2025-2026学年上学期北京初中数学七年级开学模拟考2

这是一份2025-2026学年上学期北京初中数学七年级开学模拟考2，共30页。试卷主要包含了3＝　 　 ，☆2的值为 　 　 等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）大于﹣2022且小于π的整数有 个．
2．（3分）计算：（﹣52）×|−625|﹣42÷（﹣2）3＝ ．
3．（3分）在口袋里装有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个黄球，2个白球，从中随机摸出一个球，摸到 球的可能性较小．
4．（3分）一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米．
5．（3分）能被7整除，求□代表的一位数是 ．
6．（3分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a，如：1☆3＝1×32+1＝10，则（﹣3）☆2的值为 ．
7．（3分）对于两个不相等的有理数a，b，我们常用min{a，b}表示这两个数中较小的数．例如：min{﹣1，2}＝﹣1，如果min{﹣3，x}＝2x+1，那么x＝ ．
8．（3分）如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长．
9．（3分）已知非负实数a，b，c满足a−12=b−34=5−c6，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则nm的值为 ．
10．（3分）在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 个．
二．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在一次区级数学竞赛中，某校8名参赛学生的数学成绩与全区参赛学生数学平均分80分的差分别是5，﹣2，8，14，7，4，9，﹣6，则该校数学竞赛的平均成绩约是（ ）
A．80分B．84分C．85分D．88分
12．（3分）下面是同一个立方体从三个不同角度拍到的三张照片，这个立方体的展开图是（ ）
A．B．
C．D．
13．（3分）由甲型流感病毒引起的一种呼吸道传染病，简称“甲流”．一段时间内，某市“甲流”流行，市疾控中心对三名有咳嗽症状的市民甲、乙、丙进行调查，与三位市民有如下对话：
甲说：“我检测确认为‘甲流’了，需要休息．”
乙说：“我检测确认不是‘甲流’，请让我回去工作．”
丙说：“甲没有得‘甲流’，不要被他骗了．”
若这三人中只有一人说的是真话且只有一人得“甲流”，请你判断谁是真正得“甲流”的人（ ）
A．乙B．丙C．甲D．无法判断
14．（3分）将正方形（如图所示①）做如下操作：第1次，分别连接各对边中点得图②，得到5个正方形；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割得图③，得到9个正方形，…，依次类推，根据以上操作，若要得到2021个正方形，则需要操作的次数是（ ）
A．502B．503C．504D．505
15．（3分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）种．
A．5B．6C．7D．8
16．（3分）在如图△ABC中，AD=12AB，BE=13BC，CF=14AC，如果△DEF 的面积是1，那么△ABC的面积是（ ）
A．724B．3C．247D．4
三．解答题（共7小题）
17．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x为最大负整数，求x2+a+b2020x+cdx2021值．
18．计算：﹣2×5+（﹣2）3÷4．
19．（﹣3）2×4﹣（﹣6）×12+5．
20．计算：(−54)−6−(−5.25)+(−3)．
21．一家三人（父亲、母亲、女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：“父母买全票价，女儿按半价优惠”，乙方旅行社告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全票价的45收费”，如果这两家旅行社每人的全票价都为600元，那么哪家旅行社的费用更优惠？
22．解方程．
①10−23x＝3.6；
②x：10=14：13．
23．解方程：12[x−14（x−23）−32]＝x+34．
四．解答题（共5小题）
24．公园里，一个有小路围绕着一周的圆形水池（如图所示，单位：米），请你根据示意图的数据计算出小路的占地面积．
25．2024年巴黎奥运会上，我国获得金、银、铜牌总共91枚．已知获得的银牌数是铜牌数的98，获得的金牌数是铜牌数的53，求在这届奥运会上我国获得的金牌数是多少枚？
26．盒子里放有3只球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球放回盒子里，第二次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里…第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里，这时盒子里共有多少只球．
27．如图，四边形ABCD是正方形，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连结MN，请写出MN，DM，BN之间的等量关系，并写出证明过程．
28．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是 ；
（2）应用：根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
已知m+n＝9，mn＝8，则m﹣n＝ ；
（3）拓展延伸：将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形（如图③）不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图④），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为8，且图③中小长方形的面积为24，求AD的长．
2025-2026学年上学期北京初中数学七年级开学模拟考2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）大于﹣2022且小于π的整数有 2025 个．
