物理必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　追及和相遇问题

[学习目标]　1.会分析追及相遇问题，理解两者速度相等为临界条件.2.会根据位移关系、时间关系列方程．

1．追及相遇问题

两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题．

2．分析追及相遇问题的思路和方法

(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系．

(2)常用方法

平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：

(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？

(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？

答案　(1)40 s　20 m/s　400 m　(2)10 s　225 m

解析　(1)设甲经过时间t追上乙，则有x甲＝a甲t2，x乙＝v乙t，根据追及条件，有a甲t2＝x0＋v乙t，代入数据解得t＝40 s和t＝－20 s(舍去)

这时甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40 m/s＝20 m/s

甲离出发点的位移

x甲＝a甲t2＝×0.5×402 m＝400 m.

(2)在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小；当v甲＝v乙，甲、乙之间的距离达到最大值．由a甲t′＝v乙，得t′＝＝ s＝10 s，即甲在10 s末离乙的距离最大．

xmax＝x0＋v乙t′－a甲t′2＝200 m＋5×10 m－×0.5×102 m＝225 m.

汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来．现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则：

(1)求汽车刹车时的加速度大小；

(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？

答案　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m

解析　(1)汽车制动加速度大小a＝＝0.5 m/s2

(2)当汽车减速到与货车共速时t0＝＝28 s

汽车运动的位移x1＝＝364 m

此时间内货车运动的位移为x2＝vBt0＝168 m

Δx＝x1－x2＝196 m＜200 m，所以两车不会相撞．

此时两车相距最近，最近距离Δs＝x0－Δx＝200 m－196 m＝4 m.

一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图1所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是(　　)

图1

A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故

B．在t＝3 s时发生追尾事故

C．在t＝5 s时发生追尾事故

D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m

答案　B

解析　根据速度—时间图线与时间轴所围“面积”表示位移，由题图知，t＝3 s时大卡车的位移为：xb＝vbt＝10×3 m＝30 m

小汽车的位移为：xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)×2 m＝60 m

则：xa－xb＝30 m

所以在t＝3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误；

由v－t图线可知在t＝5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：Δx＝×(20＋10)×1 m＋×10×4 m＝35 m<40 m

则不会发生追尾事故且两车最近时相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D错误．

追及相遇问题的常见情况

1．(多选)(2020·黄山市高一期末)A、B两物体在同一直线上运动的v－t图像如图1所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)

图1

A．两物体从同一地点出发

B．出发时A在B前方4 m处

C．两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度

D．第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再相遇

答案　BC

解析　由速度－时间图像与t轴所围的“面积”表示位移可知，两物体在0～4 s内的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出发点不同，A错误；

xA＝×4×4 m＝8 m

xB＝×6×4 m＝12 m

已知在第4 s末相遇，则出发时A在B前方4 m处，B正确；

由于A图线的斜率小于B图线的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正确；

相遇后A的速度始终小于B的速度，所以两物体不会再次相遇，D错误．

2．甲、乙两辆汽车(均可看成质点)在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图像中(如图2)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s内的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)

图2

A．在0～10 s内两车逐渐靠近

B．在10～20 s内两车逐渐远离

C．在5～15 s内两车的位移相等

D．在t＝10 s时两车在公路上相遇

答案　C

3．(2021·常州一中高一上期中)甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，此时甲的速度为5 m/s，乙的速度为10 m/s，甲车的加速度大小恒为1.2 m/s2.以此时作为计时起点，它们的速度随时间变化的关系如图3所示，根据以上条件可知(　　)

图3

A．乙车做加速度先增大后减小的变加速运动

B．在前4 s的时间内，甲车的位移为29.6 m

C．在t＝4 s时，甲车追上乙车

D．在t＝10 s时，乙车又回到起始位置

答案　B

解析　v－t图像的斜率表示物体的加速度，由题图可知，乙的加速度先减小后增大，最后再减小，故A错误；在前4 s的时间内，甲车的位移为x＝v0t＋at2＝5×4 m＋×1.2×16 m＝29.6 m，故B正确；在t＝4 s时，两车的速度相同，但经过的位移不同，故两车没有相遇，故C错误；在10 s前，乙车速度一直为正，乙车一直沿正方向运动，故乙车没有回到起始位置，故D错误．

4．在十字路口，一辆汽车以0.5 m/s2的加速度从停车线启动做匀加速直线运动，此时恰好有一辆自行车以5 m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：

(1)什么时候它们相距最远？最远距离是多少？

(2)在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？

答案　(1)10 s时　25 m　(2)距停车线100 m处　10 m/s

解析　(1)由题意知两车速度相等时相距最远，设所用时间为t

汽车做初速度为零的匀加速直线运动，所以v汽＝at＝v自

代入数据得t＝10 s

最远距离x＝x自－x汽＝v自t－at2＝25 m.

