2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考3

这是一份2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考3，共37页。
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．23B．16C．13D．14
3．（3分）一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，则该等腰三角形的一腰长为（ ）
A．5cmB．3cm或4cmC．5cm或3cmD．4cm
4．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角都是60°的三角形是等边三角形
5．（3分）若ab＜0，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上
6．（3分）如图，已知BD平分∠ABC，则不一定能使△ABD≌△CBD的条件是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠ADB＝∠CDBC．AB＝CBD．AD＝CD
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）已知a+1＝20232+20242，计算：2a+1= ．
8．（2分）把1463表示成幂的形式是 ．
9．（2分）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=4+a−2+2−a，则该三角形的周长为 ．
10．（2分）今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，将16750000这个数保留三个有效数字并用科学记数法表示是 ．
11．（2分）将点P（3，﹣2）向上平移2个单位得到点P1，则点P1的坐标是 ．
12．（2分）平面直角坐标系中，已知MN∥x轴，M点的坐标为（﹣1，3），并且MN＝5，则N点的坐标为 ．
13．（2分）已知△ABC中∠A＝20°，AB＝AC．取AC中点D作等腰三角形DCC1，（如图所示），取DC1的中点D1作等腰三角形D1C1C2，再取D1C2的中点D2作等腰三角形D2C2C3，以此类推，（点C1、C2、C3、C4在直线BC上）则∠5＝ °．
14．（2分）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 ．
15．（2分）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B、E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC，AD＝12，CF＝2，则CD＝ ．
16．（2分）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC于点E，若△DEB的周长为15cm，则BC的长为 cm．
17．（2分）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，BP⊥AC于点P，延长BC与PD交于点D，连接AD，若△BPD的面积为24，则△ABD的面积是 ．
18．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
三．解答题（共4小题，满分16分，每小题4分）
19．（4分）计算：
−3−8−(2003)0+(13)﹣1．
20．（4分）利用分数指数幂运算性质计算：
316×42÷64×814．
21．（4分）计算：4mn3m4−（n627m3−m3mn2）（n＞0）．
22．（4分）解不等式：4x+18＜9x−98．
四．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
23．（6分）已知△ABC（非直角三角形） 中，∠A＝30°，AB，AC边上的高所在的直线交于点H，则∠BHC＝ ．
24．（6分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0），B（0，n），且|m−6|+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求OA、OB的长；
（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
26．（6分）如图在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝6，△ABD的周长为18，求△ABC的周长．
五．解答题（共2小题，满分18分）
27．（8分）已知△ABC中，AC＝BC，△DEC中，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，求证：AD＝BE；
（2）如图2，当α＝90°时，若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，求线段AF的长．
28．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，以AE为斜边，在AE上方作Rt△AEF，使∠EAF＝∠ABC，延长CF与BA交于点G．
（1）当∠ABC＝45°时，若CE＝1，BE＝3，求线段AF的长．
（2）求证：点F为线段CG的中点．
2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）在实数0，3，227，π2，36，﹣1.414中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：3，π2是无限不循环小数，它们都是无理数，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．23B．16C．13D．14
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式即可求解．
【解答】解：A．23是最简二次根式，选项A符合题意；
B．16=4，16不是最简二次根式，选项B不符合题意；
C．13=33，13不是最简二次根式，选项C不符合题意；
D．14=12，14不是最简二次根式，选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．（3分）一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，则该等腰三角形的一腰长为（ ）
A．5cmB．3cm或4cmC．5cm或3cmD．4cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】已知给出了底边长是3cm，根据等腰三角形两腰相等即可求解．
【解答】解：当底边长为3cm时，腰的长＝（11﹣3）÷2＝4（cm），
∵3+4＞4，
∴边长为3cm，4cm，4cm能构成三角形，
故该等腰三角形的一腰长为4cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，验证是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角都是60°的三角形是等边三角形
【考点】命题与定理；全等三角形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】几何图形；应用意识．
【答案】B
