初中数学人教版（2024）九年级上册垂直于弦的直径教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册垂直于弦的直径教案设计，共8页。教案主要包含了知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。
第一课时《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
学习者分析
学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。九年级学生，班级学生在学习之间存在两极分化；但学生对生活中隐含的数学问题还算是有兴趣。
教学目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
教学重点
垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.
教学难点
利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
中国汉代数学典籍《九章算术》勾股章所记载的“圆材埋壁”问题，原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里。不知道其大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候，锯开的宽度为一尺，问木材的直径是多少？（一尺等于十寸）
用数学语言可表述为：“如图，在⊙O中，弦CD=10寸，弓形高AB=1寸，求直径的长。”
学生活动1：
教师提出问题，学生尝试利用已学知识解决这个问题
活动意图说明：从已有的知识出发，激发学生学习的兴趣，营造主动思考、积极探索的氛围.
环节二：新知探究
教师活动2：
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗？
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，
A为⊙O上点C，D以外的任意一点.
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，
垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵OA=OA′
∴△OAA′是等腰三角形
∵AA′⊥CD
∴ AM=MA′
即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.
归纳结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
学生活动2：
学生动手操作，猜想
学生试着证明，并归纳
活动意图说明：在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．
环节三：典例精析
教师活动3：
在圆形纸片上作ʘO的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？
观察发现：
点A与点B重合，AE与BE重合,
AC 与 BC重合，AD 与 BD重合.
所以AE=BE, AC = BC ， AD = BD
从上面的动手操作可知，如图，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点，把⊙O沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗？并说明理由．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
几何语言：∵CD⊥AA′，CD是⊙O的直径，
∴AM＝MA′，eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(A′C,\s\up8(︵))，eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(A′D,\s\up8(︵)).
提出问题：垂径定理是由几个条件得到几个结论？
师生分析得：①直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．
问题：把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？
归纳推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
学生活动3：
学生进行观察、分析，通过合情推理总结结论，教师指导学生分析题目中的条件和结论．教师用多媒体演示，学生尝试归纳垂径定理后，教师补充、完善，最后用几何语言进行描述
学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论
活动意图说明：在学生动手操作—折纸和课件演示的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，目的是既使学生重视证明表述，又加深对它的发现与理解。让学生经历了实验—观察—猜想—证明，学生的思维逐步被展开，现在可以引导学生证明并归纳定理，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式。
环节四:典例精析
教师活动4：
例2 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m
所以，AD=12AB=12×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.52+(R-7.23)2
解得 R≈27.3(m)
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m
学生活动4：
学生独立思考，当堂练习
活动意图说明：数学来源于实践，又应用于实践。在例题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。
板书设计
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）．
A. 5 B.2 3 C.2 5 D.2
2.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
3.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
4.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
选做题：
5.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径.
【综合拓展类作业】
6.如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以点O为圆心,5为半径作☉O分别与∠EPF的两边相交于点A,B和点C,D,连接OA,且OA∥PE.
(1)求证:AP=AO;
(2)若弦AB=8,求OP的长.
课堂总结
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
2.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．
选做题：
3.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
【综合拓展类作业】
4.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为点D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.

教学反思
在教学过程中，由学生发现，大胆的猜想，使学生懂得研究的常用方法:从特殊到一
般，由猜测到论证。接下来通过几个练习巩固本堂课的主要内容。但由于部分学生的联想思维跟不上，并不能真正理解垂径定理，在练习中我发现学生的理解和应用能力有待在以后的学习中加强。但总的来说，本堂课学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动建构。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以，充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会研究的方法，培养学生的能力。对于本课我做了充分的准备，但教学效果达不到我的理想，所以我反思总结:以后的教学不光准备课件教具充分，还要加强自身把握课堂的能力，学会调动学生学习的气氛，那样将会达到更好的效果。