2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考2

这是一份2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考2，共33页。
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2+3=5B．23×33=63
C．(3+7)2=10D．(6+15)÷3=2+5
3．（3分）在△ABC中，若AB＝5，BC＝12，则边AC的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．8
4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝118°，则∠4＝（ ）
A．48°B．62°C．68°D．72°
5．（3分）在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（ ）
A．分类思想B．方程思想
C．数形结合思想D．转化思想
6．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和5x﹣14，则x的值为 ．
8．（2分）比较大小10−3 0．（填“＜”、“＞”或“＝”）
9．（2分）在数轴上，点A、点B所对应的数分别是−23和53，那么A、B两点的距离为 ．
10．（2分）月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离近似为4.055×105千米，精确到 位．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，6），B（﹣3，﹣3）．将线段AB平移后点A的对应点是A′（10，10），则点B的对应点B′的坐标为 ．
12．（2分）如图，AB＝AC＝CD，∠A＝80°，则∠BCD的度数是 ．
13．（2分）若△ABC的三边长分别为10﹣a，7，6，当△ABC为等腰三角形时，则a的值为 ．
14．（2分）如图，AC∥BD，∠A＝83°，则∠ABD的度数为 °．
15．（2分）等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则其他两长分别为 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，如果△ABO是关于y轴对称的轴对称图形，点B的坐标为（3，2），那么△ABO的面积为 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ABE＝∠CBE＝22.5°，AD、BE是△ABC的高，AD与BE交于点H，下列结论：①BH＝2AE；②BD+DH＝AB；③∠AED＝120°；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF．其中正确的是 （填序号）．
18．（2分）在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段AB平移所得，已知A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（2，0），则下列4个结论中，正确的有 .（填序号）
①AD∥BC；②∠ADC＝∠ABC；③四边形ABCD的面积为10；④点D坐标为（﹣1，3）．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
19．（6分）计算：(5−2)2+2(10−8)．
20．（6分）计算：(2−6)2−3−125+4256．
21．（6分）如图，已知∠AOB，先用量角器画∠AOB的平分线OC，再在OC上任取一点P，过P点分别作OA，OB的垂线，垂足分别为D，E．补全图形，比较点P到OA，OB的距离大小（写出结论）．
四．解答题（共5小题，满分40分）
22．（10分）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 ．
（2）△A1B1C1的面积为 ．
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 ．
23．（6分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当α＝90°，AB＝AC＝16时，
①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD=102，求CF的长．
24．（6分）如图，点D、E分别是等边△ABC的两边AB、AC上的点，且AD＝CE，BQ⊥CD于点Q，PQ＝1，求BP的长．
25．（8分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，E是AD边的中点，连接BE并延长，与CD的延长线交于点F．
（1）若2CD＝3AB，请判断CD与CF之间的数量关系；
（2）连接CE，若CE⊥BF，求证：AB+CD＝BC．
26．（10分）如图，△ABC为等边三角形，AC＝AD，∠DAC＞60°，连接BD交AC于点E，分别延长DA，CB交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠DBC＝40°，直接写出∠BAF的度数为 ；
（3）用等式表示线段CF，AF，AE之间的数量关系，并证明．
2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）在实数3.14，0，4，π2，1.1010010…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，其中无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无限不循环小数为无理数即可作答．
【解答】解：4=2，是整数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
3.14是分数，属于有理数；
在实数3.14，0，4，π2，1.1010010…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有π2，1.1010016…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2+3=5B．23×33=63
C．(3+7)2=10D．(6+15)÷3=2+5
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据完全平方公式对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
【解答】解：A． 2与3不是同类二次根式，不可合并，所以A选项不符合题意；
B．原式＝6×3＝18，所以B选项不符合题意；
C．原式＝3+221+7＝10+221，所以C选项不符合题意；
D．原式=6÷3+15÷3=2+5，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3．（3分）在△ABC中，若AB＝5，BC＝12，则边AC的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到7＜AC＜17，即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：12﹣5＜AC＜12+5，
∴7＜AC＜17，
∴AC的长可能是8．
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝118°，则∠4＝（ ）
A．48°B．62°C．68°D．72°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5，
∵∠3＝118°，∠3+∠5＝180°，
∴∠5＝62°，
∴∠4＝62°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
5．（3分）在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（ ）
A．分类思想B．方程思想
C．数形结合思想D．转化思想
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“分类讨论思想”回答即可．
【解答】解：在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是“分类思想”，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
6．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用折叠可以得到∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED进而解题．
【解答】解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED
＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）
＝360°﹣2×150°
＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的内角和，图形的折叠，解题的关键是掌握折叠前后的两个图形是全等形．
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和5x﹣14，则x的值为 2 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根的性质即可求解．
【解答】解：∵正数有两个平方根，他们互为相反数，
∴3x﹣2+5x﹣14＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
8．（2分）比较大小10−3 ＞ 0．（填“＜”、“＞”或“＝”）
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】＞．
【分析】因为9＜10＜16，所以3＜10＜4，所以10−3＞0即可．
【解答】解：因为9＜10＜16，
所以3＜10＜4，
那么10−3＞0，
所以填“＞”；
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是实数比较大小内容，关键掌握判断3＜10＜4是解题的关键．
9．（2分）在数轴上，点A、点B所对应的数分别是−23和53，那么A、B两点的距离为 73 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】73．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：∵点A、点B所对应的数分别是−23和53，
∴A、B两点的距离为：53−（﹣23）＝73，
故答案为：73．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
10．（2分）月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离近似为4.055×105千米，精确到 百 位．
【考点】科学记数法与有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】百．
【分析】把科学记数法还原成原数，再看右边的数字5在哪一位，则精确到哪一位．
【解答】解：近似数4.055×105＝405500中，右边的数字5所在的位是百位，故该近似数精确到百位，
故答案为：百．
【点评】本题考查了科学记数法和精确度．一般的一个数四舍五入到哪位，就是精确到哪位．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，6），B（﹣3，﹣3）．将线段AB平移后点A的对应点是A′（10，10），则点B的对应点B′的坐标为 （7，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（7，1）．
【分析】根据点A平移前后的坐标，得到其平移方式，即可得到点B的对应点的坐标．
【解答】解：由条件可知：向右平移了10﹣0＝10个单位，向上平移了10﹣6＝4个单位，
∴B（﹣3，﹣3）的对应点B′坐标为（﹣3+10，﹣3+4），即（7，1），
故答案为：（7，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
12．（2分）如图，AB＝AC＝CD，∠A＝80°，则∠BCD的度数是 30° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】30°．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝80°，
∴∠ACB＝∠B=12×（180°﹣∠A）=12×100°＝50°，
∵AC＝CD，∠A＝80°，
∴∠ADC＝∠A＝80°，
∴∠ACD＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
故答案为：30°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（2分）若△ABC的三边长分别为10﹣a，7，6，当△ABC为等腰三角形时，则a的值为 3或4 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】3或4．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为6时，当等腰三角形的腰长为6，底边长为7时，然后进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7，底边长为6时，
∴10﹣a＝7时，
解得：a＝3；
当等腰三角形的腰长为6，底边长为7时，
∴10﹣a＝6时，
解得：a＝4；
综上所述：a的值为3或4，
故答案为：3或4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
14．（2分）如图，AC∥BD，∠A＝83°，则∠ABD的度数为 97 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】97．
【分析】利用平行线的性质及三角形的内角和定理求解．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠C＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠A＝97°．
故答案为：97．
【点评】本题考查了平行线的性质，结合三角形的内角和定理是解题的关键．
15．（2分）等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则其他两长分别为 6cm或7cm ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】6cm或7cm．
【分析】当腰长为6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8（cm），当底边为6cm时，腰长=20−62=7（cm），根据三角形的三边关系，即可推出腰长．
【解答】解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长为6cm时，底边为：20﹣6﹣6＝8（cm），
∴当底边为6cm时，腰长为：20−62=7（cm），
故答案为：6cm或7cm．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，如果△ABO是关于y轴对称的轴对称图形，点B的坐标为（3，2），那么△ABO的面积为 6 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；三角形的面积；轴对称图形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据轴对称的性质可得△ABO的底边AB为6，高为2，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：由题意可知，AB＝3×2＝6，△ABO的底边上的高为2，
故△ABO的面积为：12×6×2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征；熟练掌握关于y轴对称的两点的坐标特征是解题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ABE＝∠CBE＝22.5°，AD、BE是△ABC的高，AD与BE交于点H，下列结论：①BH＝2AE；②BD+DH＝AB；③∠AED＝120°；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF．其中正确的是 ①②④ （填序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】先证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，证明△BDH≌△ADC（ASA），得出DH＝CD，BH＝AC，得出BD+DH＝AB，②正确；由AC＝2AE，得2AE＝BH，①正确；由∠ADE＝∠DAC＝22.5°得∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAC＝135°，故③错误；作DK⊥AC于K，则DF＝EK，证明△DFH≌△DKC（AAS），得出FH＝KC，DF＝DK，由AE＝CE，即可得出AE﹣FH＝DF，④正确．
【解答】解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠CBE+∠C＝∠HAC+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠HAC，
