高中数学双曲线练习题

这是一份高中数学双曲线练习题，共44页。
考点一：双曲线的性质
考点二：等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq \r(2).
考点三:直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【答案详解】
1．C
【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.
【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为，
则该双曲线过点，且，所以，
解得，所以，得，
所以该双曲线的焦距为，
故选：C．
2．C
【分析】写出渐近线方程，利用直线垂直列方程求解，从而得焦点坐标与虚轴顶点坐标，可求解得三角形面积.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
由两直线垂直得，，
，所以双曲线的焦点坐标为
，
虚轴一个顶点坐标为，
故选：C
3．B
【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为，代入已知点，求解即可得到椭圆的标准方程.
【详解】解：双曲线的焦点为，
设椭圆标准方程为，则，
又椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
4．A
【分析】根据可得，再焦点到渐近线的距离为b，结合△OMF的面积为8，列式求解即可
【详解】由题意可得．取渐近线，易知点到直线的距离为b，则，所以，联立得．所以C的实轴长为8．
故选：A
5．A
【分析】由正方形边长可得c，将D点坐标代入双曲线方程，结合求解可得.
【详解】由图知，，
易知，代入双曲线方程得，又，
联立求解得或（舍去）
所以
所以双曲线E的实轴长为.
故选：A
6．C
【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定.
【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为.
由双曲线的方程可得：,.
双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误；
因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误；
因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确；
因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误.
故选：C.
7．D
【分析】根据题意得双曲线的焦点为，且为等轴双曲线，进而得，故双曲线的方程为.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，，即，
所以根据题意得所求双曲线的焦点为，
因为双曲线的一条渐近线为，
所以该双曲线为等轴双曲线，即，
所以，解得，
所以双曲线的方程为.
故选：D
【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据题意得双曲线为等轴双曲线且焦点为进而求解.
8．B
【分析】先根据渐近线的斜率得，再利用离心率公式求解即可.
【详解】解：因为双曲线是焦点在轴上的双曲线，一条渐近线方程为，所以，所以离心率.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的性质，是基础题.
9．D
【详解】等轴双曲线的两条渐近线方程为，所以，则，，
则；故选D.
10．C
【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案.
【详解】设在渐近线上，直线的方程为，
由，得即，
由，得为的中点，又因为
所以，
因为在双曲线上，所以化简得：
故选：C
11．B
【分析】设，分别求出和，即可求出.
【详解】设.
过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.
由双曲线可得渐近线为.
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以.
因为，所以，解得：.
故选：B
12．B
【分析】由，设，，，可判断为直角三角形，再结合双曲线的定义可求得，得，则，，再利用勾股定理结合可求出，从而可求出渐近线方程.
【详解】因为，所以可设，，，其中，
所以，所以为直角三角形．
又因为，，
所以，
所以，所以2a＝2k，所以k＝a，
所以，，
又因为，所以，
所以，又，所以，
所以，所以渐近线方程为．
故选：B．
13．A
【分析】先求得，然后利用余弦定理列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】因为存在非零实数使得，所以，O是的中点，所以Q为的中点，
因为，所以点到渐近线，即的距离，
又，所以，
，则由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理，得，
整理，得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
14．C
【分析】A.首先根据三边的关系，判断出，再根据余弦定理求离心率；
B.根据离心率，直接求渐近线方程；
C.首先由边的关系，判断出，再判断与是否相等；
D.联立直线与双曲线方程，根据的正负，即可判断.
【详解】因为，，所以，．
又因为且，所以，
所以，所以，所以，故A选项正确．
，所以，所以，所以渐近线方程为，故B选项正确．
因为，所以，所以．
又因为，，所以，所以，所以C选项不成立．
因为所以，所以，
所以，
所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，所以D选项正确．
故选：C
15．A
【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式求最值，即可得，进而可求离心率.
【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，，，则．
依题意不妨设点在第一象限，坐标为，则，，
所以．
因为，所以，当且仅当时等号成立，则．
因为的最大值为，所以，即，则，
所以，故，
故选:A．
16．（1） ；（2）．
【分析】（1）由焦距可以设出焦点坐标，利用双曲线的定义求出实轴的长度，进而可得双曲线的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，消去，写出韦达定理，由得出直线的纵截距，再利用弦长公式求解即可．
【详解】（1）由已知，设焦点坐标为，则，
又，解得，
故双曲线的方程为：；
（2）设直线，与双曲线的方程联立可得：
设，则，，
，
，，解得，
因此．
17．(1)
(2)
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程；
（2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；
（1）
解：抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
（2）
解：依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
18．(1)；
(2)．
【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．
（1）
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）
［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
19．(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）直接由双曲线标准方程得到，代入离心率公式即可.
