人教A版必修一高一数学上册考点归纳同步讲与练 第二章：重点题型复习+单元检测（2份，原卷版+解析版）

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第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习题型一 不等式的性质应用【例1】若，则下列命题为假命题的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】对A：因为，所以，故选项A正确；对B：因为，，所以当时，；当时，；当时，，故选项B错误；对C：因为，所以由不等式的性质可得，故选项C正确；对D：因为，所以，所以，故选项D正确.故选：B.【变式1-1】已知，则下列不等式正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】方法一：因为，可知，所以，所以，，所以，，，所以A正确，B，C错误．因为，所以，所以D错误，故选：A方法二；因为，设，，所以，，，所以，,,,所以A正确，B，C，D错误,故选：A【变式1-2】（多选）若，则下列正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】选项A，因为，所以，，故A正确；选项B，由均值不等式，当，，由于，故等号不成立，即，故B正确；选项C，由于，故，故，故C正确；选项D，取，而，故D错误故选：ABC【变式1-3】（多选）若，且，则在四个数中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由于，则，又，所以，又，即.故选：ABD题型二 利用不等式求代数式的取值范围【例2】已知，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故，，得故选：C【变式2-1】若实数x，y满足，则的取值范围（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，解得，故，又因，所以，所以.故选：A.【变式2-2】已知，，求的取值范围.【答案】【解析】设，则有：，解得：，所以.因为，所以，因为，所以，所以，即，所以的取值范围为.【变式2-3】已知，，求，的取值范围．【答案】的取值范围是，的取值范围是．【解析】因为，所以．又，所以，即．因为，所以，因为，所以，所以，即．所以的取值范围是，的取值范围是．题型三 解一元二次不等式【例3】已知集合，，则A∩B=（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D【变式3-1】不等式的解集为（ ）A．或 B． C．或 D．【答案】A【解析】可化为，即，即或．所以不等式的解集为或.故选：A【变式3-2】解下列不等式：（1）； （2）； （3）.【答案】（1）或；（2）；（3）或或【解析】（1）原不等式等价于，即，即，所以，所以或，所以原不等式的解集或；（2）由，可得，所以，解得，所以原不等式的解集为；（3）原不等式等价于或，分别解这两个不等式组，得或或或，故原不等式的解集为或或.【变式3-3】解下列关于的不等式：（为实数）（1）；（2）.【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：，，当时，，原不等式无解；当时，对应一元二次方程的两个解为：，所以的解为：，综上所述，时，原不等式无解，当时，原不等式的解集为；（2）原不等式等价于，当时，解集为；当时，原不等式可化为，因为，所以解集为；当时，，解集为；当时，原不等式等价于，所以，解集为；当时，，解集为；综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.题型四 三个“二次”之间的关系【例4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式的解集是，所以方程的解是和，且，则，解得，，所以不等式化为，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故选：A．【变式4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4，所以，，且，不等式可化为，则，即，解得或．故答案为．【变式4-2】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.【答案】【解析】由不等式的解集是，可知：，是一元二次方程的实数根，且；由根与系数的关系可得：， ，所以不等式化为 ，即：；化为；又，；不等式的解集为：|}，故答案为：【变式4-3】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】由二次函数图象知：有.故选：A【变式4-4】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.【答案】【解析】根据二次函数的图象可知，为方程的两根，故，即，则即，也即，，解得或.故不等式解集为.故答案为：.题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题【例5】“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由“关于的不等式对恒成立”，可得，解得：.故选：B．【变式5-1】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，所以对任意，，所以，解得，故实数x的取值范围是．故选：D．【变式5-2】若关于x的不等式有实数解，则a的取值范围是（ ）A．(0，1] B．[0，1) C． D．【答案】D【解析】当时，不等式为，有实数解，满足题意；当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，满足题意；当时，要使不等式有实数解，则需满足，解得，综上，a的取值范围是.故选：D.【变式5-3】已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意不等式在上有解，所以或，解得或，所以．故选：A．题型六 利用基本不等式求最值【例6】已知，，则的最小值为___________.（人教B版）【答案】18【解析】，， 当且仅当，即时，等号成立，的最小值为18，故答案为：18.【变式6-1】已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为正实数，=，当，即时等号成立，此时有，又因为，所以，由基本不等式可知（时等号成立），所以.故选：B.【变式6-2】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以 ，所以，令，则，且 ，所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值是.故选：A.【变式6-3】已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】解：由，且，可得，所以，当且仅当，即，时取等号．故选：C【变式6-4】下列命题中不正确的为（ ）①.若正实数，满足，则的最小值为②.已知，，，则的最大值为③.存在实数，满足，使得的最小值是6④.若，则的最小值为A．④ B．②④ C．③④ D．①②【答案】A【解析】①正实数，满足，故，所以，当时，取得最小值为，故①正确；②因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故，所以的最大值为，②正确；③因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故存在实数，满足，使得的最小值是6，③正确；④当，时，满足，此时，故的最小值不是；④错误.故选：A题型七 基本不等式恒成立问题【例7】已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A． B．} C． D．