人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线课文配套ppt课件

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线课文配套ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，应用所具备的条件，定理的作用，证明线段相等，应用格式，∴PDPE，角平分线的性质，导入新课，新知探究等内容，欢迎下载使用。
探索并证明角的平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，并会进行应用；
区别角的平分线的性质定理和判定定理,并灵活运用，感受互逆的数学思想,发展学生的推理能力和解题能力．
培养积极探求客观真理的科学态度，渗透数学中普遍存在的相互联系、相互转化、相互制约的关系
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的条件有三个，必须写完全，不能少.
常用辅助线：过角的平分线上的点向角的两边作垂线段
(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，
所以 ＝ .( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，
所以 = .( )
缺少“垂直距离”这一条件DC⊥AC，DB⊥AB
缺少“角平分线”这一条件：AD 平分∠BAC (已知)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
将命题改写成“如果……那么……”或“若……则……”的形式．
文字类几何命题的证明方法１．根据命题的题设结合图形写出已知,根据命题的结论结合图形写出求证．２．为了便于分清命题中的已知和求证,可以将命题改写成“如果……那么……”或“若……则……”的形式．
有一个点在角的平分线上
这个点到角的两边的距离相等
如果有一个点在角的平分线上，那么这点到角的两边的距离相等.
思考：交换角平分线性质中的题设和结论，你能得到什么结论？这个新结论正确吗？
如果有一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上
有一个点到角的两边的距离相等
思考：这个结论正确吗？
当线是射线或线段时指到所在的直线
点P′符合题设条件，但不在∠AOB的角平分线上
在一个角的内部，如果有一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上
如果限制点在角的内部结论正确吗
已知：如图，点P是∠AOB内部任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为Ｄ、Ｅ， PD=PE求证:　点P在∠AOB的平分线上．
∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO (HL) ∴∠AOC=∠BOC ∴点P在∠AOB的平分线上。
证明：经过点Ｐ作射线OC.
∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中
OP=OP, PD=PE,
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
判断点是否在角平分线上.（判定角平分线）
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
例1. 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
点F在∠DAE的平分线上．
点F到∠DAE的两边的距离相等．
做辅助线找到距离，过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H
能不能考虑△FGA≌ △FHA
点F到∠CBD的两边的距离相等．
点F到∠ECB的两边的距离相等．
做辅助线找到距离 过点F作FM⊥BC于M.
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.（角平分线上的点到角两边距离相等）
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH（角平分线上的点到角两边距离相等）
∴FG＝FH.（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.）　　　
在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
角的内部，点到角两边距离相等
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
分别过交点作三角形三边的垂线，三条垂线段由什么关系？
例3.求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.
提示：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.
点P在∠BCA的平分线上
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且 PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线的性质). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P在∠A的平分线上(角平分线的判定)， 即∠A的平分线经过点P.
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等．
三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点。
（这个交点叫做三角形的内心）
例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
解：连接OC，过点O作OE⊥AB，过点O作ON⊥BC
1.如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
∵AP平分∠BAC，BD平分∠ABC且AP，BD交于点O
∴点O是△ABC三角平分线交点
∵OE⊥AB, ON⊥BC,OM⊥AC
∴OE＝ON＝OM＝4
2. 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵ AD∥BC，∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，∴ PM= PE.同理， PN= PE.∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
如图，∠B =∠C = 90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC. 求证：AE 平分∠DAB.（提示：过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.）
【教材P53习题14.3 第8题】
证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.∵DE 平分∠ADC，EF⊥AD，∠C=90°，∴EF = CE. ∵E 是 BC 的中点，∴CE = BE，∴EF = BE.
又 EF⊥AD，∠B = 90°，∴AE 平分∠DAB.
1.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF，求证:FD平分∠BFE.
证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°.在△ABD 和△CED 中，
∠ADB =∠CDE，∠ABD =∠CED，AB = CE，
∴△ABD ≌△CED（AAS）
又 AB⊥CD，CE⊥AD，∴FD 平分∠BFE.
2.如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等；点 P 在∠A 的平分线上.
证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H.
∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上，∴PI = PJ.同理，PH = PI，∴PJ = PI = PH，即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
(2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ，∴点 P 在∠A 的平分线上.
1.(2022秋·凤阳县期末)已知:如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且∠ADC+∠B=180°.(1)若AB=12，AD=8，则AF= .(2)若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 .
CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,
∵AB=12，AD=8
∴AB=AE+EB=AF+DF=12， AD=AF-DF=8
∵S△BEC + S△CAE=24
S△CAF - S△CDF=16
∴S△BEC = 4
一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段的长度相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等
角的平分线的性质与判定关系
角的平分线的常见应用模型
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，BD，CE 相交于点 F. 求证：FA 平分∠DFE.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB =∠AEC = 90°.
在△ADB 和 △AEC 中，
∠ADB =∠AEC，∠BAD = ∠CAE， AB = AC，
∴△ADB≌△AEC（AAS）. ∴AD = AE.又 AB⊥CE，AC⊥BD，∴ FA 平分∠DFE.
7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 EF，EF 与 AD 相交于点 G. AD 与 EF 垂直吗？证明你的结论 .
解：AD⊥EF.证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD =∠FAD.又 DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF，∠DEA =∠DFA = 90°
在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，
AD = AD，DE = DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE = AF.
在△AEG 和△AFG 中，
AE = AF，∠EAG = ∠FAG， AG = AG，
∴△AEG≌△AFG（SAS）. ∴∠AGE =∠AGF. ∵∠AGE +∠AGF = 180°， ∴∠AGE =∠AGF = 90°，∴AD⊥EF.
1.如图,点 D 在边BC 的延长线上,∠ABC 的平分线交AD 于点E,过点E 作EH ⊥BD 于点 H ,∠CEH ＝62°∠ACE＝28°；求证:AE 平分∠CAF．
证明:如图,过点 E 作EM ⊥BF 于点 M , EN ⊥AC 于点N．∵BE 平分∠ABC,∴EM ＝EH ．∵∠ACE＝ 28°,∠CEH ＝ 62°,∴∠HCE＝90° －∠CEH ＝ 90° － 62° ＝ 28° ＝∠ACE．∴EN＝EH ．∴EM ＝EN,∴AE 平分∠CAF．
2.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
注意： 在确定到三角形三边距离相等的点的位置时,易受到“三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等”的思维定式的影响,误认为这样的点只有一个,且存在于三角形内部． 事实上,若题中不存在限制条件,这样的点还有３个,它们是三角形相邻的两个外角(不在同一顶点处)的平分线的交点