（2）联立双曲线与直线方程，根据以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，得到，再结合韦达定理即可求得与的关系，分别验算即可得到结果.
（1）
由双曲线的方程可知，，
∴双曲线的离心率．
（2）
设，，由，得，
则，，
，
∵以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，∴，
∴，∴，
∴，解得或．
当时，直线l的方程为，直线l过定点，与已知矛盾；
当时，直线l的方程为，直线l过定点，经检验符合题意
∴直线l过定点，定点坐标为．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，再结合，可求出，从而可求出双曲线的方程，
（2）设直线AB的方程为，，将直线方程代入双曲线方程消去化简，利用根与系数的关系，表示直线PA，PB的方程，从而可求出点M，N的坐标，再由化简计算可求出的关系，从而可证得结论
（1）
设双曲线C的方程为（），
由题意知，
因为，所以解得
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，，
由，整理得，
则，，得，
直线PA方程为
令，则M（0，），同理N（0，）.
由，可得，
∴0，
0，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
当时，
此时直线AB方程为恒过定点，显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点
21．(1)
(2)是定值，
【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程，
（2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可
（1）
由题意得，，渐近线方程为，
则到渐近线的距离为，
又因为，
所以，，，
故双曲线的标准方程为.
（2）
设直线：，，，，
联立方程组得，
所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为.
因为，，
所以
，
即为定值.
22．(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
（1）
设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
23．(1)
(2)或
【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程
(1)
设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.
所以曲线的方程为.
(2)
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.
所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.
，
因为，所以.
所以，
解得
所以直线的方程为，
即或.
24．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得即可求出、，从而求出双曲线方程；
（2）设直线的方程为，设、，联立直线与双曲线方程，消元，依题意可得，即可求出的取值范围，再根据向量数量积的坐标表示得到，即可求出的范围；
(1)
解：根据题意，由离心率，又，所以，
又右顶点为，即，故双曲线的标准方程为．
(2)
解：设直线的方程为，设、，
则由，消去整理得到，
∵直线与双曲线一支交于、两点，，解得．
因此
，
∵，故，
故．
25．A
【分析】由二者离心率之积为2，可得，从而得到双曲线渐近线方程.
【详解】因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，
所以有，，可得，
因此双曲线的两条渐近线方程为：，
所以双曲线的两条渐近线的方程为．
故选：A．
26．A
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设F1，F2是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且，设P在第一象限，，
由椭圆的定义可知：，
由双曲线的定义可知：，
由此可解得：，
由余弦定理可知：
即，
化简得：，即，
所以，即
故选：A
27．C
【分析】先求解F1到渐近线的距离，结合OA∥F2M，可得∠F1MF2为直角，结合勾股定理可得解
【详解】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)，
设一条渐近线方程为y=x,则F1到渐近线的距离为.
设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b,
A为F1M的中点，又O是F1F2的中点,
∴OA∥F2M,∴∠F1MF2为直角，
∴△MF1F2为直角三角形，
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2
∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2，
∴c=2a，∴e=2.
故选：C
28．A
【分析】求出A点，B点坐标，利用斜率等于6结合得到，
方程两边同除以得到关于离心率的方程，求出答案.
【详解】由题意得：，，
当时，，解得，
因为的斜率为，
所以B点位于第一象限，则，
故，整理得：，
因为，即，
方程两边同除以得：，
解得：或1（舍去）
故选：A
29．(1)见解析
(2)
【分析】（1）讨论焦点位置，根据离心率与渐近线斜率的关系得到结果；
（2）根据题意可确定双曲线焦点位置及焦距，从而得到双曲线C的方程．
（1）
由双曲线C的离心率为2，有，
则，即，∴，即，
∴当焦点在x轴上时双曲线C的渐近线为，
当焦点在y轴上时双曲线C的渐近线为．
（2）
因为椭圆的焦点在x轴且，
由有，
所以双曲线C的方程为．
30．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用双曲线定义及勾股定理即可得到双曲线C的离心率；
（2）利用点在曲线上及三角形面积公式可得点P的坐标．
（1）
∵，，∴，，
∵，∴，化为：，
∴，，即双曲线C的离心率为．
（2）
由题意可得：，，
又，解得，，，
所以，双曲线方程为，
把代入双曲线方程，得：，，解得．
∴．
31．C
【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.
