初中数学人教版（2024）九年级上册直线和圆的位置关系教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册直线和圆的位置关系教案及反思，共9页。教案主要包含了切线长定义，切线长定理等内容，欢迎下载使用。
第一课时《直线与圆的位置关系》教学设计
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
前一节课已经学习了直线与圆的位置关系，本节课既对切线的性质、判定定理进行了巩固，也是它们的应用，又为后面要学习的正多边形与圆提供了理论依据。
学习者分析
本节课的教学对象是九年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证切线的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了切线长定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。
教学目标
1 了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形内切圆；掌握切线长定理，并会用其解决有关问题．
2 经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想和方程思想．
教学重点
（1）切线长定理的初步运用；（2）会作三角形内切圆以及简单运用。
教学难点
正确的运用切线长定理以及会作三角形的内切圆
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
学生活动1：
教师提出问题，学生根据所学知识回答
活动意图说明：通过尺规作图画出本节课切线长基本模型，引导学生进行切线长性质的研究.
环节二：新知探究
教师活动2：
在同一个平面内，有一点P和⊙O，过点P能否作⊙O的切线？如果能，可以作几条切线并说明作法？如果不能，说明理由.
1.切线长定义
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
2.切线长与切线的区别：
①切线是直线，无法度量.
②切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量．
学生活动2：
教师提出问题，学生根据所学知识回答．
活动意图说明：加深理解切线与切线长的概念
环节三：新知讲解
教师活动3：
若PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，通过几何画板演示，你发现了什么？
PA = PB，∠APO=∠BPO
和同桌一起交流，你能用学过的知识证明这两个结论吗？
已知：PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，求证：PA=PB，∠APO=∠BPO
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
几何语言:
∵PA，PB切⨀O于点A，B
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
特别提醒
经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等.
若连接两切点 A，B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出什么新的结论? 请给出证明.
如图是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论：
(1)PO ⊥ AB；
(2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP；
(3)AP=BP；
(4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4；
(5)AD=BD.
学生活动3：
教师通过多媒体展示动态过程，简化学生理解过程，学生通过观察，得出：PA = PB，∠APO=∠BPO.
教师提出问题，学生板演.教师通过多媒体展示具体证明过程，从而得到切线长定理
学生观察得出结论
活动意图说明：让学生在“实践—验证—归纳”的过程中发展探究意识和体会并实践“实验几何—论证几何”的探究方法．通过教师引导学生了解基本图形为后面应用切线长定理和分析定理的其他作用作铺垫
环节四:新知讲解
教师活动4：
思考： 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切？
问题1 圆心应满足什么条件？
圆心到三角形三条边的距离都等于半径
问题2 如何确定圆心与半径？
三角形三条角平分线的交点（圆心）到三边的距离（半径）相等
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN交于点O，
2.过点O作OD⊥BC于点D，
3.以O为圆心，OD为半径作圆.
⊙O即为所求的圆.
归纳总结：
内切圆和内心的定义
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形，内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做三角形的内心。
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形.
学生活动4：
学生通过小组合作探究得到，做两个角的角平分线并交于一点，过这个点作某一条边的垂线，以这个点为圆心，以垂线段为半径，画出的圆即为所求.教师通过多媒体展示具体作法．从而引出角形内切圆和三角形内心的概念．
活动意图说明：学生解决问题的过程中应用定理加深对定理作用的体会，学习三角形内切圆和三角形内心的概念．
环节五:典例精析
教师活动5：
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF、BD、CE的长.
解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x
由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14
解得 x=4
因此 AF=4，BD=5，CE=9.
学生活动5：
学生思考，找学生代表去黑板上板书，规范书写步骤
活动意图说明：通过典型例题，让学生初步了解切线长定理以及内切圆的应用，得到直角三角形和等边三角形内切圆半径与三边长之间的数量关系
板书设计
一、切线长定义
二、切线长定理
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1、如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
2、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
3.如图,△ABC的内切圆分别和BC,AC,AB切于D,E,F，如果AF=2,BD=7,CE=4,则BC= ,AC= ，AB= .
4.如图,PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,DE分别交PA,PB于D、E,已知P到⊙O的切线长为8cm,则△PDE的周长为______.
选做题：
5.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.

【综合拓展类作业】
6.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.

课堂总结
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
2.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 .
选做题：
3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．

【综合拓展类作业】
4.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp-ap-bp-c（其中a，b，c是三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c=5
∴p=a+b+c2=6∴S=pp-ap-bp-c=6×3×2×1=6
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
教学反思
根据学生的学情，本节课，我从学生已有的知识基础和生活经验出发，以生活实例引入，创设生动有趣的学习情境，本着疑难让学生议，思路让学生想，错误让学生析，规律让学生找，小结让学生讲的原则，在教学方法的设计上,把重点放在了探究构建数学模型的过程上，激发学生对数学学习的兴趣。