（人教A版）必修一高一数学上册 第二次月考押题卷（测试范围：第一～四章）（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题：
1．设全集为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为全集为，，所以，又，
所以，所以，故选：A
2．设a，b是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当时，有，但，故不能推出，
当时，有，但，故不能推出，
故“”是“”的既不充分也不必要条件故选：D.
3．当时，函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴∴
当且仅当时，即等号成立，∴函数的最小值为故选：B.
4．设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为命题“”是假命题，所以是真命题，
又可化为，即，当时，，
所以在上恒成立，所以其中,，当时有最小值为，此时有最大值为，所以，故实数的取值范围是故选：C
5．已知幂函数在上单调递增，则实数a的值为（ ）
A．B．3C．或3D．不存在
【答案】B
【解析】因为为幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递增，不满足，所以故选：B.
6．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，∴ 对称轴为，为奇函数，
，，关于中心对称，
设为图像上任意一点，则在上，，
即，对称轴为．作出图像如下：
由图像知有4个根，不妨设，由二次函数的对称性知，
，∴ 所有根的和为．故选：A．
7．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以为奇函数，故A不符合，
对于B，根据二次函数的性质可得在上单调递减，故B不符合，
对于C，的定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，故C不符合，
对于D，因为函数的定义域为，且，故为偶函数，
在上，，函数在区间上单调递增，所以D符合，故选：D.
8．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的定义域是，，是偶函数，
时，设，，，，从而，
所以，即，是增函数，不等式化为，所以，，解得．故选：A.
二、选择题：
9．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，，又，是减函数，所以，即，故A正确；因为，又，是增函数，所以，即，故B不正确；由于，所以，故C正确；由前面的分析知，所以，而，所以，故D正确.故选：ACD.
10．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数
C．函数为奇函数D．函数的图像关于点中心对称
【答案】ABD
【解析】由，可得，则选项B判断正确；
则，则选项A断正确；由定义域不关于原点对称，可知函数不为奇函数，则选项C断错误；由的图像关于原点中心对称，可得函数的图像
关于点中心对称，则选项D断正确.故选：ABD
11．已知函数，函数满足.则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数、满足，则
D．若函数与图象的交点为、、，则
【答案】AC
【解析】对于A选项，对任意的，，
所以，函数的定义域为，
，
所以，，A对；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，B错；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，即，所以，函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以，函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，因为实数、满足，则，可得，即，C对；
对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点对称，由于函数与图象的交点为、、，不妨设，若，则函数与图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，所以，，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，
则，，故，D错.故选：AC.
三、填空题：
12．函数的定义域为________．
【答案】
【解析】由题意，，解得，故函数定义域为.故答案为：.
13．已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
【答案】－6
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
故，即，则解得，
所以，，
所以，，则，故答案为：-6
14．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数在区间上有零点，即在区间上有解，
所以在区间上有解，设，，由于在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，所以
所以，即故答案为：
四、解答题：
15．计算：
(1)；
(2).
【解析】（1）
；
（2）
.
16．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展.更多新产品､新技术､新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金4000万元.现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额一成本）
【解析】（1）因为当生产10千台空调需另投入的资金4000万元，故，解得；
则，即
（2）当时，，
当时，取得最大值为；
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值为；
综上所述，当时，取得最大值，
即2022年产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）.
17.已知函数．
(1)设，解不等式；
(2)设，若当时的最小值为，求的值；
(3)设，若不等式有且仅有两个整数解，写出的取值范围（直接写出结果即可）．
【解析】（1）不等式即，即
当时，即，解得
当时，得
若，则开口向下，，解得或
若，则开口向上，，解得
综上，当时，解集为或；当时，解集为；
当时，解集为
（2）由知开口向上，对称轴
当，即时，函数在上单调递增，最小值为，解得
当，即时，函数在单调递减，在上单调递增，上单最小值为，解得（舍）所以的值为
（3）注意到，，所以，故两个整数解即为和
所以，当时，函数开口向下，有，所以，，解得
所以，的取值范围为
18.定义在上的函数是单调函数，满足，且．
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）根据题意可得，解得.
（2）为奇函数，证明如下：因为定义域为，关于原点对称；
且，即，故为奇函数.
（3）根据题意，，
即，故，
又为单调性函数，故为上的单调增函数；
则等价于，，
故，对于任意恒成立，
即，对任意恒成立.
令，又在单调递减，在单调递增，
故当时，取得最小值为，故，即的取值范围为.
19.已知函数，存在满足，且对任意恒有
(1)求的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【解析】（1）∵对任意恒有，∴，
又，∴，解得或-1（舍去），即.
（2）由已知可得在上恒成立，
可得化为在上恒成立，令，因，故，
则在上恒成立，记，，故在区间上单调递减，
所以，故.
（3）方程有三个不同的根，
即方程，有三个不同的根，
令，，则，有两不相等根，，且，或，，记则①或②解不等组①，得，而不等式组②无实数解，所以实数的取值范围是.