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；数感．
【答案】2025．
【分析】求出﹣2022和π之间的整数即可．
【解答】解：大于﹣2022且小于π的整数有2021+1+3＝2025个，
故答案为：2025．
【点评】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（3分）计算：（﹣52）×|−625|﹣42÷（﹣2）3＝ ﹣4 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
【解答】解：（﹣52）×|−625|﹣42÷（﹣2）3
＝﹣25×625−16÷（﹣8）
＝﹣6+2
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
3．（3分）在口袋里装有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个黄球，2个白球，从中随机摸出一个球，摸到 白 球的可能性较小．
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】白．
【分析】根据概率公式求出摸到黄球和白球的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵口袋里装有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个黄球，2个白球，
∴摸到黄球的概率是35，摸到白球的概率是25，
∵35＞25，
∴摸到白球的可能性较小．
故答案为：白．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是 190 平方厘米．
【考点】几何体的表面积；认识立体图形．
【专题】几何图形；空间观念；几何直观；运算能力．
【答案】190．
【分析】由于在正方体上面正中向下挖一个棱长为3厘米的正方体小洞，上面棱长3厘米的正方体只计算它的4个侧面，同理最下面的小正方体也只计算它的4个侧面即可，正方体的表面积＝棱长4厘米的正方体的表面积加上棱长3厘米的正方体的4个侧面，再加上棱长1厘米的正方体的4个面的面积即可．
【解答】解：立体图形的表面积＝6×52+4×32+4×12＝190（平方厘米）．
故答案为：190．
【点评】本题考查几何体的表面积，认识立体图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（3分）能被7整除，求□代表的一位数是 6 ．
【考点】数的整除．
【专题】实数；数感；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】设□代表的数字为A，其中0≤A≤9，且A为整数，依题意得已知的数是一个41位整数，于是可将已知的数改写为55⋯5︸18个500⋯0︸23个0+55A9900⋯0︸18个0+99⋯9︸18个9，其中55A99表示一个五位数，然后判定555555和999999都能7整除，从而得55⋯5︸18个500⋯0︸23个0和99⋯⋯9︸18个9都能被7整除，由此可得五位数55A99能被7整除，然后根据能被7整数数的特征得100A+99﹣55＝100A+44能被7整除，即100A+447=14A+6+2A+27为整数，再由0≤A≤9得2≤2A+2≤20，据此得2A+2＝7或2A+2＝14，由此求出A即可得出答案．
【解答】解：设□代表的数字为A，其中0≤A≤9，且A为整数，
∵20+1+20＝41，
∴已知的数是一个41为整数，
∴已知的数可写为：55⋯5︸18个500⋯0︸23个0+55A9900⋯0︸18个0+99⋯9︸18个9，其中55A99表示一个五位数，
∵111111＝3×7×11×13×37，
∴111111能被7整除，
又∵555555＝5×111111，999999＝9×111111，
∴555555和999999都能7整除，
∴55⋯5︸18个5和99⋯⋯9︸18个9都能被7整除，
∴55⋯5︸18个500⋯0︸23个0能被7整除，
∴只有当五位数55A99能被7整除时，已知的数就能7整除，
∴三位数A99与两位数55的差能被7整除，
即100A+99﹣55＝100A+44能被7整除，
∴100A+447=14A+6+2A+27为整数，
∴2A+27为整数，
∵0≤A≤9，
∴2≤2A+2≤20，
∴2A+2＝7或2A+2＝14，
由2A+2＝7，解得：A＝2.5，不合题意，舍去；
由2A+2＝14，解得：A＝6，
∴□代表的一位数是6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了数的整数，熟练掌握能被7整数数的特征是解决问题的关键．
6．（3分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a，如：1☆3＝1×32+1＝10，则（﹣3）☆2的值为 ﹣15 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；运算能力．
【答案】﹣15．
【分析】根据题意列出算式，再根据有理数的混合运算顺序计算即可．
【解答】解：由题意得：
（﹣3）☆2
＝（﹣3）×22+（﹣3）
＝（﹣3）×4+（﹣3）
＝﹣12+（﹣3）
＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
7．（3分）对于两个不相等的有理数a，b，我们常用min{a，b}表示这两个数中较小的数．例如：min{﹣1，2}＝﹣1，如果min{﹣3，x}＝2x+1，那么x＝ ﹣2 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力；创新意识．
【答案】﹣2．
【分析】根据题意，分两种情况进行分析：①当x大于或等于﹣3时；②当x小于﹣3时．由min{﹣3，x}＝2x+1，结合min{a，b}表示这两个数中较小的数，可得出一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法求解即可．
【解答】解：①当x大于或等于﹣3时，
∵min{﹣3，x}＝2x+1，
∴由题意，得2x+1＝﹣3，
移项、合并同类项，得2x＝﹣4，
将系数化为1，得x＝﹣2；
②当x小于﹣3时，
∵min{﹣3，x}＝2x+1，
∴由题意，得2x+1＝x，
移项、合并同类项，得x＝﹣1（不符合题意，舍去），
