专题02 常见的非匀变速直线运动模型（讲义）物理人教版2019必修第一册

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2026版新课标高中物理模型与方法专题02 常见的非匀变速直线运动模型目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31313" 【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型 PAGEREF _Toc31313 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25108" 1.力与运动-----下落的“三段四点”： PAGEREF _Toc25108 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc29579" 2.四个图像 PAGEREF _Toc29579 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22485" 3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题 PAGEREF _Toc22485 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18456" 4.等效模型二:蹦极运动问题 PAGEREF _Toc18456 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10848" 5.功能变化及图像 PAGEREF _Toc10848 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2822" 【模型二】“f=kv”运动模型 PAGEREF _Toc2822 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc12422" 1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”： PAGEREF _Toc12422 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc4060" 2.“另类匀变速运动”的动量特征 PAGEREF _Toc4060 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc20427" 3.流体的变加速运动问题 PAGEREF _Toc20427 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc19929" 【模型三】“F随x均匀变化与F随t均匀变化”运动模型 PAGEREF _Toc19929 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc21265" 【模型四】 机车启动模型 PAGEREF _Toc21265 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc23151" 1.以恒定功率启动 PAGEREF _Toc23151 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc32694" 2.以恒定加速度启动 PAGEREF _Toc32694 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc7281" 1.三个重要关系式 PAGEREF _Toc7281 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc9343" 2． 倾斜、竖直机车启动问题 PAGEREF _Toc9343 \h 34【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型【模型构建】如图所示，地面上竖立着一轻质弹簧，小球从其正上方某一高度处自由下落到弹簧上．从小球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短的过程中（在弹簧的弹性限度内），的运动问题、能量转换问题、动量变化问题。【模型剖析】1.力与运动-----下落的“三段四点”： [来源:学科网]2.四个图像3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题PQF 0tv加速度相等，速度差最大速度相等，压缩量最大恢复原长PQPQ4.等效模型二:蹦极运动问题如图所示是蹦极运动的简化示意图，弹性绳一端固定在O点，另一端系住运动员，运动员从O点自由下落，A点处弹性绳自然伸直．B点是运动员受到的重力与弹性绳对运动员拉力相等的点，C点是蹦极运动员到达的最低点，运动员从O点到C点的运动过程中忽略空气阻力。5.功能变化及图像【题目示例】如图所示，竖直平面内固定一倾斜的光滑绝缘杆，轻质绝缘弹簧上端固定，下端系带正电的球A，球A套在杆上，杆下端固定带正电的球B。