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的性质和等边三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题；
D、三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是60°，逆命题是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是真假命题的判断、逆命题的概念，掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定判定及性质、角平分线的判定及性质和等边三角形的判定及性质是解题的关键．
5．（3分）若ab＜0，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
【分析】根据点的坐标特点判断即可．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b异号，
∴点P（a，b）在第二或第四象限．
故选：B．
【点评】此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解本题的关键．
6．（3分）如图，已知BD平分∠ABC，则不一定能使△ABD≌△CBD的条件是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠ADB＝∠CDBC．AB＝CBD．AD＝CD
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】利用三角形全等的判定逐个选项判断即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
A．由∠A＝∠C，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，利用AAS可得△ABD≌△CBD，故不符合题意；
B．由∠ADB＝∠CDB，BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，利用ASA可得△ABD≌△CBD（ASA），故不符合题意；
C．由AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，利用SAS可得△ABD≌△CBD（SAS），故不符合题意；
D．AD＝CD，BD＝BD，∠ABD＝∠CBD是边边角，则△ABD与△CBD不一定全等，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）已知a+1＝20232+20242，计算：2a+1= 4047 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】4047．
【分析】先将a+1化为2×20232+2×2023+1，即可求出a的值，再计算2a+1的值，最后求其算术平方根即可．
【解答】解：∵a+1＝20232+20242，
∴a+1
＝20232+（2023+1）2
＝20232+20232+2×2023+1
＝2×20232+2×2023+1
∴a＝2×20232+2×2023，
∴2a+1
＝2（2×20232+2×2023）+1
＝4×20232+4×2023+1
＝22×20232+2×4046+1
＝（2×2023）2+2×4046+1
＝40462+2×4046+1
＝（4046+1）2
＝40472，
∴2a+1=40472=4047，
故答案为：4047．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．（2分）把1463表示成幂的形式是 6−34 ．
【考点】分数指数幂．
【专题】分式；运算能力．
【答案】6−34．
【分析】利用分数指数幂的意义解答即可．
【解答】解：原式=1634=6−34．
故答案为：6−34．
【点评】本题主要考查了分数指数幂的性质，正确利用分数指数幂的意义解答是解题的关键．
9．（2分）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=4+a−2+2−a，则该三角形的周长为 10 ．
【考点】二次根式有意义的条件；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】10．
【分析】根据题意求出a、b的值，根据等腰三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．
【解答】解：由题意得，a﹣2≥0，2﹣a≥0，
解得a≥2，a≤2，
∴a＝2，
则b＝4，
∵2+2＝4，
∴2、2、4不能组成三角形，
∴该三角形的三边分别为2、4、4，
∴此三角形的周长为2+4+4＝10．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、三角形三边关系和等腰三角形的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（2分）今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，将16750000这个数保留三个有效数字并用科学记数法表示是 1.68×107 ．
【考点】科学记数法与有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】1.68×107．
【分析】运用科学记数法和有效数字的定义进行求解．
【解答】解：16750000≈16800000，16800000＝1.68×107，
∴16750000≈1.68×107，
故答案为：1.68×107．
【点评】此题考查了运用科学记数法表示较小数字的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
11．（2分）将点P（3，﹣2）向上平移2个单位得到点P1，则点P1的坐标是 （3，0） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】（3，0）．
【分析】根据平移规律求解即可．
【解答】解：将点P（3，﹣2）向上平移2个单位得到点P1，则点P1的坐标是（3，﹣2+2），即（3，0），
故答案为（3，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
12．（2分）平面直角坐标系中，已知MN∥x轴，M点的坐标为（﹣1，3），并且MN＝5，则N点的坐标为 （﹣6，3）或（4，3） ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（﹣6，3）或（4，3）．
【分析】先利用与x轴平行的直线上点的坐标特征确定N点的纵坐标为3，再在直线MN上找出到﹣1的距离为5的数即可得到N点坐标．
【解答】解：∵MN∥x轴，M点的坐标为（﹣1，3），
∴N点的纵坐标为3，
而MN＝5，
∴N点的横坐标为﹣6或4，
∴N点坐标为（﹣6，3）或（4，3）．
故答案为：（﹣6，3）或（4，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住各象限内点的坐标特征和坐标上点的坐标特征．
13．（2分）已知△ABC中∠A＝20°，AB＝AC．取AC中点D作等腰三角形DCC1，（如图所示），取DC1的中点D1作等腰三角形D1C1C2，再取D1C2的中点D2作等腰三角形D2C2C3，以此类推，（点C1、C2、C3、C4在直线BC上）则∠5＝ 5 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据三角形外角定理推理出规律即可得到答案．
