2025-2026学年上学期上海初中数学七年级开学模拟考2

这是一份2025-2026学年上学期上海初中数学七年级开学模拟考2，共25页。试卷主要包含了2的结果是　 　 等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若25＝22•2a，则a＝ ．
2．（2分）若2x＝2，2y＝3，2z＝6，则2x+y+z的值为 ．
3．（2分）一条长为m，宽为n的长方形纸条（m＞3n），分成两个正方形和一个长方形（如图1），现将长方形纸条对折，使边AB与边CD重合，得到折痕MN（如图2），则长方形MNFE的面积是 （用含有m、n的代数式表示）．
4．（2分）计算：[（x+y）3]2＝ （结果用幂的形式表示）．
5．（2分）计算（3+3+⋯+3︸m个）2的结果是 ．
6．（2分）若2x＝4y+1，27y＝3x+1，则x﹣y等于 ．
7．（2分）代数式x2+x的值为4，则代数式﹣x2﹣x+5的值为 ．
8．（2分）若a2+2a的值为﹣2，则代数式3a2+6a﹣2的值是 ．
9．（2分）若M＝2×2021×2029，N＝2028×2022×2，则M﹣N＝ ．
10．（2分）化简a2−9a⋅1a−3的结果为 ．
11．（2分）若x＝3m+2，y＝1+9m，则用含x的代数式表示y为 ．
二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）
12．（3分）代数式ab2，a+b2，ab2+b+1，3x+2y，x3+x2﹣3中，多项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
13．（3分）5x＝8，5y＝2，则5x+y＝（ ）
A．30B．20C．16D．4
14．（3分）已知单项式串：M0＝1，M1＝ax，M2＝a2x2，M3＝a3x3，⋯，Mn＝anxn，其中n为非负整数，a为正整数．规定：F（x）＝M0+M1+M2+⋯+Mn＝1+ax+a2x2+a3x3+⋯+anxn，下列说法：
①若F（1）＝7，则a＝1，n＝6；
②从单项式Mn，Mn+1，Mn+2，Mn+3，Mn+4中任选4个，存在3种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积；
③从单项式串中任取6个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
15．（3分）在下列说法中，正确的是（ ）
A．22a3b5的系数为25
B．﹣2πx5的次数为6
C．2x3﹣y2+34是四次三项式
D．若7x2ya与﹣3y3xb是同类项，则ba＝8
三．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）
16．（5分）把a8写成am•an（m，n均为正整数，m≤n）的形式，有几种结果？把它们全部列举出来．
17．（5分）已知am＝3，求（2a）m•（12a）m的值．
18．（5分）计算：2x•x2•x3+（﹣x3）2+（﹣2x2）3．
19．（5分）计算（−14）2021×161010．
20．（5分）小深在对多项式[（2a+b）2﹣4a（a+b）﹣4b2]÷（﹣2b）“化简求值”的过程中，发现只需要知道字母 （填a或b）的取值就可以求出正确答案了，若这个字母等于3，请将这个多项式先化简，再求值．
21．（5分）计算：a2•a4+（a3）2+5a6．
四．解答题（共6小题，满分36分）
22．（5分）先化简，再求值．2x2y﹣[xy2﹣2（2xy2﹣4x2y）﹣5x2y]﹣4xy2，其中（x﹣1）2+|y+2|＝0．
23．（5分）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：
第一次
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价x甲、x乙，比较x甲、x乙的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
24．（6分）简便计算：（−43）27×（−34）26．
25．（6分）计算：（﹣a3）2•（﹣a）3．
26．（6分）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求（2y）x的值．
27．（8分）红旅渠精神是中华民族”自力更生、艰苦创业”的民族奋斗精神．某校组织学生前往红旗渠开展实践活动，在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带队：若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次游学实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次游学实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）若每位老师各负责一辆车的组织工作，则有几种租车方案？总费用最少的方案是哪种？最少费用是多少元？
2025-2026学年上学期上海初中数学七年级开学模拟考2
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
一．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）
1．（2分）若25＝22•2a，则a＝ 3 ．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解答．
【解答】解：∵25＝22•2a，
∴5＝2+a，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键．
2．（2分）若2x＝2，2y＝3，2z＝6，则2x+y+z的值为 36 ．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】36．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：当2x＝2，2y＝3，2z＝6时，
2x+y+z
＝2x×2y×2z
＝2×3×6
＝36．
故答案为：36．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2分）一条长为m，宽为n的长方形纸条（m＞3n），分成两个正方形和一个长方形（如图1），现将长方形纸条对折，使边AB与边CD重合，得到折痕MN（如图2），则长方形MNFE的面积是 12mn﹣n2 （用含有m、n的代数式表示）．
【考点】列代数式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】12mn﹣n2．
【分析】由题意可知EF＝n，再用含有m、n的代数式表示出ME，进而求出面积．