综上所述，x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，新定义，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
8．（3分）如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长．
【考点】三角形的面积．
【专题】面积法；三角形；运算能力．
【答案】154．
【分析】根据S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE，将AC＝5，BC＝12，BE＝9代入计算即可求解．
【解答】解：∵AD，BE分别是△ABC的高，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE，
∴BC•AD＝AC•BE，
∵AC＝5，BC＝12，BE＝9，
∴12AD＝5×9，
∴AD=154．
【点评】本题主要考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题关键．
9．（3分）已知非负实数a，b，c满足a−12=b−34=5−c6，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则nm的值为 2339 ．
【考点】三元一次不定方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2339．
【分析】用a表示出b和c，根据a，b，c非负，可以求出a的取值范围，从而可以求出m和n，作比即可．
【解答】解：∵a−12=b−34=5−c6，
∴a﹣1=b−32=5−c3，
∴b＝2a+1，c＝8﹣3a，
∵a≥0，b≥0，c≥0，
∴0≤a≤83，
∴S＝a+2b+3c＝a+2（2a+1）+3（8﹣3a）＝26﹣4a，
∴463≤S≤26，
当S=463时，a=83，b=193，c＝0，符合题意；
当S＝26时，a＝0，b＝1，c＝8，符合题意；
∴m＝26，n=463，
∴nm=2339．
故答案为：2339．
【点评】本题主要考查了多元一次不定方程的求解，正确的求出a的取值范围是本题解题的关键．
10．（3分）在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 18 个．
【考点】数的整除．
【专题】实数；运算能力．
【答案】18．
【分析】利用能被11整除的数的性质：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除，分两种情况列举解答即可．
【解答】解：∵数字能被11整除，并且数字和为13，
∴满足条件的数字由两种情况：
①奇位上的数字之和＝12，偶位上的数字之和＝1，有1309，1903，1408，1804，1507，1705，1606，319，913，418，814，517，715，616，共14种可能；
②奇位上的数字之和＝1，偶位上的数字之和＝12，有3190，3091，4180，4081，共4种可能，
综上，在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有14+4＝18个．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了数字的整除，熟练掌握能被11整除的数的性质是解题的关键．
二．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在一次区级数学竞赛中，某校8名参赛学生的数学成绩与全区参赛学生数学平均分80分的差分别是5，﹣2，8，14，7，4，9，﹣6，则该校数学竞赛的平均成绩约是（ ）
A．80分B．84分C．85分D．88分
【考点】算术平均数；有理数的减法．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据算术平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：该校数学竞赛的平均成绩约为80+5−2+8+14+7+4+9−68=84.875≈85（分），
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
12．（3分）下面是同一个立方体从三个不同角度拍到的三张照片，这个立方体的展开图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】几何体的展开图．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】B
【分析】运用排除法解答即可．
【解答】解：根据第一个正方体中，2和3相邻，可以排除选项C，因为它的2和3相对；
同理，根据第三个正方体中，5和6相邻，可以排除选项A，因为它的5和6相对；
根据第二个正方体中，2和4相邻，可以排除选项D，因为它的2和4相对；
综上所述，只有B符合要求．
故选：B．
【点评】本题考查正方体的展开图，解决此题的关键是找准正方体展开图中的相对面．
13．（3分）由甲型流感病毒引起的一种呼吸道传染病，简称“甲流”．一段时间内，某市“甲流”流行，市疾控中心对三名有咳嗽症状的市民甲、乙、丙进行调查，与三位市民有如下对话：
甲说：“我检测确认为‘甲流’了，需要休息．”
乙说：“我检测确认不是‘甲流’，请让我回去工作．”
丙说：“甲没有得‘甲流’，不要被他骗了．”
若这三人中只有一人说的是真话且只有一人得“甲流”，请你判断谁是真正得“甲流”的人（ ）
A．乙B．丙C．甲D．无法判断
【考点】推理与论证．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】A
【分析】分别假设甲、乙、丙说的是真话，结合题意推论，得出结论．
【解答】解：假设甲说的是真话，则甲得‘甲流’了，所以乙说的是真话，不合题意，
假设乙说的是真话，甲说的是假话，则丙乙说的是真话，不合题意，
假设丙说的是真话，则甲、乙说的是假话，符合题意，
所以真正得“甲流”的人是乙．
故选：A．
【点评】本题考查的是推理与论证，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
14．（3分）将正方形（如图所示①）做如下操作：第1次，分别连接各对边中点得图②，得到5个正方形；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割得图③，得到9个正方形，…，依次类推，根据以上操作，若要得到2021个正方形，则需要操作的次数是（ ）