现将球A从O点由静止释放，此时弹簧弹力为零，球A运动到P点返回。关于球A说法正确的是（　　）  A．向下运动时，加速度随位移变化越来越快B．向下运动到OP中点时速度最大C．向下运动过程中机械能一直增大D．在OP间做简谐运动【推理过程】【答案】A【详解】A．设A、B小球分别带电量为q1、q2，释放A球时A、B间距为r，弹簧的劲度系数为k，小球A运动到最低点的过程中，受力分析如图所示  加速阶段，根据牛顿第二定律得解得对a1求导得所以在加速阶段，加速度随位移x的增加而减小，且加速减小得越来越快。减速阶段，根据牛顿第二定律得解得对a2求导得在减速阶段加速度随位移x的增加而增大，且加速度增加得越来越快，故A正确；BD．小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，越向下运动，弹力和电场力越大，所以减速阶段速度减小的更快，速度减为零的时间更短，和加速阶段不对称；向下运动到OP中点下方某处时速度最大，小球在OP间不做简谐运动，故BD错误；C．小球向下运动过程中，由于要克服电场力、弹簧弹力做功，所以球A的机械能逐渐减小，故C错误。故选A。【模型演练】1.（2025·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图甲，倾角为的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）  A．弹簧的劲度系数为B．下滑过程中，在处，滑块的机械能最大C．在和两段过程中，图线斜率的绝对值均等于D．在和两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等【答案】C【详解】A．由图可知，当小球下落到时，加速度为零，即弹力与重力大小相等，此时弹簧的形变量为，则有解得A错误；B．对小滑块和弹簧组成的系统进行分析，由于只有重力和弹力做功，则系统机械能守恒，当弹簧的弹性势能最小，小滑块的机械能最大，故当小滑块下落到时，弹簧处于原长，弹性势能为零，为最小，则此时小滑块的机械能最大，B错误；C．在的过程中，重力大于弹力，根据牛顿第二定律有又由A项可知联立解得由图可知，当时联立解得即为该段图线的斜率绝对值；在过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律有又联立解得由图可知，当时联立解得即为该段图线的斜率绝对值，故可得在和两段过程中，图线斜率的绝度值均等于，C正确；D．由图可知，的距离差小于两的距离差，可得弹簧弹性势能的增量不相等，D错误。故选C。2.如图所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物块，置于粗糙的水平面上。开始时弹簧处于原长，现用一恒力F将物块由静止向右拉动直至弹簧弹性势能第一次达到最大。在此过程中，关于物块的速度v、物块的动能、弹簧的弹性势能、物块和弹簧的机械能E随时间t或位移x变化的图像，其中可能正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】A．根据牛顿第二定律知从原长到速度最大的过程中，弹力一直增大，加速度一直减小到0，所以速度增加得越来越缓慢，故A错误；B．根据可知，合力一直减小到零，故B错误；C．机械能的增加量等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功，则则E-x图像斜率不变，由此可知C错误；D．从原长到速度最大的过程中，弹力的形变量大小等于位移，弹力方向不变，大小随位移均匀增大，则由此可知D正确。故选D。3.“蹦极”运动中，将一根有弹性的绳系在蹦极者身上，另一端固定在跳台上，人从几十米高处跳下。将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。不计空气阻力的影响。从绳刚好伸直时，到人第一次下降至最低点的过程中，下列说法正确的是（　　）A．人先处于超重状态，后处于失重状态B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能先增大后减小C．绳对人的冲量始终向上，人的动量先减小后增大D．人的动能的减少量等于绳的弹性势能的增加量【答案】B【详解】AB．开始阶段，绳子弹力小于重力，则加速度向下，人处于失重状态，速度增加；以后阶段，弹力大于重力，加速度向上，人处于超重状态，速度减小，绳子对人的拉力方向始终向上，对人做负功，人的动能先增加后减小，选项A错误，B正确；C．绳子对人的拉力方向始终向上，则绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小，选项C错误；D．由能量关系可知，人的动能的减少量与重力势能减小量之和等于绳的弹性势能的增加量，选项D错误。故选B。4.如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，质量为m的小球从A点自由下落，至B点时开始压缩弹簧，小球下落的最低位置为C点。以B点为坐标原点O，沿竖直向下建立x轴，小球从B到C过程中的加速度一位移图像如图乙所示，重力加速度为g。