【详解】由题意得，的斜率为，
而的渐近线为，
由于直线与双曲线没有公共交点，如图，
所以，即，故，即，所以，
故，即.
故选：C.
32．C
【分析】设双曲线的右焦点为，连接，利用双曲线的定义得到利用题意可证明，在中可得，即可得到答案
【详解】解：
设双曲线的右焦点为，连接，
根据椭圆的对称性可得，
由双曲线的定义可得所以
在中，，结合，可得，所以即，
在中， 即，所以，则，
故选：C
33．A
【分析】利用实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，代入进行求解m的值．
【详解】由题意得，在双曲线中，，∴．
∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，∴，
∴，即，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查双曲线的概念，考查学生的运算能力，属于简单题．
34．D
【分析】设，，根据对称性，知，表示出，因为点A，P在双曲线上，将其代入双曲线方程，两式相减即可求出值，进而求出离心率.
【详解】设，，根据对称性，知，
所以．
因为点A，P在双曲线上，所以，
两式相减，得，
所以，所以．
故选：D.
35．D
【分析】根据实轴长求得，再结合渐近线方程求得，即可求解
【详解】因为实轴长为8，所以，可得渐近线方程为，所以，
所以双曲线的标准方程为，
故选：D．
36．C
【分析】通过图形，利用圆、双曲线的几何性质，根据题设得到的等量关系，算出双曲线的离心率．
【详解】过点作于点，则点为线段的中点，
因为点为，渐近线方程为，
所以点到渐近线的距离为，
在中，，
在中，，
因为，所以，
所以，即，
所以离心率．故A，B，D错误.
故选：C．
37．A
【分析】设，，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出，从而可求出，进而可求出离心率
【详解】，，则
，，
两式相减得，
所以
因为P是AB的中点，
所以，，
因为直线OP的斜率为，
所以，
因为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，
所以，
所以，，得，
所以，
所以离心率为
故选：A
38．B
【分析】根据以及相切可得，在中根据中位线可得，进而根据双曲线定义即可求解进而可求离心率.
【详解】由已知，，在中，∵H，C为，中点，∴.又，所以，∴.
故选：B
39．ABC
【分析】对于A，直接由方程求出，从而可求出进行判断，对于B，直接由方程求渐近线方程，对于C，由求解即可，对于D，当时表示圆，求出判断.
【详解】对于A，当时，曲线C：，则，则，所以C的焦点是，，所以A正确，
对于B，当时，曲线C：表示双曲线，则由，得C的渐近线方程为，所以B正确，
对于C，当C表示双曲线时，，解得或，所以C正确，
对于D，当时，即时，曲线C：，即表示圆，所以D错误，
故选：ABC
40．AC
【分析】由双曲线方程求出，对于A，结合双曲线的定义求出，再利用余弦定理可求出的大小，对于B，求出离心率进行比较即可，对于C，求出椭圆的焦距判断，对于D，由双曲线的性质判断.
【详解】由，得，则，所以，
对于A，由于P为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，，则，得，则由余弦定理得，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为的离心率为，双曲线的离心率为，所以两双曲线的离心率不相同，所以B错误，
对于C，双曲线的焦距为，椭圆的焦距为，所以C正确，
对于D，双曲线的右焦点为，当时，，得，此时通径为4，当过右焦点的直线过双曲线的左右两个顶点时，所得的弦长为，因为，所以过右焦点的弦长最小值为2，所以D错误，
故选：AC
41．ACD
【分析】利用椭圆、双曲线的定义及标准方程即可判断.
【详解】由题意得，当时，方程表示焦点在轴的椭圆，
所以A选项正确;
当时，方程表示焦点在轴的双曲线，
此时，则，，则焦距，
所以B选项错误;
当时，方程表示焦点在轴的椭圆，
此时，则，，
则离心率为，
所以C选项正确;
当时，方程表示焦点在轴的双曲线，
此时，则，
则，，则渐近线方程为，
即，
所以D选项正确;
故选:ACD.
42．BC
【分析】根据椭圆与双曲线的定义，结合焦点三角形的性质可得，结合椭圆的离心率可得双曲线的离心率，进而可得双曲线的渐近线.
【详解】不妨取点为，第一象限的一个公共点，令，，，，
则曲线的方程为，曲线的方程为，
又由两曲线有公共焦点，则，
由圆锥曲线定义可得：，，
得，，
又，所以，可得：，
整理得，
因为，所以，故A错误；B正确；
由，得：，解得：，
所以渐近线方程为，
故C正确，D错误，
故选：BC.
