（人教A版）必修一高一数学上册 期中考试押题卷（2份，原卷版+教师版）

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1．下列四个写法：①；②；③；④.错误写法的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①是集合，是集合，不能用，故错误；②规定空集是任何集合的子集，所以，故正确；③，同时也满足子集的定义，故正确；④空集中无元素，故，故错误，
故选：B
2．已知，下列四个条件中，使“”成立的必要而不充分的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】使成立的必要不充分条件，即能得到哪个条件，而由该条件得不到，
故对于A选项，可以得到，反之不成立，故是必要而不充分的条件；
对于B选项，可以得到，反之不成立，故是的充分不必要条件；
对于C选项，是的既不充分也不必要条件；对于D选项，是的充分不必要条件.
故选：A．
3．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为令，所以
所以故选：C.
4．若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因为，所以，由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，
故的最小值为1，故选：A.
5．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；当时，，可知选项B错误，选项A正确.故选：A
6．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，原式化为，显然恒成立；当时，不等式对一切恒成立，则有且，解得.综上可得，.故选：C
7．已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，即是定义在R上奇函数．
又，，且，都有成立，
所以在上单调递减，又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，
所以，即，
所以，解得．故A，B，D错误.故选：C．
8．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（ ）.
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，总有
【答案】D
【解析】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；
B项中，设，则，，
所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；
C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项为真命题；
D项中，取，，都是“和谐集”，
但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.故选：D.
二、选择题：
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充要条件
【答案】ABC
【解析】对于A，命题“，使得”的否定是“，都有”故A正确；
对于B，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，由不等式的解集为，可知，
∴，故C正确；
对于D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，故D错误.故答案为：ABC.
10．设集合，，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ）
A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0}D．{a|a≥8}
【答案】CD
【解析】∵集合，满足，
∴或，解得或．∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．故选：CD．
11．把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则一定是增函数
C．函数在上是“函数”
D．函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）
【答案】BC
【解析】对于A，若函数为“函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；
对于B，若，，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法错误；
对于C，当，时，，，，，不满足条件（2），所以不是“函数”，故C说法错误；
对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“函数”，故D说法正确.故选：BC.
三、填空题：
12．已知函数，则___________.
【答案】9
【解析】根据题意，
故答案为：9
13．已知关于的不等式的解集为或，则关于不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】由关于的不等式的解集为或，可知，且和是方程的两根，故由根与系数的关系得，，
又故关于不等式等价为，即，即，
解得，故答案为：
14．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
【答案】1
【解析】由题意知，（），设，则，
因为，所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，所以.故答案为：1
四、解答题：
15.已知集合为全体实数集，或，.
(1)若，求;
(2)若，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当时，，所以或，又或，
所以或；
（2）由题可得，
当时，则 ，即时，此时满足，
②当时，则，所以，
综上，实数的取值范围为.

16.已知是奇函数，且.
(1)求实数的值．
(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．
(3)求的最大值．
【解析】（1）是奇函数，．
，，，
又，解得：.所以.
（2）在上为减函数，
证明如下：由（1）知，
令，则的单调性和的单调性相反，
设，则，
，，，，即，
在上为增函数，则在上为减函数；
（3）由（1）（2）结合计算可知：在上递减，
在上递增，在上递增，在上递减．
又当时，，且，．
17.如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.
(1)求的值；
(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；
(3)求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.
【解析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，
则，所以，则，整理可得；
（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，
因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，剩下木板的面积最大；
（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，
则，当且仅当，即时等号成立，故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米
此时.
18.（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
【解析】（1）由题意，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，即，解得；
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为.
19.已知，函数．
(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，，
即，则，
故函数的递增区间为，递减区间为，.
(2)由题可知，
当时，在上递减，在递增，则；
当时，在上递减，则，
综上：．
(3)令，只需，
当，且时，，在上单调递减，∴，
当时，，在上单调递增，∴；
当时，，在上递减，∴，
综上可知，，所以．