【解答】解：由题知，后续所作的三角形都是等腰三角形，得：∠1=12(180°−∠A)=80°，
∴∠2=12(180°−180°+∠1)=40°=12∠1，
∴∠3=12(180°−180°+∠2)=20°=(12)2∠1，
∴∠4=(180°−180°+∠3)=10°=(12)3∠1，
……，
则∠n=(180−180+∠n−1)=(12)n−1∠1，
∴∠5=80°×(12)4=5°，
故答案为：5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质与规律问题，能准确找到规律并运用好三角行外角定义是关键．
14．（2分）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 2738 ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用等边三角形的性质和已知条件得到∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°，设BD＝x，然后用x分别表示DF、CD、DE，如图，过F作FH⊥⊥DE于H，在Rt△EFD中，用x表示FH，最后利用三角形的面积公式建立二次函数模型即可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，
∴∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°，
设BD＝x，
∴DF=3x，
∵BC＝6，
∴CD＝6﹣x，
∴DE=32（6﹣x），
如图，过F作FH⊥DE于H，
在Rt△EFD中，FH=32FD=32×3x=32x，
∴S△DEF=12×DE×FH
=12×32x×32（6﹣x）
=338（﹣x2+6x）
=−338（x﹣3）2+2738，
∴当x＝3时，△DEF的面积最大值为2738．
故答案为：2738．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是建立二次函数的模型求出最值．
15．（2分）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B、E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC，AD＝12，CF＝2，则CD＝ 74 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等．
【答案】74．
【分析】先利用垂直得到∠ABF＝∠CEF＝90°，再证明∠A＝∠C，然后根据“ASA”可以判断△ABF≌△CBD，从而得到BF＝BD，求出BC，BD，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC，
∴∠ABF＝∠CEF＝90°，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBD中
∠A=∠CAB=BC∠ABF=∠CBD，
∴△ABF≌△CBD（ASA），
∴BF＝BD，
∵AD＝12，CF＝2，
∴AB+BF＝12，AB﹣BF＝2，
∵AB＝BC＝7，BF＝BD＝5，
BC＝BF+CF＝5+2＝7，
在Rt△BCD中，CD=BD2+BC2=52+72=74，
故答案为：74．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（2分）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC于点E，若△DEB的周长为15cm，则BC的长为 15 cm．
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】15．
【分析】根据角平分线性质求出AD＝DE，根据勾股定理求出AC＝CE＝AB，求出△DBE的周长等于BC，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
在Rt△ADC和Rt△EDC中，由勾股定理得：AC2＝DC2﹣AD2，CE2＝DC2﹣DE2，
∴AC＝CE，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝CE，
∴△DEB的周长是BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE＝CE+BE＝BC＝15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，BP⊥AC于点P，延长BC与PD交于点D，连接AD，若△BPD的面积为24，则△ABD的面积是 48 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】48．
【分析】因为BP平分∠ABC，BP⊥AC于点P，所以AP＝PC，所以△ABP的面积等于△CBP的面积，△ADP的面积等于△CPD的面积，所以△ABD的面积等于△BPD面积的2倍．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵BP⊥AC于点P，
∴∠APB＝∠CPB，
在△ABP和△CBP中，
∠ABP=∠CBPBP=BP∠APB=∠CPB，
∴△ABP≌△CBP（ASA），
∴AP＝CP，
∴△ABP的面积等于△CBP的面积，△ADP的面积等于△CPD的面积，
∴S△ABD＝2S△BPD，
∵△BPD的面积为24，
∴△ABD的面积为48．
故答案为：48．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定，利用全等证得AP＝CP是解答本题的关键．
18．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度数为 35°或55° ．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】35°或55°．
【分析】分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小．
【解答】解：分类讨论：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，
由题意可知∠ABD＝20°，∠BDC＝90°，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB=12×（180°﹣70°）＝55°；
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，
由题意可知∠ABD＝20°，∠D＝90°，
∴∠A＝∠D+∠ABD＝110°，
∴∠ABC＝∠ACB=12×（180°﹣110°）＝35°；
综上可知这个等腰三角形的底角度数为35°或55°．
故答案为：35°或55°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
三．解答题（共4小题，满分16分，每小题4分）
19．（4分）计算：
−3−8−(2003)0+(13)﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】4．
【分析】直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1+3
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（4分）利用分数指数幂运算性质计算：