(2)汽车追上自行车时，它们相对于停车线的位移相等，设汽车追上自行车所用时间为t′

此时x自＝x汽，

即：v自t′＝at′2.

代入数据得t′＝20 s.

此时距停车线距离x′＝v自t′＝100 m.

此时汽车速度v汽′＝a t′＝10 m/s.

5．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止．求：

(1)B车刹车的加速度大小；

(2)若B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？

答案　(1)2.5 m/s2　(2)不会相撞　5 m

解析　(1)设B车刹车过程的加速度大小为aB，由运动学公式有

0－vB2＝－2aBx

解得aB＝2.5 m/s2

(2)设经过时间t两车相撞，则有：

vBt－aBt2＝x0＋vAt，

即30t－×2.5t2＝85＋10t

整理得t2－16t＋68＝0

由Δ＝162－4×68＜0，可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时

vA＝vB－aBt1，代入数据得t1＝8 s

此过程中xB＝vBt1－aBt12＝160 m

xA＝vAt1＝80 m，

两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5 m.

6．A、B两车沿同一直线同方向运动，A车的速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时，A车的速度保持不变，B车刹车并以大小为a＝2 m/s2的加速度做匀减速运动，从该时刻开始计时，求：

(1)A车追上B车之前，两车间的最大距离；

(2)经多长时间A车追上B车．

答案　(1)16 m　(2)8 s

解析　(1)当B车速度等于A车速度时，两车间距最大．

设经时间t1两车速度相等，有：

vB′＝vB－at1，vB′＝vA

B车的位移：xB＝vBt1－at12，

A车的位移：xA＝vAt1，

则：Δxm＝xB＋7 m－xA，

解得：Δxm＝16 m.

(2)设B车停止运动所需时间为t2，

则t2＝＝5 s，

此时A车的位移xA′＝vAt2＝20 m，

B车的位移xB′＝vBt2－at22＝25 m，

A、B两车间的距离Δx＝xB′－xA′＋7 m＝12 m，

A车追上B车还需时间t3＝＝3 s，

故A车追上B车的总时间t＝t2＋t3＝8 s.

7．两辆玩具小车在同一水平轨道上运动，在t＝0时刻，甲车在乙车前面s0＝4 m的地方以速度v0＝2 m/s匀速行驶，此时乙车立即从静止开始做加速度a＝1 m/s2的匀加速直线运动去追甲车，乙车达到速度vm＝3 m/s后开始匀速运动．

(1)从开始经过多长时间乙车落后甲车最远，这个距离是多少？

(2)从开始经过多长时间乙车追上甲车，此时乙车通过位移的大小是多少？

答案　(1)2 s　6 m　(2)8.5 s　21 m

解析　(1)当两车速度相等时相距最远，即v0＝at0，

故t0＝2 s，此时两车距离x＝s0＋v0t0－at02

解得x＝6 m；

(2)先研究乙车从开始到速度达到vm时与甲车的距离．

对乙车：vm＝at1,2ax乙＝vm2

对甲车：x甲＝v0t1

解得x甲＝6 m，x乙＝4.5 m，t1＝3 s

x甲＋s0>x乙，故乙车达到最大速度时未追上甲车，此时两车间距为Δs＝x甲＋s0－x乙＝5.5 m，

乙车追上甲车还需要时间t2＝＝ s＝5.5 s，

故乙追上甲的总时间t总＝t1＋t2＝8.5 s，此时乙车的位移为x总＝x乙＋vmt2＝(4.5＋3×5.5) m＝21 m.

8．一只气球以10 m/s的速度匀速竖直上升，某时刻在气球正下方距气球6 m处有一小球以20 m/s的初速度竖直上抛，g取10 m/s2，不计小球受到的空气阻力．

(1)不考虑上方气球对小球运动的可能影响，求小球抛出后上升的最大高度和时间．

(2)小球能否追上气球？若追不上，说明理由；若能追上，需要多长时间？

答案　(1)20 m　2 s

(2)小球追不上气球　理由见解析

解析　(1)设小球上升的最大高度为h，时间为t，

则h＝，解得h＝20 m，

t＝，解得t＝2 s.

(2)设小球达到与气球速度相同时经过的时间是t1，则

v气＝v小＝v0－gt1，

解得t1＝1 s

设在这段时间内气球上升的高度为x气，小球上升的高度为x小，则x气＝v气t1＝10 m

x小＝v0t1－gt12＝15 m

由于x气＋6 m>x小，所以小球追不上气球．