（人教A版）选择性必修一数学高二上学期期中复习【第三章 圆锥曲线的方程】十大题型归纳（基础篇）（2份，原卷版+解析版）

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1．椭圆x225+y216=1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（ ）
A．4B．6
C．8D．2
【解题思路】椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，利用椭圆的定义MF1+MF2=2a求解.
【解答过程】设椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，椭圆长轴长2a=10，不妨令MF1=4，由MF1+MF2=2a=10，得MF2=10−MF1=10−4=6.故选：B.
2．已知椭圆C:x225+y216=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=（ ）
A．10B．15C．20D．25
【解题思路】根据题意，画出图像，结合条件可得AN=2DF1，BN=2DF2，再结合椭圆的定义即可得到结果.
【解答过程】
设MN的中点为D，椭圆的左右焦点分别为F1,F2，则D为MN的中点，F1为MA的中点，所以AN=2DF1，同理BN=2DF2，所以AN+BN=2DF1+DF2=4a=20.故选:C.
3．已知点P是椭圆x2100+y236=1上一点，它到椭圆的左焦点F1的距离是它到右焦点F2的距离的3倍，求点P的坐标．
【解题思路】由椭圆定义求得PF1，PF2，利用P分别在以F1、F2为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得P点坐标．
【解答过程】解：由已知a=10,b=6，c=100−36=8，F1(−8,0)，F2(8,0)，PF1+PF2=2a=20，而PF1=3PF2，所以PF1=15，PF2=5，因此点P在分别以F1、F2为圆心，半径为15、5的圆上，
因此(x+8)2+y2=225(x−8)2+y2=25，解得x=254y=±3394，所以点P的坐标为254,±3394．
4．设F1,F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1 的直线交椭圆E于A,B，AF1=3BF1，若AB=4，△ABF2的周长为16，求AF2.
【解题思路】由已知可求得AF1=3，然后根据已知结合椭圆的定义可推得a=4，AF1+AF2=8，即可得出答案.
【解答过程】
由已知AF1=3BF1，AB=4，可得AF1=3，F1B=1.
因为△ABF2的周长为16，则AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=16.
根据椭圆定义可得，AF1+AF2=BF1+BF2=2a，所以4a=16，a=4，
所以，AF1+AF2=8，所以，AF2=8−AF1=8−3=5.
题型2
椭圆的标准方程的求解
1．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为−12，则椭圆E的方程为（ ）
A．x28+y24=1B．x212+y28=1C．x216+y212=1D．x220+y216=1
【解题思路】由条件列关于a,b,c的方程，解方程可得a,b，由此可得椭圆方程.
【解答过程】设Ax1,y1,Bx2,y2，由对称性可得D−x2,−y2，则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，
所以两式相减可得y22−y12x22−x12=−b2a2，因为直线AB与AD的斜率之积为−12，
所以y2−y1x2−x1⋅−y2−y1−x2−x1=−12，即y22−y12x22−x12=−12，所以b2a2=12，设椭圆E的半焦距为c，
因为椭圆E的焦距为4，所以2c=4，所以c=2，又a2=b2+c2，所以b2=4,a2=8，
所以椭圆E的标准方程为x28+y24=1，故选：A.