A．502B．503C．504D．505
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；数与式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据图示，第一次得到5个正方形，第2次得到5+4＝9个正方形，第3次得到5+4+4＝13个正方形，……，第n次得到5+4（n﹣1）＝（4n+1）个正方形，据此解答．
【解答】解：第一次得到5个正方形，
第2次得到5+4＝9个正方形，
第3次得到5+4+4＝13个正方形，
……
第n次得到5+4（n﹣1）＝（4n+1）个正方形，
4n+1＝2021，
4n＝2020，
n＝505．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
15．（3分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）种．
A．5B．6C．7D．8
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设10cm和20cm两种长度的导线分别为x，y根，根据题意，得出y=15−x2，进而根据x，y为正整数，即可求解．
【解答】解：设10cm和20cm两种长度的导线分别为x，y根，
根据题意得，10x+20y＝150，
即y=15−x2
∵x，y为正整数，
∴x＝1，3，5，7，9，11，13，
则y＝7，6，5，4，3，2，1，
故有7种方案，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
16．（3分）在如图△ABC中，AD=12AB，BE=13BC，CF=14AC，如果△DEF 的面积是1，那么△ABC的面积是（ ）
A．724B．3C．247D．4
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】连接AE，CD，由三角形面积公式得到S△ADF=38S△ABC，S△BDE=16S△ABC，S△CEF=16S△ABC，推出S△DEF=724S△ABC＝1，于是△DEF 的面积是247．
【解答】解：连接AE，CD，
∵AD=12AB，
∴S△ACD=12S△ABC，
∵CF=14AC，
∴S△ADF=34S△ACD=38S△ABC，
∵BE=13BC，
∴S△ABE=13S△ABC，S△ACE=23S△ABC，
∵AD=12AB，CF=14AC，
∴S△BDE=12S△ABE，S△CEF=14S△ACE，
∴S△BDE=16S△ABC，S△CEF=16S△ABC，
∵1−38−16−16=724，
∴S△DEF=724S△ABC＝1，
∴△DEF的面积是247．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积，关键是由三角形面积公式推出S△DEF=724S△ABC．
三．解答题（共7小题）
17．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x为最大负整数，求x2+a+b2020x+cdx2021值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】根据相反数、倒数、最大负整数的性质可得a+b＝0，cd＝1，x＝﹣1，代入x2+a+b2020x+cdx2021即可解决问题．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，
∴a+b＝0，cd＝1，x＝﹣1，
∴x2+a+b2020x+cdx2021=(−1)2+02020×(−1)+1×(−1)2021=1+0﹣1＝0．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，相反数以及倒数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．计算：﹣2×5+（﹣2）3÷4．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣12．
【分析】先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可．
【解答】解：﹣2×5+（﹣2）3÷4
＝﹣2×5+（﹣8）÷4
＝﹣10+（﹣2）
＝﹣12．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（﹣3）2×4﹣（﹣6）×12+5．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】44．
【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
【解答】解：（﹣3）2×4﹣（﹣6）×12+5
＝9×4+3+5
＝36+3+5
＝44．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
20．计算：(−54)−6−(−5.25)+(−3)．
【考点】有理数的加减混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】直接根据有理数的加减计算法则求解即可．
【解答】解：原式＝﹣1.25﹣6+5.25﹣3
＝（5.25﹣1.25）﹣（6+3）
＝4﹣9
＝﹣5．
【点评】本题主要考查了有理数的加减计算，熟练掌握运算法则是关键．
21．一家三人（父亲、母亲、女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：“父母买全票价，女儿按半价优惠”，乙方旅行社告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全票价的45收费”，如果这两家旅行社每人的全票价都为600元，那么哪家旅行社的费用更优惠？
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】乙旅行社的费用更优惠．
【分析】按照旅行社的计算费用要求代入数据进行计算，进一步比较即可得出答案．
【解答】解：甲旅行社的费用：600×2+600×12=1200+300＝1500（元），
乙旅行社的费用：600×45×3＝480×3＝1440（元），