316×42÷64×814．
【考点】分数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】232．
【分析】根据分数指数幂和实数的运算法则进行计算．
【解答】解：原式=1613×214÷416×814
=243×214÷213×234
=223+14−13+34
=＞243
=324
＝232．
【点评】本题考查了分数指数幂和实数的运算，掌握分数指数幂和实数的运算法则是关键．
21．（4分）计算：4mn3m4−（n627m3−m3mn2）（n＞0）．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】52mn3m．
【分析】先化简二次根式，再合并即可．
【解答】解：4mn3m4−（n627m3−m3mn2）
＝2mn3m−12mn3m+mn3m
=52mn3m．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，关键是利用二次根式的性质先化简成最简二次根式．
22．（4分）解不等式：4x+18＜9x−98．
【考点】二次根式的应用；解一元一次不等式．
【专题】二次根式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＞22．
【分析】先将不等式中的二次根式化为最简二次根式，再移项、合并同类项、化系数为1即可求解．
【解答】解：4x+18＜9x−98，
原式可转化为，4x+32＜9x−72，
移项，9x−4x＞32+72，
合并同类项，5x＞102，
化系数为1，x＞22．
【点评】本题主要考查二次根式的应用、解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
四．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
23．（6分）已知△ABC（非直角三角形） 中，∠A＝30°，AB，AC边上的高所在的直线交于点H，则∠BHC＝ 150°或30° ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
【答案】150°或30°．
【分析】根据△ABC是直角三角形，且∠A＝30°，分两种情况讨论如下：（1）当△ABC锐角三角形时，画出图形，先求出∠ACE＝90°﹣∠A＝60°，再根据∠BHC＝∠BDC+∠ACE可得出答案；（2）当△ABC为钝角三角形时，又有以下两种情况：①当∠ACB为钝角时，画出图形，先求出∠HCD＝∠ACE＝60°，再根据∠BHC＝90°﹣∠HCD可得出答案；②当∠ABC为钝角时，画出图形，同理∠HBE＝∠ABD＝60°，再根据∠BHC＝90°﹣∠HBE可得出答案，综上所述即可得出∠BHC的度数．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，且∠A＝30°，
∴有以下两种情况，
（1）当△ABC锐角三角形时，如图1所示：

∵BD，CH为AB，AC边上的高，
∴∠AEC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BHC＝∠BDC+∠ACE＝90°+60°＝150°；
（2）当△ABC为钝角三角形时，又有以下两种情况：
①当∠ACB为钝角时，如图2所示：

∵BD，CH为AB，AC边上的高，
∴∠AEC＝90°，∠BDC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠HCD＝∠ACE＝60°，
∴∠BHC＝90°﹣∠HCD＝30°；
②当∠ABC为钝角时，如图3所示：

同理：∠HBE＝∠ABD＝60°，
∴∠BHC＝90°﹣∠HBE＝30°．
综上所述：∠BHC＝150°或30°．
故答案为：150°或30°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高，理解三角形的高，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点也是易错点．
24．（6分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】∠D＝50°．
【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0），B（0，n），且|m−6|+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求OA、OB的长；
（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）OA＝6，OB＝3；
（2）6＜t≤8；
（3）t的值为3或9．
【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；
（2）分情况讨论：①当P在线段AO上时，如图，②当P在线段AO的延长线上时，如图，根据三角形的面积公式列不等式即可得到结论；
（3）①如图，△AOB≌△EOP，根据全等三角形的性质得到OB＝OP＝3，于是得到t＝3；②如图，△AOB≌△EOP，根据全等三角形的性质得到OB＝OP＝3，AP＝OA+OP＝9，于是得到t＝9．
【解答】解：（1）∵|m−6|+2n−6=0，
∴|m﹣6|≥0，2n−6≥0，
∴m﹣6＝0，2n﹣6＝0，
即m＝6，n＝3，
∴OA＝6，OB＝3；
（2）分情况讨论：①当P在线段AO上时，如图，
∵AP＝t，PO＝6﹣t，
∴S△BOP=12(6−t)×3=9−32t，
∵△POB的面积不大于3且不等于0，
∴0＜9−32t≤3，
解得4≤t＜6；
②当P在线段AO的延长线上时，如图，
∵AP＝t，PO＝t﹣6，
∴S△BCP=12(t−6)×3=32t−9，
∵△POB的面积不大于3且不等于0，
∴0＜32t−9≤3，
解得6＜t≤8；
（3）①如图，△AOB≌△EOP，
∴OB＝OP＝3，
则t＝3；
②如图，△AOB≌△EOP，
∴OB＝OP＝3，AP＝OA+OP＝9，
则t＝9，
综上所述，存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值为3或9．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，非负数的性质，分类讨论是解题的关键．
26．（6分）如图在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝6，△ABD的周长为18，求△ABC的周长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】30．
【分析】根据垂直平分线的性质即可求解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝CE＝6，
∵△ABD的周长是18，即AB+BD+AD＝18，
∴△ABC的周长为AB+BD+CD+AC＝AB+BC+AC＝18+12＝30，
∴△ABC的周长是30．
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，等量代换是解题的关键．
五．解答题（共2小题，满分18分）
27．（8分）已知△ABC中，AC＝BC，△DEC中，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，求证：AD＝BE；