【解答】解：∵一条长为m，宽为n的长方形纸条（m＞3n），分成两个正方形和一个长方形，
∴两个正方形的边长均为n，长方形的宽为n，长为m﹣2n，
∴EF＝AB＝CD＝n，
∵将长方形纸条对折，使边AB与边CD重合，得到折痕MN，
∴ME=12（m﹣2n），
∴长方形MNFE的面积＝ME•EF=12（m﹣2n）n=12mn﹣n2．
故答案为：12mn﹣n2．
【点评】本题考查了列代数式，折叠的性质，长方形与正方形的性质，用含有m、n的代数式表示出ME是解题的关键．
4．（2分）计算：[（x+y）3]2＝ （x+y）6 （结果用幂的形式表示）．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（x+y）6．
【分析】根据幂的乘方（am）n＝amn，m与n为整数解决此题．
【解答】解：[（x+y）3]2＝（x+y）6．
故答案为：（x+y）6．
【点评】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解决本题的关键．
5．（2分）计算（3+3+⋯+3︸m个）2的结果是 9m2 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】9m2．
【分析】利用积的乘方法则计算即可．
【解答】解：原式＝（3m）2＝9m2，
故答案为：9m2．
【点评】本题考查积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
6．（2分）若2x＝4y+1，27y＝3x+1，则x﹣y等于 5 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】5．
【分析】利用幂的乘方的法则对已知条件进行整理，从而可求解x与y的值，再代入运算即可．
【解答】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x+1，
∴2x＝22y+2，33y＝3x+1，
∴x＝2y+2，3y＝x+1，
解得：x＝8，y＝3，
∴x﹣y＝8﹣3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与运用．
7．（2分）代数式x2+x的值为4，则代数式﹣x2﹣x+5的值为 1 ．
【考点】代数式求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】1．
【分析】读懂题意，列等式，化简整理等式和代数式，整体代入求值．
【解答】解：∵x2+x＝4，
∴﹣x2﹣x+5
＝﹣（x2+x）+5
＝﹣4+5
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值．
8．（2分）若a2+2a的值为﹣2，则代数式3a2+6a﹣2的值是 ﹣8 ．
【考点】代数式求值．
【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力．
【答案】﹣8．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：当a2+2a＝﹣2时，原式＝3（a2+2a）﹣2＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
9．（2分）若M＝2×2021×2029，N＝2028×2022×2，则M﹣N＝ ﹣14 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】﹣14．
【分析】根据乘法分配律进行计算．
【解答】解：M﹣N＝2×2021×2029﹣2028×2022×2
＝2×（2021×2029﹣2028×2022）
＝2×[2021×（2028+1）﹣2028×2022]
＝2×（2021×2028+2021﹣2028×2022）
＝2×[2028×（2021﹣2022）+2021]
＝2×（﹣2028+2021）
＝2×（﹣7）
＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律并灵活应用是解题关键．
10．（2分）化简a2−9a⋅1a−3的结果为 a+3a ．
【考点】分式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a+3a．
【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【解答】解：原式=(a−3)(a+3)a•1a−3=a+3a．
故答案为：a+3a．
【点评】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．（2分）若x＝3m+2，y＝1+9m，则用含x的代数式表示y为 1+x281 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据条件求得3m=x9，根据幂的乘方公式对y＝1+9m进行变形，再整体代入求值即可．
【解答】解：∵x＝3m+2，
∴3m＝x÷32=x9，
∴y＝1+9m
＝1+（32）m
＝1+（3m）2
＝1+（x9）2
＝1+x281．
故答案为：1+x281．
【点评】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．
二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）
12．（3分）代数式ab2，a+b2，ab2+b+1，3x+2y，x3+x2﹣3中，多项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据多项式的定义解答．
【解答】解：代数式ab2是单项式，a+b2是多项式，ab2+b+1是多项式，3x+2y是分式，x3+x2﹣3是多项式，多项式有3个．
故答案为：B．
【点评】本题考查了多项式，解题的关键是熟练掌握多项式的定义．
13．（3分）5x＝8，5y＝2，则5x+y＝（ ）
A．30B．20C．16D．4
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：∵5x＝8，5y＝2，
∴5x•5y＝8×2，
∴5x+y＝16，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
14．（3分）已知单项式串：M0＝1，M1＝ax，M2＝a2x2，M3＝a3x3，⋯，Mn＝anxn，其中n为非负整数，a为正整数．规定：F（x）＝M0+M1+M2+⋯+Mn＝1+ax+a2x2+a3x3+⋯+anxn，下列说法：
①若F（1）＝7，则a＝1，n＝6；
