答即可；
（4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：18=88=24，不是最简二次根式；
24=26，不是最简二次根式；
12=23，不是最简二次根式；
2、3是最简二次根式，
故答案为：2、3
（2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
（3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（4）解：18×24+12-22+3
=18×24+23-22-23
=3+23-23-22
=3-22．
【变式5-1】（23-24九年级·北京房山·期末）计算52-1-321+32= ．
【答案】22
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=5-12-322=5--17=22，
故答案为：22．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北十堰·期末）计算3432-2318+212×34的结果为（ ）
A．3+2B．2+3C．2+3D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算乘法，再算二次根式加减即可，灵活运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=34×42-23×32+2×12×34，
=32-22+3，
=2+3，
故选：B．
【变式5-3】（23-24九年级·江西宜春·期末）（1）计算：2-32+3-4；
（2）化简：2ab÷12baa>0．
【答案】（1）-1；（2）4a
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先根据平方差公式展开，再计算加减法即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再将除法化为计算即可．
【详解】解：（1）2-32+3-4
=22-32-2
=4-3-2
=-1；
（2）2ab÷12ba
=2ab÷ab2a
=2ab⋅2aab
=4a．
【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】
【例6】（23-24九年级·山东滨州·期中）先化简，再求值：x6-x+x+5x-5，其中x=43-613+312÷42．
【答案】6x-5；1
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式化简，最后代值计算即可．
【详解】解：x6-x+x+5x-5
=6x-x2+x2-5
=6x-5；
x=43-6×33+63÷42
=43-23+63÷42
=83÷42
=6；
原式=6×6-5=6-5=1．
【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）设x=2-12+1，y=2+12-1，求x2-3xy+y2值.
【答案】31
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把x=2-12+1，y=2+12-1化简，再把x2-3xy+y2变形为x-y2-xy代入计算即可．
【详解】解：∵x=2-12+1=2-122+12-1=3-22，y=2+12-1=2+122-12+1=3+22，
∴x2-3xy+y2
=x2-2xy+y2-xy
=x-y2-xy
=3-22-3+222-3-223+22
=-422-9-8
=32-1
=31．
【变式6-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）若a=5+2，b=5-2，求：
(1)a2-b2；
(2)求a3b+ab3．
【答案】(1)85
(2)18
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出a+b=25，a-b=4，再根据a2-b2=a+ba-b进行求解即可；
（2）先求出a+b=25，ab=1，再把所求式子变形为aba+b2-2ab，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵a=5+2，b=5-2，
∴a+b=5+2+5-2=25，a-b=5+2-5+2=4，
∴a2-b2
=a+ba-b
=25×4
=85；
（2）解：∵a=5+2，b=5-2，
∴a+b=5+2+5-2=25，ab=5+25-2=5-4=1
∴a3b+ab3
=aba2+b2
=aba+b2-2ab
=1×252-2×1
=1×20-2
=18．
【变式6-3】（23-24九年级·河北衡水·阶段练习）已知x=2-3，y=2+3．
(1)求x+y和xy的值；
(2)求x2+y2-3xy的值；
(3)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax-by的值．
【答案】(1)x+y=4，xy=1
(2)11
(3)1-73
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）代入x=2-3，y=2+3即可求出x+y和xy的值；
（2）将原式变形为x+y2-5xy，代入数值进行计算即可；
（3）先估算出1