∵∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDH＝∠ADC＝90°，
在△BDH和△ADC中，
∠CBE=∠HACBD=AD∠BDH=∠ADC，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH＝AC，DH＝CD，∠DAC＝∠EBC＝22.5°，
∵∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB＝BC，
∵BE是△ABC的高，
∴BD+DH＝AB，BH＝AC＝2AE，
故①②正确，符合题意；
∵AE=EC=12AC，∠ADC＝90°，
∴AE＝EC＝ED，
∴∠ADE＝∠DAC＝22.5°，
∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAC＝180°﹣2×22.5°＝135°，
故③错误，不符合题意；
作DK⊥AC于K，如图所示：
则四边形DFEK是矩形，
∴∠FDK＝∠HFD＝∠DKC＝90°，DF＝EK，
∴∠CDK+∠ADK＝∠ADK+∠ADF，
∴∠CDK＝∠HDF
在△DFH和△DKC中，
∠DFH=∠DKC∠FDH=∠CDKDH=DC，
∴△DFH≌△DKC（AAS），
∴FH＝KC，
∵AE＝CE，
∵EC﹣KC＝EK，DF＝EK，
∴AE﹣FH＝DF，
∴AE﹣FH＝DF，
故④正确，符合题意．
综上所述：正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质和判定识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
18．（2分）在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段AB平移所得，已知A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（2，0），则下列4个结论中，正确的有 ①②③ .（填序号）
①AD∥BC；②∠ADC＝∠ABC；③四边形ABCD的面积为10；④点D坐标为（﹣1，3）．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；平行线的判定与性质；三角形的面积．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】①②③．
【分析】根据平移的性质对四个结论依次进行判断即可．
【解答】解：∵线段CD是由线段AB平移所得，
∴AD∥BC．
故①正确．
∵线段CD是由线段AB平移所得，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC．
故②正确．
∵A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（2，0），且线段CD是由线段AB平移所得，
∴S△ABC=12×5×2=5，且点D的坐标为（﹣1，2），
∴S△ACD=12×5×2=5，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝10．
故③正确．
∵B（0，﹣2），C（2，0），且点C是点B平移之后的对应点，
∴线段CD是由线段AB向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为（﹣3，0），
∴点D的坐标为（﹣1，2）．
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
19．（6分）计算：(5−2)2+2(10−8)．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】5﹣25．
【分析】先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝5﹣45+4+2×10−2×8
＝5﹣45+4+25−4
＝5﹣25．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和完全平方公式是解决问题的关键．
20．（6分）计算：(2−6)2−3−125+4256．
【考点】分数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】6+7．
【分析】根据分数指数幂法则和实数的运算法则进行解题即可．
【解答】解：原式=6−2﹣（﹣5）+4
=6+7．
【点评】本题考查分数指数幂和实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21．（6分）如图，已知∠AOB，先用量角器画∠AOB的平分线OC，再在OC上任取一点P，过P点分别作OA，OB的垂线，垂足分别为D，E．补全图形，比较点P到OA，OB的距离大小（写出结论）．
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】点P到OA，OB的距离相等，证明见解析．
【分析】首先作出图形，然后证明出△OPD≌△OPE（AAS），得到PD＝PE，进而得到点P到OA，OB的距离相等．
【解答】解：补全图形，如图即所为求；
∵PD⊥AO，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在△OPD和△OPE中，
∠DOP=∠EOP∠PDO=∠PEOOP=OP，
∴△OPD≌△OPE（AAS），
∴PD＝PE，
∴点P到OA，OB的距离相等．
【点评】此题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
四．解答题（共5小题，满分40分）
22．（10分）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 （2，2） ．
（2）△A1B1C1的面积为 2.5 ．
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 （0，﹣1） ．
【考点】中心对称；关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；三角形的面积．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（1）（2，2）．
（2）2.5．
（3）（0，﹣1）．
【分析】（1）根据关于原点成中心对称的点的特征求救；
（2）利用割补法求三角形的面积；
（3）利用作图观察求解．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），
∴B1（2，2）．
故答案为：（2，2）．
（2）△A1B1C1的面积为：12×5×5=2.5
故答案为：2.5．
（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查了函数图象与坐标的关系，结合三角形的面积，中心对称来求解是解题的关键．
23．（6分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当α＝90°，AB＝AC＝16时，
①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD=102，求CF的长．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）∠BAE＝55°；
（2）①CF=1655；②CF=825或5652．
【分析】（1）由平行线的性质求解∠BED＝70°，再利用三角形的外角的性质可得答案；
（2）①证明△BEF≌△AFC，可得FC=EF=AE=12AF，再利用勾股定理求解即可；
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，利用勾股定理DM=AD2−AM2=62，可得BD=82+62=142，与等面积法可得BE=5652，可得DE=BD2−BE2=4252，AE=AD−DE=102−4252=852，证明△BAE≌△ACF，从而可得答案；当D在M的左边时，如图，同理可得答案．
【解答】解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝70°，
∴∠BED＝70°，
∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°，
∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°；
（2）①∵BF＝BA，AB＝AC，
∴BF＝AC，
∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝90°，
∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FBE，
∴△BEF≌△AFC（AAS），
∴EF＝FC，
∴FC=EF=AE=12AF，
∵AB＝AC＝16，
∴CF2+（2CF）2＝256，
解得：CF=1655（负根舍去）；