②从单项式Mn，Mn+1，Mn+2，Mn+3，Mn+4中任选4个，存在3种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积；
③从单项式串中任取6个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】单项式乘单项式；代数式求值；规律型：数字的变化类．
【答案】B
【分析】先得出F（1）＝1+a+a2+…+an＝7，分别令a＝1，2，…，依次求解即可判断①；
由题意得Mn、Mn+1、Mn+2、Mn+3、Mn+4的表达式，根据题意列出其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积的情况即可判断②；
先得出要使其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积，那么6个相邻单项式中a的指数和为偶数，设6个相邻单项式分别为atxt，at+1xt+1，at+2xt+2，at+3xt+3，at+4xt+4，at+5xt+5，得出a的指数和为奇数，故可判断③．
【解答】解：①中，
由题意，得F（1）＝1+a+a2+…+an＝7，
当a＝1时，1+1+12+…+16＝7，则n＝6；
当a＝2时，1+2+22＝7，则n＝2；
当a＝6时，1+6＝7，则n＝1；
故①错误；
②中，
由题意得Mn＝anxn，Mn+1＝an+1xn+1，Mn+2＝an+2xn+2，Mn+3＝an+3xn+3，Mn+4＝an+4xn+4，
则任选4个，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积的情况有：
Mn•Mn+4＝Mn+1•Mn+3＝a2n+4x2n+4；
Mn•Mn+3＝Mn+1•Mn+2＝a2n+3x2n+3；
Mn+1•Mn+4＝Mn+2•Mn+3＝a2n+5x2n+5；
共3种情况，
故②正确；
③中，
对于n不同的Mn＝anxn，当三个单项式的积等于另外三个单项式的积时，
即若at1xt1•at2xt2•at3xt3＝at4xt4•at5xt5•at6xt6，
其中t1，t2，t3，t4，t5，t6为非负整数，
则at1+t2+t3xt1+t2+t3＝at4+t5+t6xt4+t5+t6，
则t1+t2+t3＝t4+t5+t6，
则t1+t2+t3+t4+t5+t6＝2（t1+t2+t3），
则t1+t2+t3+t4+t5+t6为偶数，
设6个相邻单项式分别为atxt，at+1xt+1，at+2xt+2，at+3xt+3，at+4xt+4，at+5xt+5，
根据题意得t+（t+1）+（t+2）+（t+3）+（t+4）+（t+5）＝6t+15，是奇数，
故从单项式串中任取6个相邻单项式，不存在使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积的情况，
故③错误；
综上所述，
正确的有1个，
故选：B．
【点评】本题考查数与式的操作，单项式与单项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的运算，并熟练根据题意正确进行式子的操作是解题的关键．
15．（3分）在下列说法中，正确的是（ ）
A．22a3b5的系数为25
B．﹣2πx5的次数为6
C．2x3﹣y2+34是四次三项式
D．若7x2ya与﹣3y3xb是同类项，则ba＝8
【考点】同类项；单项式；多项式．
【专题】整式；符号意识．
【答案】D
【分析】选项A、B根据单项式的定义判断即可；选项C根据多项式的定义判断即可；选项D根据同类项的定义判断即可．
【解答】解：A．22a3b5的系数为45，原说法错误，故本选项不符合题意；
B．﹣2πx5的次数为5，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．2x3﹣y2+34是三次三项式，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．若7x2ya与﹣3y3xb是同类项，则ba＝8，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同类项，单项式与多项式，掌握相关定义是解答本题的关键．
三．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）
16．（5分）把a8写成am•an（m，n均为正整数，m≤n）的形式，有几种结果？把它们全部列举出来．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4种，a•a7，a2•a6，a3•a5，a4•a4．
【分析】逆用同底数幂的乘法法则，根据已知条件的要求，进行解答即可．
【解答】解：∵m，n均为正整数，m≤n，m+n＝8，
∴8＝1+7＝2+6＝3+5＝4+4，
∴a8＝a•a7＝a2•a6＝a3•a5＝a4•a4，
∴把a8写成am•an（m，n均为正整数，m≤n）的形式共有4种结果，它们是：a•a7，a2•a6，a3•a5，a4•a4．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则，并能灵活逆用法则进行计算．
17．（5分）已知am＝3，求（2a）m•（12a）m的值．
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】9．
【分析】根据积的乘方、幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：（2a）m•（12a）m
＝（2a•12a）m
＝（a2）m
＝a2m，
当am＝3时，原式＝32＝9．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
18．（5分）计算：2x•x2•x3+（﹣x3）2+（﹣2x2）3．
【考点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣5x6．
【分析】先根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可．
【解答】解：2x•x2•x3+（﹣x3）2+（﹣2x2）3
＝2x6+x6﹣8x6
＝﹣5x6．
【点评】本题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．（5分）计算（−14）2021×161010．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】−14．
【分析】根据积的乘方（积的乘方，底数不变，指数相乘）解决此题．
【解答】解：(−14)2021×161010
=−(14)2021×(42)1010
=−(14)2021×42020
=−14×(14)2020×42020
=−14×(14×4)2020
=−14×1
