（人教A版）选择性必修一数学高二上学期期中复习【第三章 圆锥曲线的方程】十二大题型归纳（拔尖篇）（2份，原卷版+解析版）

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1．设F1,F2分别为椭圆x26+y24=1的左右焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．12B．24C．26D．46
2．已知椭圆C：x24+y23=1的左､右焦点分别是F1，F2，M43,y0为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．△MF1F2的周长为6B．△MF1F2的面积为153
C．△MF1F2的内切圆的半径为159D．△MF1F2的外接圆的直径为3211
3．如图所示，已知F1,F2是椭圆x2100+y236=1的两个焦点．

(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A,B两点，试求△ABF2的周长．
4．把右半个椭圆C1:x24+y23=1x≥0和圆弧C2:x−12+y2=4xb>0的离心率为22，且其中一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y=kx+2与椭圆E交于不同的A，B两点，且满足OA⋅OB=−1（O为坐标原点），求弦长AB的值．
题型6
双曲线的弦长与“中点弦”问题
1．过点P2,1的直线l与双曲线x2−y23=1相交于A,B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程是（ ）
A．6x−y−11=0B．6x+y−13=0
C．2x−3y−1=0D．3x−2y−4=0
2．已知双曲线C:2x2−y2=2，过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．423B．334C．43D．42
3．经过点M2,2作直线l交双曲线x2−y24=1于A,B两点，且M为AB中点．
(1)求直线l的方程．
(2)求线段AB的长．
4．已知双曲线C的渐近线为y=±3x，且过点M1,2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长AB．
题型7
抛物线的弦长与焦点弦问题
1．过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，作倾斜角为π6的直线l交C于A，B两点，交C的准线于点M，若OM=2213（O为坐标原点），则线段AB的长度为（ ）
A．8B．16C．24D．32
2．已知抛物线C：x2=−2pyp>0的焦点F与y28+x24=1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长AB=（ ）
A．12B．14C．15D．16
3．已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点，点A在第一象限，且AF=2p.
(1)求直线AB的斜率；
(2)若AB=163，求抛物线C的方程.
4．已知圆C:x2+y2=2x，动点P在y轴的右侧，P到y轴的距离比它到的圆心C的距离小1．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)过圆心C作直线l与轨迹E和圆C交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若AM+NB=2MN，求AB及直线l的方程．
题型8
圆锥曲线中的面积问题
1．已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m=（ ）．
A．23B．23C．−23D．−23
2．已知O为坐标原点，双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的右焦点为F，以OF为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点A，B，若OA+OB=233AB，则四边形OAFB的面积为（ ）
A．6B．43C．23D．4
3．直线y=kx−2交抛物线y2=2pxp>0于A、B两点，线段AB中点的横坐标为2，抛物线的焦点到y轴的距离为2.
(1)求抛物线方程；
(2)设抛物线与x轴交于点D，求△ABD的面积.
4．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过1,32和2,62两点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；
（ii）求四边形APBQ面积的最大值.
题型9
圆锥曲线中的最值问题
1．已知P为直线y=−x−1上一动点，过点P作抛物线C:x2=2y的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线AB距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
2．已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．离心率e=32B．PF2的最大值为2+3
C．△PF1F2的面积的最大值为23D．PF1+PF2的最小值为2
3．已知F1，F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点．且F1F2=4，P为椭圆上一点，PF1+PF2=26．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点，若AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM交直线x=3于点N．求ABNF2的最大值．
4．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0离心率为2，A1，A2分别是左、右顶点，点M是直线x=1上一点，且满足3tan∠MA1A2=tan∠MA2A1，直线MA1，MA2分别交双曲线右支于B，C两点.记△MA1A2，△MBC的面积分别为S1，S2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)求S1S2的最大值.
题型10
圆锥曲线中的定点、定值问题
1．已知焦点在x轴上的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴长为23，焦距为2.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，已知点P23,0，点A是椭圆的右顶点，直线l与椭圆C交于不同的两点E､F,E､F两点都在x轴上方，且∠APE=∠OPF.证明：直线l过定点，并求出该定点坐标.
2．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1 a,b>0的渐近线方程为y=±12x，其左右焦点为F1，F2，点D为双曲线上一点，且△DF1F2的重心G点坐标为43,33.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点Pt,0作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），连接BA′并延长交x轴于点Q，问OQ⋅OP是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
3．在平面直角坐标系xOy中，P，Q是抛物线C:x2=y上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线OQ与l的斜率乘积为−2．
(1)求证：直线PQ过定点，并求此定点D的坐标；
(2)过M作l的垂线交椭圆x24+y2=1于A，B两点，过D作l的平行线交直线AB于H，记△OPQ的面积为S，△ABD的面积为T．
①当TS2取最大值时，求点P的纵坐标；
②证明：存在定点G，使|GH|为定值．
4．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B，长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运动，且△ABP面积的最大值为8．
(1)求C的方程；
(2)若直线l经过点Q1,0，交C于M,N两点，直线AM,BN分别交直线x=4于D，E两点，试问△ABD与△AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
题型11
圆锥曲线中的定直线问题
1．过抛物线x2=2py(p>0)内部一点Pm,n作任意两条直线AB,CD，如图所示，连接AC,BD延长交于点Q，当P为焦点并且AB⊥CD时，四边形ACBD面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；
(2)若点P1,1，证明Q在定直线上运动，并求出定直线方程.
2．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0，F22,0为椭圆E的右焦点，三点332,12，−332,12，2,13中恰有两点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点A,B为椭圆E的左右端点，过点M2,0作直线交椭圆E于P，Q两点（不同于A,B），求证：直线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程.
3．从双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，点A1,A2分别是双曲线的左、右顶点，点B0,12b，且A2B// OP，F1A2=2+3.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点23,0作直线L分别交双曲线左右两支于C,D两点，直线A1C与直线A2D交于点M，证明：点M在定直线上.
4．椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A−2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；
(2)若直线l过点−1,0，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
题型12
圆锥曲线中的存在性问题
1．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心为O，左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上一点，线段MF1与圆x2+y2=2相切于该线段的中点N，且△MF1F2的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点F1，且四边形OAPB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.
2．已知抛物线C:x2=2pyp>0，过抛物线的焦点F且斜率为34的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，AB=258．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线上，若PF1−PF2=233b，且双曲线焦距为4．
(1)求双曲线C的方程；
(2)如果Q为双曲线C右支上的动点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得∠QF2M=2∠QMF2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
4．椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是22，点M2,1是椭圆E上一点，过点P0,1的动直线l与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求△AOB面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使QAQB=PAPB恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.