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝16，
∴BC=162+162=162，AM=MC=BM=82，
∵AD=102，
∴DM=AD2−AM2=62，
∴BD=82+62=142，
∴BE=12BD⋅AM12AD=5652，
∴DE=BD2−BE2=4252，
∴AE=AD−DE=102−4252=852，
由（1）得：∠ABE＝∠CAF，
而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF（AAS），
∴CF=AE=825，
当D在M的左边时，如图，
同理可得：AM=82，DM=62，CD=142，
∴CF=12CD⋅AM12AD=5652；
综上：CF=825或CF=5652．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键．
24．（6分）如图，点D、E分别是等边△ABC的两边AB、AC上的点，且AD＝CE，BQ⊥CD于点Q，PQ＝1，求BP的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】BP的长是2．
【分析】由等边三角形的性质得AC＝CB，∠A＝∠ECB＝60°，而AD＝CE，即可根据“SAS”证明△ACD≌△CBE，得∠ACD＝∠CBE，推导出∠BPQ＝∠ACB＝60°，由BQ⊥CD于点Q，得∠PQB＝90°，则∠PBQ＝30°，所以BP＝2PQ＝2．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，
∴AC＝CB，∠A＝∠ECB＝60°，
在△ACD和△CBE中，
AC=CB∠A=∠ECBAD=CE，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD＝∠CBE，
∴∠BPQ＝∠CBE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，
∵BQ⊥CD于点Q，PQ＝1，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2，
∴BP的长是2．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明△ACD≌△CBE是解题的关键．
25．（8分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，E是AD边的中点，连接BE并延长，与CD的延长线交于点F．
（1）若2CD＝3AB，请判断CD与CF之间的数量关系；
（2）连接CE，若CE⊥BF，求证：AB+CD＝BC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）CF=53CD；
（2）证明见解析．
【分析】（1）证明△ABE≌△DFE（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝DF，则可得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）解：CF=53CD．
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，
∵E是AD边的中点，
∴AE＝ED，
在△ABE和△DFE中，
∠BEA=∠FED∠ABE=∠FAE=DE，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB＝DF，
又∵2CD＝3AB，
∴CF＝CD+DF＝CD+AB＝CD+23CD=53CD．
（2）证明：∵△ABE≌△DFE，
∴BE＝EF，
又∵CE⊥BF，
∴BC＝CF＝CD+DF＝CD+AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明△ABE≌△DFE是解题的关键．
26．（10分）如图，△ABC为等边三角形，AC＝AD，∠DAC＞60°，连接BD交AC于点E，分别延长DA，CB交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠DBC＝40°，直接写出∠BAF的度数为 40° ；
（3）用等式表示线段CF，AF，AE之间的数量关系，并证明．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）图形见解析；
（2）40°；
（3）CF＝AF+AE．证明见解析．
【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）由等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，AB＝AC，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出答案；
（3）在BC上取点M，使CM＝AE，连接AM，证明△ABE≌△CAM（ASA），由全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CAM，证出AF＝FM，则可得出结论．
【解答】解：（1）依题意补全图形如下：
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝AC，
∵AC＝AD，
∴AB＝AD，
∴∠ABE＝∠ADE，
∵∠DBC＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADE＝20°，
∴∠BAF＝∠ABE+∠ADE＝40°；
故答案为：40°；
（3）CF＝AF+AE．
方法一：证明：在BC上取点M，使CM＝AE，连接AM，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
在△ABE和△CAM中，
AB=AC∠BAE=∠ACMAE=CM，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴∠ABE＝∠CAM，
∵AC＝AD，
∴AB＝AD，
∴∠ABE＝∠ADB，
∴∠FAB＝∠ABD+ADB＝2∠ABD，
∴∠FAM＝∠FAB+∠BAC﹣∠CAM＝2∠ABE+60°﹣∠ABE＝∠ABE+60°，
∵∠AMB＝∠CAM+∠ACB＝∠ABE+60°，
∴∠FAM＝∠AMB，
∴AF＝FM，
∵CF＝AF+CM，
∴CF＝AF+AE．
方法二：在AD上截取AH＝AE，证明△ACH≌△ADE，可得出结论．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
考点卡片
1．科学记数法与有效数字
（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；
（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“−a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
8．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
10．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
11．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
12．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
13．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
14．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
15．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
18．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
19．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．
20．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
21．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
22．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
23．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
24．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
25．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
26．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
D
D
B
A
D