=−14．
【点评】本题主要考查乘方、积的乘方，熟练掌握乘方、积的乘方是解决本题的关键．
20．（5分）小深在对多项式[（2a+b）2﹣4a（a+b）﹣4b2]÷（﹣2b）“化简求值”的过程中，发现只需要知道字母 b （填a或b）的取值就可以求出正确答案了，若这个字母等于3，请将这个多项式先化简，再求值．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】b，92．
【分析】先计算小括号，合并同类项，再计算除法，可得结论．
【解答】解：[（2a+b）2﹣4a（a+b）﹣4b2]÷（﹣2b）
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2﹣4ab﹣4b2）÷（﹣2b）
＝﹣3b2÷（﹣2b）
=32b，
∴只要知道b的值即可，
当b＝3时，上式=92．
故答案为：b，
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
21．（5分）计算：a2•a4+（a3）2+5a6．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】7a6．
【分析】先算同底数幂的乘法，幂的乘方，再合并同类项即可．
【解答】解：a2•a4+（a3）2+5a6
＝a6+a6+5a6
＝7a6．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
四．解答题（共6小题，满分36分）
22．（5分）先化简，再求值．2x2y﹣[xy2﹣2（2xy2﹣4x2y）﹣5x2y]﹣4xy2，其中（x﹣1）2+|y+2|＝0．
【考点】整式的加减—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】先用整式的加减运算法则化简代数式，再求出x＝1，y＝﹣2代入化简后的代数式求值即可．
【解答】解：2x2y﹣xy2﹣2（2xy2﹣4x2y）﹣5x2y]﹣4xy2
＝2x2y﹣xy2+4xy2﹣8x2y+5x2y﹣4xy2
＝（2x2y﹣8x2y+5x2y）+（4xy2﹣4xy2﹣xy2）
＝﹣x2y﹣xy2
＝﹣xy（x+y），
∵（x﹣1）2+|y+2|＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
原式＝﹣1×（﹣2）×（1﹣2）＝﹣2．
【点评】本题考查代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，代数式求值的方法是解题的关键．
23．（5分）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：
第一次
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价x甲、x乙，比较x甲、x乙的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
【考点】分式的混合运算；一元一次方程的应用；列代数式．
【专题】分式；运算能力；应用意识．
【答案】【生活观察】
（1）20；7.5；
（2）甲两次买菜的均价为5（元/千克），乙两次买菜的均价为4.8（元/千克）；
【数学思考】
x甲≥x乙；理由见解答过程；
【知识迁移】
t1＜t2，理由解解答过程．
【分析】【生活观察】
（1）第二次甲买水果费用为20元，乙买水果质量为7.5千克，
（2）甲两次买水果的均价为：（30+20）÷（5+5）＝5（元/千克），乙两次买水果的均价为：（30+30）÷（5+7.5）＝4.8（元/千克），
【数学思考】
先求出x甲=a+b2，x乙=2aba+b，再计算x甲−x乙=a+b2−2aba+b=(a−b)22(a+b)≥0，即得x甲≥x乙；
【知识迁移】
先求出t1=2sv，t2=2svv2−p2，再计算t1﹣t2=−2sp2v(v2−p2)，可得t1＜t2．
【解答】解：【生活观察】
（1）第二次甲买水果费用为：4×5＝20（元），乙买水果质量为：30÷4＝7.5（千克），
故答案为：20；7.5；
（2）甲两次买水果的均价为：（30+20）÷（5+5）＝5（元/千克），
乙两次买水果的均价为：（30+30）÷（5+7.5）＝4.8（元/千克），
∴甲两次买菜的均价为5（元/千克），乙两次买菜的均价为4.8（元/千克）；
【数学思考】
x甲=ma+mb2m=a+b2，
x乙=2nna+nb=2aba+b，
∴x甲−x乙=a+b2−2aba+b=(a−b)22(a+b)≥0，
∴x甲≥x乙；
【知识迁移】
t1=2sv，
t2=sv+p+sv−p=2svv2−p2，
∴t1﹣t2=2sv−2svv2−p2=−2sp2v(v2−p2)，
∵0＜p＜v，
∴t1﹣t2＜0，
∴t1＜t2．
【点评】本题主要考查了均价＝总金额÷总质量的基本计算方法，以及分式加减运算和完全平方公式在计算中的应用，本题计算量较大．
24．（6分）简便计算：（−43）27×（−34）26．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】−43．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（−43）27×（−34）26
＝（−43）26×（−34）26×（−43）
＝[（−43）×（−34）]26×（−43）
＝126×（−43）
＝1×（−43）
=−43．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
25．（6分）计算：（﹣a3）2•（﹣a）3．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣a9．
【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法即可．
【解答】解：（﹣a3）2•（﹣a）3
＝a6•（﹣a3）
＝﹣a9．
【点评】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
26．（6分）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求（2y）x的值．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】16．
【分析】对所给的条件进行整理，再代入所求的式子进行运算即可．
【解答】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，
∴2x＝22y+2，33y＝3x﹣1，
∴x＝2y+2，3y＝x﹣1，
解得：x＝4，y＝1，
∴（2y）x
＝（2×1）4
＝24