∵1440＜1500，
∴乙旅行社的费用更优惠．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，掌握两种计算方法是解决问题的关键．
22．解方程．
①10−23x＝3.6；
②x：10=14：13．
【考点】解一元一次方程；比例的基本性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】①x＝9.6；
②x=152．
【分析】（1）根据解一元一次方程的方法求解即可；
（2）先根据比例的基本性质，得出13x=10×14，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可．
【解答】解：（1）10−23x=3.6，
移项，得23x=10−3.6，
合并同类项，得23x=6.4，
系数化为1，得x＝9.6；
（2）由比例的基本性质可得：13x=10×14，
13x=52，
解得：x=152．
【点评】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，熟练掌握解一元一次方程的方法，比例的基本性质是解题的关键．
23．解方程：12[x−14（x−23）−32]＝x+34．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x=−3415．
【分析】根据等式的基本性质求解即可．
【解答】解：12[x−14（x−23）−32]＝x+34，
x−14（x−23）−32=2x+32，
−14（x−23）＝2x﹣x+32+32，
−14（x−23）＝x+3，
x−23=−4x﹣12，
x+4x=23−12，
5x=−343，
x=−3415．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握等式的基本性质是解答本题的关键．
四．解答题（共5小题）
24．公园里，一个有小路围绕着一周的圆形水池（如图所示，单位：米），请你根据示意图的数据计算出小路的占地面积．
【考点】圆的面积．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】小路的面积是75.36平方米．
【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答即可．
【解答】解：14÷2＝7（米），3.14×（72﹣52）＝3.14×（49﹣25）＝3.14×24＝75.36（平方米），
答：小路的面积是75.36平方米．
【点评】本题主要考查环形面积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式．
25．2024年巴黎奥运会上，我国获得金、银、铜牌总共91枚．已知获得的银牌数是铜牌数的98，获得的金牌数是铜牌数的53，求在这届奥运会上我国获得的金牌数是多少枚？
【考点】分数的混合运算．
【专题】其他问题；应用意识．
【答案】在这届奥运会上我国获得的金牌数是40枚．
【分析】根据题意，将铜牌数看作单位“1”，再用百分数除法求出铜牌的数量，最后用百分数乘法求出金牌的数量．
【解答】解：91÷(1+98+53)
＝91÷9124
＝24（枚），
24×53=40（枚），
答：在这届奥运会上我国获得的金牌数是40枚．
【点评】本题考查了分数的混合运算，解题的关键是找到题中的单位“1”．
26．盒子里放有3只球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球放回盒子里，第二次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里…第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里，这时盒子里共有多少只球．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【专题】规律型；实数；运算能力；推理能力．
【答案】113只
【分析】根据题意，一只球变成3只球，实际上多了2只球．第一次多了2只球，第二次多了2×2只球，…，第十次多了2×10只球．因此拿了十次后，多了：2×1+2×2+…+2×10＝2×（1+2+…+10）＝2×55＝110（只），再加上原有的3个球，从而可求解．
【解答】解：第1次操作后，盒子中球的数量为：3+2，
第2次操作后，盒子中球的数量为：3+2+2×2，
第3次操作后，盒子中球的数量为：3+2+2×2+2×3，
…，
第10次操作后，盒子中球的数量为：3+2+2×2+2×3+…+2×10＝3+2×（1+2+…+10）＝3+2×55＝113（只）．
答：这时盒子里共有113只球．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是明确其中存在的规律．
27．如图，四边形ABCD是正方形，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连结MN，请写出MN，DM，BN之间的等量关系，并写出证明过程．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】BN＝DM+MN，理由见解析过程．
【分析】在BC上取BE＝MD连接AE，首先由△ABE≌△ADM，得AE＝AM，∠BAE＝∠MAD，再利用SAS证明△EAN≌△MAN，得EN＝MN，即可得到答案．
【解答】解：BN＝DM+MN，理由如下：
在BC上取BE＝MD，连接AE，
在△ABE与△ADM中，
AB=AD∠ABE=∠ADMBE=DM，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠MAD，
∴∠MAE＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝45°＝∠MAN，
在△EAN与△MAN中，
AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴EN＝MN，
∵BN＝BE+EN，
∴BN＝DM+MN．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
（2）应用：根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
已知m+n＝9，mn＝8，则m﹣n＝ ±7 ；