在小球从B运动到C的过程中，下列说法正确的是（　　）A．小球在B点时的速度最大B．小球在C点时所受的弹力大于C．图像与x轴所包围的两部分面积大小相等D．小球的动能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大【答案】B【详解】A．小球在B点时，合力为重力，合力和速度同向，会继续加速，B点时的速度不是最大。A错误；B．小球若从B点由静止释放，到达最低点时，由对称性，最低点加速度向上，大小为小球从A点自由下落，小球在C点时，弹力比上述情况要大，加速度向上，大于。由牛顿第二定律则B正确；C．设在D点，弹力和小球重力平衡，D点速度为，由微元法可知图像与x轴所包围的上部分面积图像与x轴所包围的下部分面积因为得C错误；D．小球和弹簧、地球组成的系统机械能守恒，小球从B运动到C的过程中，小球的重力势能一直在减小，小球的动能与弹簧的弹性势能之和一直在增大。D错误。故选B。5.如图所示，光滑固定斜面底端固定一轻质弹簧，一滑块P从O点静止释放，向下滑动过程经a点接触弹簧，最低到达b点处。以O为原点、平行斜面向下为x轴正方向建立一维坐标系，a、b处坐标分别为x1、x2。设滑块在b处重力势能为0，下滑过程中，滑块的动能Ek、重力势能Ep、机械能E、加速度a随位移x的变化图像符合实际的是（　　）A．B．C．D．【答案】D【详解】A．设斜面倾角为θ，滑块接触弹簧前，在经过一小段位移过程中，由动能定理有有故动能随位移均匀增加，滑块接触弹簧后，再经过一小段位移过程中，由动能定理有有由于逐渐增加，故图线斜率变化，不符合A项的图像，故A错误；B．取整个过程中任一小段位移，由功能关系有有故图线斜率不变，重力势能随位移均匀减小，不符合B项的图像，故B错误；C．滑块的机械能是否改变取决于除重力外有无其他外力做功，接触弹簧前滑块机械能守恒，接触弹簧后到最低点过程中，弹簧弹力对滑块做负功，滑块机械能减小。不符合C项的的图像，故C错误；D．由牛顿第二定律，滑块接触弹簧前，有得加速度不变，接触弹簧后，有有加速度随位移线性变化，故符合D项的图像，故D正确。故选D。6.如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是（　　）A．小球刚接触弹簧瞬间速度最大B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上C．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小D．从小球接触弹簧到到达最低点，小球受到的弹力先减小后增大【答案】C【详解】AB．小球刚接触弹簧瞬间具有向下的速度，开始压缩弹簧时，重力大于弹力，合力竖直向下，加速度方向竖直向下，与速度方向相同，小球做加速度运动，当小球所受的弹力大于重力时，合力竖直向上，加速度竖直向上，与速度方向相反，小球开始做减速运动，则当弹力与重力大小相等、方向相反时，小球的速度最大，AB错误；C．由上分析可知，从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小，C正确；D．从小球接触弹簧到到达最低点，弹簧的压缩量一直增大，由胡克定律可知，小球受到的弹力一直增大。D错误。故选C。7.如图甲所示，航天员在半径为R的某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可看作质点）从弹簧上端h处（h不为0）由静止释放，小球落到弹簧上后继续向下运动直到最低点。从接触弹簧开始的小球加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，其中a0、h和x0为已知量，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　）  A．星球的第一宇宙速度B．该弹簧劲度系数k的大小C．小球在最低点处加速度大于a0D．弹簧的最大弹性势能为【答案】C【详解】A．根据图像可知小球接触弹簧时的加速度为a0，所以星球表面的重力加速度为所以第一宇宙速度为 故A错误；B．当压缩量为x0时加速度为0，故所以故B错误；C．根据可知，若小球从弹簧原长处释放到最底部时小球的加速度为在h>0情况下，小球到最低点的加速度大于a0，故C正确；D．小球下降到最低点的高度差根据机械能守恒弹性势能最大值大于，故D错误。故选C。【模型二】“f=kv”运动模型【模型构建】高中物理中有这样一类问题：物体受到一个与物体的运动速度v成正比变化的外力而做复杂的变速运动我们不妨称之为“f= kv”问题。。【模型剖析】1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”：若物体所受合力为f= kv，则产生的加速度为等式两边同乘以并求和得到等式，可得，也就是说物体在任意相等的位移内速度的变化量是相等的。这与匀变直线运动的定义：物体在任意相等时间内速度速度的变化量都相等极为相似。唯一的区别就是一个对空间均匀变化。一个对时间均匀变化。我们把满足的运动定义为“另类匀变速运动”定义为“另类匀变速运动”的“另类加速度”二者的区别展示如下：正常加速度 另类加速度 二者关系： 即a=A·v(1).当A>0且恒定时，a随v增大而变大；(2).当A