（人教A版）选择性必修一高二数学上册 第一次月考押题卷（测试范围：第一章、第二章）（2份，原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：第一章、第二章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：
1．给出下列命题：
①若空间向量满足则
②空间任意两个单位向量必相等
③若空间向量满足则
④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
⑤向量（1，1，0）的模为；
其中假命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】在①中，若空间向量满足，向量与方向不一定相同，故①是假命题；
在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；
在③中，若空间向量满足，则向量与不一定相等，故③是假命题；
在④中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定义得必有，故④是真命题；
在⑤中，由模的定义得向量（1，1，0）的模为，故⑤是真命题．故选：C．
2．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，因为点，分别是线段，的中点，
所以，所以．
故选：A．
3．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【解析】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．
方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误．故选：C．
4．如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C． D．
【答案】A
【解析】对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确；
对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直，所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误；
对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，因为与不是共线向量，且，
所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误．故选：A．
5．已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】直线过点，画出图象如下图所示，，，
由于直线与线段AB没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意，
当时，直线的斜率为，根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是．故选：A
6．与圆C：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆C：的圆心，半径．设点关于直线的对称点为，则，所以圆C关于直线的对称圆的方程为，故选：C．
7．若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤1B．﹣1≤b≤1
C．b≤﹣1D．﹣1＜b≤1或b
【答案】D
【解析】曲线x即 x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．
当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，
可得1，求得b，或b（舍去）．
故当直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b，
故选：D．
8．已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（ ）
A．当时，的周长最小
B．当λ=0时，三棱锥的体积最大
C．不存在λ使得AM⊥MN
D．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得
【答案】B
【解析】当时，是的中点， ，当 时，，， 故当时的周长并不是最小的．故A错．
当λ=0时， ，只需要面积最大体积就最大，此时重合，故B对．
当是中点时，平面 ，又平面，则 ，故C 错．
取中点为，则平面，以所在直线为轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为
，故 设平面的法向量为 所以 令 ，则 ，故
，故D不对．故选：B
二、多选题：
9．已知直线，动直线，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在，使得的倾斜角为90°B．对任意的，直线恒过定点
C．对任意的，与都不重合D．对任意的，与都有公共点
【答案】BD
【解析】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误；
对B，，解可得，故过定点，故B正确；
对C，当时，，显然与重合，故C错误；
对D，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共点，故D正确；
故选：BD
10．已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1
C．圆与曲线恰有三条公切线，则
D．当时，直线上．个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
【答案】CD
【解析】对于A，直线，整理得，
所以，得，所以直线恒过定点，所以A错误，
对于B，当时，直线为，则圆心到直线的距离为，而圆的半径为2，所以圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，所以B错误，
对于C，当时，曲线为，整理得，则圆心为，半径为3，圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，所以两圆相外切，所以两圆恰有3条公切线，所以C正确，
对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，即，因为圆，所以两圆的公共弦的方程为，整理得，所以，得，所以直线经过点，所以D正确，故选：CD
11．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．存在点M，使平面SBC
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
【答案】ABD
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），
设，则，
由M是棱SD上的动点，设，，
，，故A正确；
当为的中点时，是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正确；
，若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，
则，化简得，方程无解，故C错误；
点M到平面ABCD的距离，点M与平面SAB的距离，所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，是定值，故D正确；故选：ABD
三、填空题：
12．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 __．
【答案】2
【解析】因为，且，
所以，解得故答案为：2．
13．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，∠的平分线所在直线方程为，则直线的方程为_____．
【答案】
【解析】由题意可知，点在角平分线上，可设点的坐标是，
则的中点，在直线上，，解得：，故点．
设关于的对称点为，则有 ，，即
则由在直线上，可得的方程为 ，即，即，
故答案为：．
14．在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为______．
【答案】
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，设，则，，
，，即点的轨迹方程为，
线段AM的长的最小值为．故答案为：．
四、解答题：
15.已知直线和．
（1）若两直线垂直，求实数a的值；
（2）若两直线平行，求两直线间的距离．
【解析】（1）据题意有：a＋3（a－2）＝0，解得；
（2）据题意有：，解得a＝3或a＝－1；
当a＝3时，两直线重合，故舍去；所以a＝－1；
此时，；则两直线间的距离为．
16.直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面．
（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，．因此，直线与平面夹角的正弦值为．
（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则，因此，平面与平面夹角的余弦值为．
17.已知圆，平面上一动点P满足：且，．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点N的直线l（斜率为正）交圆G于A､C两点，交P的轨迹于B､D两点（A､B在第一象限），若，求直线l的方程．
【解析】（1）设，则，整理得：．
（2）由题知l斜率为正，设直线，
则原点到直线l的距离为：，故，
又圆，所以圆心，半径为2，所以G到直线l的距离为：，
故，又，所以，
所以，整理得：，解得：，（舍负），
所以直线l的方程为：．
18.如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．
（1）证明：平面ABC
（2）已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．
【解析】（1）延长EG交AB于N，连接NC，
因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且 ，
因为 ，故 ，所以 ，故，故 ，
而平面ABC，平面ABC，故平面ABC；
（2）由题意知，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC， ，
平面BCDE， 故平面ABC， 平面ABC，则 ，同理，
又平面BCDE，所以平面BCDE，
以C为原点，以CB，CD，CA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设点G到平面BCDE的距离为 ，则 ，
故 ，
设平面GCE的法向量为 ，则，即，
取，则即，
设平面ADE的法向量为 ，则，即，
取 ，则，则，
所以，解得 ，
又，故点G到平面ADE的距离为．
19.平面直角坐标系中，圆M经过点，，．
（1）求圆M的标准方程；
（2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上．
（i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解析】（1）设圆M的方程为，
则，解得，所以圆M的标准方程为；
（2）设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
则
，当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为7；
（ii）设，联立，消得，
则，直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，
则，所以，
所以点N在定直线上．