（3）拓展延伸：将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形（如图③）不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图④），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为8，且图③中小长方形的面积为24，求AD的长．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】数形结合；整式；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）±7；（3）14．
【分析】（1）利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，结合正方形与长方形的面积公式解答即可；
（2）利用（1）中的关系式将已知条件代入运算，再利用平方根的意义解答即可；
（3）设AD＝m，AB＝n，利用m，n，a，b的代数式表示出两个阴影部分的周长，再利用已知条件得到故a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，则AD＝a+2b．
【解答】解：（1）由题意得：中间阴影部分为边长为（a﹣b）的正方形，
∴阴影部分面积为：（a﹣b）2，
∵阴影部分面积＝大正方形的面积﹣4×小长方形的面积＝（a+b）2﹣4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（1）知：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
∵m+n＝9，mn＝8，
∴（m﹣n）2＝92﹣4×8＝81﹣32＝49，
∴m﹣n＝±7，
故答案为：±7；
（3）设AD＝m，AB＝n，则左下角阴影部分的周长为（n﹣2b+a）×2，右上角的阴影部分的周长为（n﹣a+2b）×2，
∵左下角与右上角的阴影部分的周长之差为8，
∴（n﹣2b+a）×2﹣（n﹣a+2b）×2＝8，
∴a﹣2b＝2，
∵图③中小长方形的面积为24，
∴ab＝24，
由（1）知：（a﹣2b）2＝（a+2b）2﹣8ab，
∴（a+2b）2＝（a﹣b）2+8ab＝22+8×24＝196，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝14，
∴AD＝a+2b＝14．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，整体代入的思想方法，正方形，长方形的面积，利用数形结合的方法解答是解题的关键．
考点卡片
1．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
2．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
3．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
4．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
6．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
8．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
9．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
10．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
11．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ(r2+ℎ2)360（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
12．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
13．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
14．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
15．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
16．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
17．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
18．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
19．三元一次不定方程
三元一次不定方程指的是形如ax+by+cz＝d的方程，其中a、b、c、d为已知整数，而x、y、z为未知整数．解决这个方程就是要找到x、y、z的整数解．解决这个方程就要找到x、y、z的整数解．
20．数的整除
若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．
21．分数的混合运算
分数的混合运算可以分为这样2种：一种是同级运算，只包括加减或者是只有乘除的混合运算，像这样的混合运算，自然是从左往右算；一种是异级运算，加减乘除同时存在，甚至是包括小括号的，而像这样的运算自然是先算高级，再算低级，也就是没有括号的时候，先算乘除，后算加减，如果有括号先算括号．而混合运算，其实是建立在四则运算的每一个单项里，也就是分数加、减、乘、除分别怎么算．
22．比例的基本性质
比例的性质是指组成比例的四个数，合分比性质、等比性质以及它们的推广．这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中．其中尤其以等比性质的应用最为广泛．
23．圆的面积
圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示．圆是一种规则的平面几何图形，其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒的求解方法，卡瓦利里的求解方法等．圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π．
题号
11
12
13
14
15
16
答案
C
B
A
D
C
C