（2）如图2，当α＝90°时，若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，求线段AF的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）AF＝4．
【分析】（1）利用“SAS”证明△CDA≌△CEB，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质，得到BE＝AD＝2，根据等腰直角三角形的性质，得到∠BAC＝∠ABC＝45°，∠CDE＝45°，进而得出∠CAF＝∠BAF＝∠ACD＝22.5°，得出AD＝CD＝2，再根据∠DCF＝∠AFC，得出DC＝DF＝2，即可求出AF的长．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCF＝∠DCE﹣∠DCF，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，BE＝2，
∴BE＝AD＝2，
∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∠CDE＝45°，
∵∠CAF＝∠BAF，
∴∠CAF＝∠BAF＝22.5°，
∵∠CDE＝∠CAD+∠ACD，
∴∠A C D＝∠C A D＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠D C F＝90°﹣∠A C D＝67.5°，∠A F C＝∠A B C+∠B A F＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴D C＝D F＝2，
∴A F＝A D+D F＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题关键．
28．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，以AE为斜边，在AE上方作Rt△AEF，使∠EAF＝∠ABC，延长CF与BA交于点G．
（1）当∠ABC＝45°时，若CE＝1，BE＝3，求线段AF的长．
（2）求证：点F为线段CG的中点．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD＝2，由勾股定理可求AE的长，即可求解；
（2）由“ASA”可证△ANE≌△ECH，可得AE＝EH，由“AAS”可证△AGF≌△HCF，可得GF＝CF，即可求解．
【解答】（1）解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴AD＝CD＝BD，∠ACD＝∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∵CE＝1，BE＝3，
∴BC＝4，
∴AD＝BD＝CD＝2，
∴DE＝1，
∴AE=AD2+DE2=1+4=5，
∵∠EAF＝45°，EF⊥AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=2AF，
∴AF=102；
（2）如图，作AD＝CD，过点C作CH∥BG，交AF的延长线于H，在AD上截取AN＝CE，连接NE，EH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AD＝DC，AN＝CE，
∴DN＝DE，∠DAC＝∠DCA，
∴∠DNE＝∠DEN，
∵∠DAC+∠DCA+∠ADC＝180°，∠DNE+∠DEN+∠ADC＝180°，
∴∠DNE＝∠DAC，
∴∠DNE＝∠DAC＝∠DCA＝∠ABC，
∵BG∥CH，
∴∠B+∠BCH＝180°，
∵∠DNE+∠ANE＝180°，
∴∠ANE＝∠BCH，
∵∠EAF＝∠ABC，
∴∠EAF＝∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAF，
∵∠EAF＝∠ABC，
∴∠EAF+∠BCH＝180°，
∴点A，点E，点C，点H四点共圆，
∴∠CAH＝∠CEH，
∴∠DAE＝∠CEH，
又∵AN＝CE，
∴△ANE≌△ECH（ASA），
∴AE＝EH，
∵∠AFE＝90°，
∴AF＝FH，
∵BG∥CH，
∴∠G＝∠FCH，∠GAF＝∠CHF，
∴△AGF≌△HCF（AAS），
∴GF＝CF，
∴点F为线段CG的中点．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考点卡片
1．科学记数法与有效数字
（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；
（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
7．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
① a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（ a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③ a2=|a|=a (a＞0)0 (a=0)−a (a＜0)（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
10．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
11．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
12．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
13．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
14．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
15．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
16．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
17．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
20．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
21．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
24．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
25．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
26．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
27．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
28．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
29．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．
30．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
31．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
D
B
B
D