＝16．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
27．（8分）红旅渠精神是中华民族”自力更生、艰苦创业”的民族奋斗精神．某校组织学生前往红旗渠开展实践活动，在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带队：若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次游学实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次游学实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）若每位老师各负责一辆车的组织工作，则有几种租车方案？总费用最少的方案是哪种？最少费用是多少元？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有8位，学生有247名；
（2）共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲型客车，5辆乙型客车；
方案2：租用4辆甲型客车，4辆乙型客车；
方案3：租用5辆甲型客车，3辆乙型客车；
学校租车总费用最少是2800元．
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x位，则参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）名，根据“若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生”，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出参加此次劳动实践活动的老师人数，再将其代入（30x+7）中，即可求出参加此次劳动实践活动的学生人数；
（2）设租用m辆甲型客车，则租用（8﹣m）辆乙型客车，根据租用的两种型号客车的载客量不少于（8+247）人且租车总费用不超过3000元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案；利用租车总费用＝每辆甲型客车的租金×租用甲型客车的数量+每辆乙型客车的租金×租用乙型客车的数量，可分别求出各方案所需租车总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x位，则参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）名，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得：x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247（名）．
答：参加此次劳动实践活动的老师有8位，学生有247名；
（2）设租用m辆甲型客车，则租用（8﹣m）辆乙型客车，
根据题意得35m+30(8−m)≥8+247400m+320(8−m)≤3000，
解得：3≤m≤5.5，
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲型客车，5辆乙型客车；
方案2：租用4辆甲型客车，4辆乙型客车；
方案3：租用5辆甲型客车，3辆乙型客车；
（3）方案1所需租车总费用为400×3+320×5＝2800（元）；
方案2所需租车总费用为400×4+320×4＝2880（元）；
方案3所需租车总费用为400×5+320×3＝2960（元）．
∵2800＜2880＜2960，
∴学校租车总费用最少是2800元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出各方案所需租车总费用．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
4．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
5．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
6．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
7．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
8．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
9．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
10．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
11．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
12．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
13．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
14．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
15．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
16．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
17．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
18．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
19．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
20．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
水果单价6元/千克
质量
金额
甲
5千克
30元
乙
5千克
30元
水果单价4元/千克
质量
金额
甲
5千克
元
乙
千克
30元
甲型客车
乙型客车
截客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
题号
12
13
14
15
答案
B
C
B
D
水果单价6元/千克
质量
金额
甲
5千克
30元
乙
5千克
30元
水果单价4元/千克
质量
金额
甲
5千克
20 元
乙
7.5 千克
30元
甲型客车
乙型客车
截客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320