2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A．x24+y26=1B．x26+y24=1
C．x236+y232=1或x232+y236=1D．x236+y232=1
【解题思路】根据长轴长以及离心率，可求出a=6，c=2，再由b2=a2−c2，进而可求出结果.
【解答过程】由题意知，2a=12，ca=13，所以a=6，c=2，∴b2=a2−c2=32，又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在x或y轴上.∴椭圆方程：x236+y232=1或x232+y236=1故选：C.
3．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距为215，且经过点0,−4；
(2)焦距为4，且经过点5,0．
【解题思路】（1）利用待定系数法求出a,b可得结果；
（2）讨论焦点位置，求出a,b可得结果.
【解答过程】（1）设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
依题意得16a2+0b2=12c=215a2=b2+c2，解得a=4b=1c=15，所以该椭圆的标准方程为y216+x2=1.
（2）当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
依题意得c=2，a=5，则b2=a2−c2=5−4=1，故椭圆的标准方程为x25+y2=1.
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
依题意得c=2，b=5，则a2=b2+c2=5+4=9，故椭圆的标准方程为y29+x25=1.
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为F1−23,0，长轴长是短轴长的2倍；
(2)经过点P2,22，离心率为22，焦点在x轴上；
(3)经过两点A1,32，B2,0.
【解题思路】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可；
(2)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可；
(3)若椭圆过两点坐标，可把标准方程设为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n的形式，再把两点坐标代入求解即可.
【解答过程】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1a>b>0，
所以由题设有：a2=b2+c2c=23a=2b，解得a=4b=2c=23，故椭圆的标准方程为：x216+y24=1.
（2）根据题意可设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1a>b>0，
所以由题设有：a2=b2+c2e=ca=224a2+8b2=1，解得a2=20b2=10，故椭圆的标准方程为：x220+y210=1.
（3）根据题意可设椭圆的标准方程为：mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，
所以由题设有：m+94n=14m=1，解得m=14n=13，故椭圆的标准方程为：x24+y23=1.
题型3
求椭圆的离心率或其取值范围
1．已知椭圆x210−t+y2t−4=1的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ）
A．55B．255C．12D．33
【解题思路】根据椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案.
【解答过程】由题得t−4>10−t>0，即71)的右顶点，P为椭圆C上一点（不与A重合），若PO⋅PA=0（O是坐标原点），则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．12,1B．22,1C．32,1D．0,22
【解题思路】设Px,y00,b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．(1,+∞)B．(1,2)
C．(2,1+2)D．(1,1+2)
【解题思路】根据双曲线的对称性结合题意可得△ABE为等腰三角形，由此可得|AF|0)，焦点为(p2,0)，准线为x=−p2，
故3−(−p2)=5,∴p=4，故抛物线标准方程为y2=8x.
4．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是y=3；
(2)过点P−22,4；
(3)焦点到准线的距离为2.
【解题思路】（1）（2）（3）利用抛物线的定义及其性质即可得出．
【解答过程】（1）由准线方程为y=3知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p2=3，
则p=6，故所求抛物线的标准方程为x2=−12y．
（2）∵点P−22,4在第二象限，
∴设所求抛物线的标准方程为y2=−2px(p>0)或x2=2py(p>0)，
将点P−22,4代入y2=−2px，得42=−2p×−22，解得p=22，
所以抛物线方程为y2=−42x；
将点P−22,4代入x2=2py，得−222=8p，解得p=1，所以抛物线方程为x2=2y．
综上所求抛物线的标准方程为y2=−42x或x2=2y．
（3）由焦点到准线的距离为2，所以p=2，
故所求抛物线的标准方程为y2=22x或y2=−22x或x2=22y或x2=−22y．
题型9
判断直线与圆锥曲线的位置关系
1．椭圆x28+y22=1与直线y=kx−1的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【解题思路】根据定点判断直线和椭圆的位置关系.
【解答过程】直线过定点M1,0在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.
2．直线y=32x+2与双曲线x24−y29=1的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x=−136，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.
【解答过程】由y=32x+2x24−y29=1得x24−（32x+2）29=1 整理得，6x=−13；
所以x=−136，故直线和双曲线只有一个交点；又双曲线x24−y29=1的渐近线方程为：y=±32x
y=32x+2与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.所以直线和双曲线的位置关系为相交．
故选：B.
3．设直线l:y=kx+1，抛物线C:y2=4x，当k为何值时，l与C相切 ？相交？相离？
【解题思路】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.
【解答过程】解：联立方程，得y=kx+1,y2=4x,消去y并整理，得k2x2+(2k−4)x+1=0.
当k≠0时，方程k2x2+(2k−4)x+1=0为一元二次方程.所以Δ=(2k−4)2−4k2=16(1−k).
当Δ=0，即k=1时，l与C相切；
当Δ>0，即k0,b>0)，因为双曲线的离心率为10=1+ba2，所以b=3a.
所以方程可化简为9x2−y2=9a2*，将A和B的坐标代入*式可得36−m2=9a281−(m−9)2=9a2，解得a=423，
则喉部的直径为2a=823cm.故选：D.
3．如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风.已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试选择适当的坐标系求此双曲线的方程.

附：660481−52≈600
【解题思路】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可.
【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，

设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a,b>0)，
由题意可知：该双曲线过A−12,0,C−13,ℎ,B−25,ℎ−55ℎ>0，
所以有a=12，且169144−ℎ2b2=1625144−ℎ−552b2=1，由169144−ℎ2b2=1可得ℎ=512b，
将其代入625144−ℎ−552b2=1，得512b−552=481144b2，即b=660481−5，则b2≈600，
所以双曲线的方程为x2144−y2600=1.
4．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4 cm；每减少一层货箱，船体连货物高度整体下降4 cm．且货物顶部与桥壁在竖直方向需留2 cm间隙方可通过，问船只最多增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
【解题思路】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系．求出抛物线的方程为x2=−254y，可设C(3,−4)，过C作AB的垂线，交抛物线于D，求出|CD|即得解；
（2）求出货物超出高度即得解.
【解答过程】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B在抛物线上；
∴25＝—4m，∴m=−254，∴x2=−254y；可设C(3,−4)，过C作AB的垂线，交抛物线于D，
则9=−254y0，∴y0=−3625．∵CD=−3625−(−4)=6425>1.5．∴货箱能顺利通过该桥．
（2）由题知，货物超出高度为(6425−1.5)×100=106(cm)，因为每增加一层船体连货物高度整体上升4cm，且货物与桥壁需留下2cm间隙．所以需要增加层数为106−24=26层，因此，船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．