数学九年级上册圆周角教学设计

这是一份数学九年级上册圆周角教学设计，共12页。教案主要包含了圆周角定义，圆周角定理，圆周角推论等内容，欢迎下载使用。
第一课时《24.1.4圆周角》教学设计
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本节课是在学习了圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系后，建立了圆心角和圆周角之间的关系，因此，最终实现了在同圆或等圆中五个量之间相等关系的互相转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法，所以，本节内容在这一章中占有很重要的位置。
学习者分析
大多数学生数学基础薄弱，理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。因此，本节课学法指导着重在于引导学生观察、归纳、证明，探究出圆周角定理，不但降低了难度，同时渗透了学习探究知识的方法和思路，从中体会分类思想和化归思想，培养学生推理的严谨性，提高学生的逻辑思维能力。
教学目标
1. 理解圆周角概念；并掌握圆周角与圆心角及其所对弧的关系；
2.了解并证明圆周角定理及其推论
3.掌握圆内接多边形的性质的证明方法及应用
教学重点
1.圆周角的概念和圆周角定理
2. 理解圆内接四边形的性质并能熟练运用圆周角定理及推论进行有关的计算和证明.
教学难点
综合运用知识进行有关的计算和证明时，培养自己的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
简述圆心角的定义？说出圆心角的判断方法？
圆心角的定义：
圆心角的判断方法：
学生活动1：
学生思考回答
活动意图说明：引导学生复习圆心角的定义，从几何叠加角度再次识别圆心角，从而为后续学习圆周角定义和认识圆周角中角与圆的联系做好铺垫.
环节二：新知探究
教师活动2：
将圆心角顶点上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？
特征：顶点在圆上，两边都与圆相交.
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的特征：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
学生活动2：
师生共同画图，观察，比较，学生代表发言
活动意图说明：在本环节引导学生从角的要素出发，得出圆周角的定义，并引导学生认知到圆周角顶点和两边的位置的特殊性.
环节三：探究新知
教师活动3：
在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，你发现了什么？
经过测量∠ACB=12∠AOB
思考 圆心O与圆周角∠ACB有几种不同的位置关系？
尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
(1) 证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C
又∵∠BOC＝∠A ＋∠C
∴∠???=12∠???
圆心在圆周角的一边
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（如图），将它们转化为第（1）种情况，从而得到相同的结论.
(2) 证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D．
∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
∴∠BAD＝12∠BOD
同理∠CAD＝12∠COD
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=12∠BOC
圆心在圆周角内部
(3)
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．
又∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，
∴∠OAB＝12∠BOD ①
同理∠CA0＝12∠COD ②
由②-①得∠BAC=12∠BOC
圆心在圆周角外部
归纳总结：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
符号语言：
∵AB=AB
∴∠AOC=12∠AOB
学生活动3：
各小组根据白板中的问题进行讨论并进行交流.
学生代表上台将小组内的图片展示在黑板上.并写出结论：通过度量，我们可以发现，同弧上的圆周角是圆心角的一半.
学生自己把证明思路在学案中写下来，同时分小组展示本组交流的结果，一个小组展示一种情况，学生对展示结果进行点评.
师生共同归纳圆周角定理
活动意图说明：动手、猜想和预见是学生的天性，抓住学生这个心理采取，“先猜后证”的教学设计，有效地激发学生的积极性，唤起他们在课堂上主动探索，构建知识.
环节四：新知讲解
教师活动4：
在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？
如图，在⊙O中，∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么
关系？
证明：根据圆周角定理可知，
∠BAC=12∠BOC, ∠BDC=12∠BOC
∴∠BAC=∠BDC
同弧所对的圆周角相等．
在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？
如图，在⊙O中BC = CE ，则∠BDC与∠CAE有什么关系？
如图，作出两弧所对应的圆心角.
根据圆周角定理可知，∠BDC=12∠BOC,∠CAE=12∠COE
又由BC = CE可知，∠BOC=∠COE.
∴∠BDC=∠CAE
等弧所对的圆周角相等．
归纳总结：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
回答下面问题：
1.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆心角是多少？
2.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？
3.如图2，AB为⊙O的直径，若改变点C的位置，它所对的圆周角度数会改变吗？
4.如图1，在⊙O中若∠C=90°，弦AB经过圆心吗？为什么？
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
∵AB是☉O的直径
∴∠ACB=90°.
符号语言：
∵∠ACB=90°
∴AB是☉O的直径.
学生活动4：
教师提出问题，学生积极思考回答教师提出的问题，并独立完成证明任务，找同学到黑板上板书完成。
师生共同归纳总结
学生思考交流，回答问题从而得出推论
活动意图说明：通过对弧的分类，对劣弧所对圆周角与圆心位置关系的特殊情况和一般情况的分析，感受分类证明的必要性；引导学生将一般情况化为特殊情况，渗透转化与化归的数学思想；进一步感受三个猜想之间的逻辑关系，得到圆周角定理及其推论.
环节五：典例精析
教师活动5：
例3、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．
解：连接 OD.
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ACB=ADB=90°．
在 Rt△ABC 中，BC=AB2-AC2=102-62=8(cm)
∵ CD 平分ACB，∴ ACD=BCD，
∴ AOD=BOD ．∴ AD=BD．
在Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2 ，
∴ AD=BD=22AB=52 cm
学生活动5：
学生思考，解答
活动意图说明：通过例题，帮助学生熟练掌握圆周角的定理的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力.
环节六：新知讲解
教师活动6：
回答下面问题
1）什么是圆内接三角形？
2）什么是圆内接四边形？
在纸上画出一个圆，再任意画一个圆内接四边形，测量四边形的度数，你发现了什么？
经过测量∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°,
思考 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
如图，连接OB，OD.
∵∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD,
又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=360°2 =180° ,
同理∠B+∠D=180°.
归纳：圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
学生活动6：
学生回答
学生动手测量，得出角之间的关系
小组之间同学交流，并用文字表述
活动意图说明：培养学生自学能力和独立思考能力，体会数学结论的严谨性，培养学生应用数学的意识和能力.
板书设计
一、圆周角定义
二、圆周角定理
三、圆周角推论
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1. 如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）．
A．60°B．50°C．40°D．20°
2.如图，☉O中，∠BOC=78°，则∠BAC的度数是( )
A.156° B.78°
C.39° D.12°
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE= ．
选做题：
5.如图，BC是半圆O的直径，AD⊥BC于点D，BA=AF ，BF与AD交于点E.求证：(1)∠BAD=∠ACB；(2)AE=BE.
【综合拓展类作业】
6．如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
1当α=50∘时，求β的度数．
2猜想α与β之间的关系，并给与证明．
课堂总结
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则∠A=（ ）
A．66° B．33° C．24° D．30°
2．如图，已知点A、B、C在⊙O上，C为AB的中点．若∠BAC=35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120°C．110° D．70°
选做题：
3.如图，已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB= ，∠ADB= .
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 .
【综合拓展类作业】
5、如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
教学反思
本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容. 重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识. 练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展.