43．ABC
【分析】本题主要考查双曲线的基本性质．利用边长之间的关系证明出，利用对称性可知四边形ABCD为矩形求出其面积，利用双曲线定义求出离心率和渐近线方程．
【详解】不妨设点为左焦点，如图所示，因为，，所以，又，所以，A正确；根据对称性，可知四边形ABCD为矩形，又，，所以四边形ABCD的面积为，B正确；由双曲线的定义可得，即，则离心率，C正确；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，D错误．故选ABC．
一题多解
对于A选项还可以如下求解：为圆的直径，点B在圆上，则，故A正确．
【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质，考查基本运算，属于一般题．
44．BCD
【分析】设，所以，.
对于A：计算出，即可判断；对于B：由椭圆的定义和双曲线的定义解得：，.利用余弦定理得到结合，即可求得；
对于C：先判断出为直角三角形.利用勾股定理得到.即可求出；对于D：先求出.
令，则.利用定义判断出，结合对勾函数的单调性可以求出.
【详解】因为，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，可设，所以，.
对于A：因为，，所以.故A错误；
对于B：由椭圆的定义可知：；由双曲线的定义可知：.
联立解得：，.
由余弦定理可得：.
因为，所以，
整理化简得：.
因为，所以，即.
因为，所以.
代入可得：，整理得：.故B正确；
对于C：因为，所以.
由等腰三角形的性质可得：，.
因为，
所以，即为直角三角形.
所以，即，整理得：.
所以.故C正确；
对于D：因为，所以.
.
令，则.
因为，所以.
又解得：；
由解得：.
所以.
由对勾函数的性质可得：在上单调递增，所以，
所以.
故D正确.
故选：BCD
45．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程；
（2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．
（1）
解：已知点在双曲线上
所以，整理得：，解得：，则
所以双曲线方程为：.
（2）
解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为：
且设交点
则 ，两式相间得：
由于为中点，则
则
即有直线的方程：，即
检验判别式为，方程无实根．
故不存在过点的直线与该双曲线相交A,B两点，且满足P是线段的中点.
46．(1)
(2)
【分析】（1）设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求解即可；
（2）法一：表达出，利用双曲线定义求出，从而求出离心率；
法二：表达出，将其代入双曲线方程，得到关于的齐次方程，求出离心率.
（1）
双曲线为等轴双曲线，
，
∵双曲线过点，将其代入得：
；
（2）
法一：是以线段为底边的等腰三角形，，
是等腰直角三角形，，
过作轴于点，则，
设左焦点，由双曲线定义知，
，
于是.
法二：前同法一得，点在上，
，
整理得：，解得：，
，
于是.
47．(1)2
(2)①；②1
【分析】（1）根据已知条件列出等式，化简可以得到双曲线C的离心率；
（2）①由（1）可得，设，代入双曲线方程，由根据点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为列出等式，结合可求出a的值，从而求得双曲线C的方程；
②由①得，设直线l的方程为，，，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示PQ中点坐标，得到线段PQ的垂直平分线的方程，用m表示与，从而得到的值．
（1）
点A、F到直线的距离相等，得，即，
所以c＝2a，所以，即双曲线C的离心率为2．
（2）
①由（1）c＝2a，所以，
所以双曲线C：，渐近线方程为．
设，则，即．
因为点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为，
所以，即，所以，解得a＝1．
所以双曲线C的方程为．
②由①得F（2，0），设直线l的方程为x＝my＋2，，，，
则由得．所以．
设线段PQ中点E为，则，，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为．
令y＝0，则，即．所以．
由，得，
所以，
所以，即的值为1．
48．(1)2
(2)．
【分析】（1）由双曲线的性质知，，利用化简可得双曲线的离心率；
（2）当时，双曲线的方程为，设出直线的方程，与双曲线方程联立，消去并写出韦达定理，表示出弦长，并由线段的垂直平分线的方程得出点的坐标，进而把表示成关于的式子，利用基本不等式求出最小值．
（1）
由题意知，．由双曲线的性质知，，∴，∴，故双曲线的离心率．
（2）
当时，，．∴双曲线的方程为，．
由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为．
联立消去并整理，得．
设，，则，，
∴．
又∵，线段的中点的坐标为，
∴线段的垂直平分线的方程为．令，得，
∴点的坐标为，∴，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．