【答案】D【解析】∵，且，∴，当且仅当时取等号，∴，由恒成立可得，解得：，故选：D.【变式7-1】已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，，的取值范围是．故选：B．【变式7-2】若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意得，当时， 恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．故选：B【变式7-3】对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，对任意及，不等式恒成立等价于对任意及，恒成立.设，则.因为，，所以，则，即，则，当且仅当，即时取等号，∴.故选：D.【变式7-4】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ）A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]【答案】C【解析】由题意可得对任意恒成立，由，可得，当且仅当即时，取得等号，则，解得.故选：C.【变式7-5】已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】D【解析】由，知，，，由，得，又，，当且仅当，即时，取得最小值9，，的最大值为9．故选：．第二章：一元二次函数、方程与不等式章末测试一、单选题：本大题巩8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列结论正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A;若，时，则，故A错；对于B;若取，则无意义，故B错；对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；对于D;若取，但,故D错；故选：C2．设，，则与的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】因为，，所以，∴，故选：A3．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．故选：B．4．若且，则，，，中的最大值的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，实数且，可得，，又由，因为，可得，所以，所以，所以最大值为.故选：C.5．“”是“”成立的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，则或因为是或的真子集，故选：A．6．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式则不等式的解集是的子集，又由得，当，，符合；当，，则，，当，，符合，故实数的取值范围为.故选：C.7．已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）A． B． C． D．3【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．故选：C8．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由题意知，，当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即 ，解得.故选：C.二、多项选择题：9．（多选）对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】AB【解析】对于A：因为，所以，，所以，故A为真命题；对于B：因为，，所以，同理可得，即，故B为真命题；对于C：因为，，所以，故C为假命题；对于D：因为，，所以，，，所以，故D为假命题．故选：AB．10．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】ABC【解析】设，其图像开口向下，对称轴是，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得：，又，故可以为0，1，2故选：ABC11．下列说法正确的有（ ）A．若，则的最大值是 -1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；对于B，因为，，都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，令，，则，，因为，所以，同号，则，同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD．三、填空题：12．已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，，，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：13．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.【答案】【解析】如图所示：设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，设围成的整个矩形场地的面积为，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.故答案为：14．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若与只有一个为真命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】对于：成立，而，有，∴，∴；对于：存在，使得不等式成立，只需，而，∴，∴；若，一真一假，则有两种情况：若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：15．已知不等式的解集为，求不等式的解集.【答案】【解析】∵的解集为，∴且和4是方程的根.，解得.∴可化为，即，即，解得且.∴不等式的解集为.16．已知正数a、b满足．（1）求a+b的最小值；（2）求的最小值．【答案】（1）4；（2）25．【解析】（1）因为a、b是正数，所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．（2）由因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，则，当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．17．已知关于的不等式．（1）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立则关于的方程的判别式，即，解得，所以实数的取值范围为．（2）不等式，可看成关于的一次不等式，又，所以，解得且，所以实数的取值范围是．18．已知a，b，c均为正实数，求证：（1）；（2）．【解析】（1）证明：左边，当且仅当时取“＝”．故．（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，所以，所以，所以，①同理，当且仅当时取取“＝”，② ，当且仅当时取“＝”．③①+②+③，得，当且仅当时等号成立．19．已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）满足题意的条件为①③，，，；（2）答案见解析﹒【解析】（1）假设条件①②符合题意．∵，二次函数图象开口向下，∴的解集不可能为，不满足题意．假设条件②③符合题意．由，知二次函数图象开口向下，无最小值，不满足题意．∴满足题意的条件为①③．∵不等式的解集为，∴，3是方程的两根，∴，，即，．∴函数在处取得最小值，∴，即，∴，．（2）由（1）知，则，即，即．∴当时，不等式的解集为{或}；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为{或}．