2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考3

这是一份2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考3，共40页。试卷主要包含了在实数范围内因式分解等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）分式2x23x−2y中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的13D．不变
2．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9有一个根为0，则m的值为（ ）
A．3B．0C．﹣3D．±3
3．（4分）在一次知识竞赛中，共有15道题，每一题答对得20分，不答得0分，答错扣10分，冰冰有一道题没答，竞赛成绩超过100分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．20x﹣10（14﹣x）≥100B．20x﹣10（14﹣x）＞100
C．20x﹣（14﹣x）≥100D．20x﹣（14﹣x）＞100
4．（4分）某学校组织歌唱比赛，最终有7位同学进入决赛，这7位同学的评分分别是：9.4，9.3，9.1，9.5，9.7，9.3，9.6．这组评分的众数和中位数分别是（ ）
A．9.3，9.4B．9.7，9.4C．9.4，9.3D．9.3，9.5
5．（4分）甲、乙、丙三人分别在A，B，C三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：
①甲不在A超市采购；
②乙不在B超市采购；
③在B超市的采购篮球；
④乙不采购足球；
⑤在A超市的不采购排球．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲在C超市采购，丙在B超市采购
B．甲在B超市采购，丙在C超市采购
C．甲在B超市采购，丙在A超市采购
D．甲在C超市采购，丙在A超市采购
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a﹣b+c＞0；②2abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤3a+c＞0；⑥a﹣c＞0，其中正确的结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若17.2=4.147，1.72=1.311，则1720的值为 ．
8．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5−12，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且身高为178cm，则其肚脐至足底的长度可能是 cm（保留根号）．
9．（4分）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣4＝ ．
10．（4分）一个不透明的袋里装有除颜色外其他完全相同的8个小球，其中有4个红球，3个黄球，1个白球，将袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出 球的可能性最小．
11．（4分）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为60°，那么这个观察点到建筑物的距离为 ．
12．（4分）把函数y＝2x2﹣1的图象向上平移3单位，再向左移动5个单位，所得图象的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，已知△ABC和△ADE，点E在AB边上，点C在AD边上，BC与DE交于点O，∠B＝∠D，若OE＝4，OB＝5，OC＝2，CD＝1，则AE的长为 ．
14．（4分）在△ABC与△DEF中，已知ABDE=BCEF=CAFD=35，且△DEF的周长为30cm，则△ABC的周长为 cm．
15．（4分）如图四边形ABCD，AD=AB=BC，∠ACD=30°，cs∠BAC=217，CD=2，则AC＝ ．
16．（4分）如图，点A是双曲线y=1x（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OB＝3OA，当点A在双曲线y=1x上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为 ．
17．（4分）数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为 ．
18．（4分）如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．点C为直线AB上一点，过点C的一条直线分别交两条平行线于点D，E，若CDDE=23，则S△CBDS△CAE的值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．计算：（2024﹣π）0+3﹣2×|﹣2|﹣（﹣1）2024．
20．解不等式组：5x−2＜3(x+2)x+53≤2x，并写出其中的正整数解．
21．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且∠BAE＝∠CAD，ABAE=ACAD．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）若∠CAD＝20°，求∠CBD的度数．
22．北京奥运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩挂件．则A款冰墩墩进价30元，售价45元；B款冰墩墩进价25元，售价37元．
（1）网店第一次用850元购进A、B两款冰墩墩挂件共30件，则购进A款冰墩墩 个；购进B款冰墩墩 个．
（2）冬奥会临近结束，网店打算把B款冰墩墩挂件打折销售，如果按原价销售，平均每天可销售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天多卖出2件．则将销售价定为每件多少元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元．
23．如图，已知直线y1＝kx+3与坐标轴交于A，B两点，直线y2＝ax+b与坐标轴交于C（﹣6，0），D两点，两直线的交点为M（﹣4，﹣1）．
（1）求k，a，b的值；
（2）连接OM，试说明S△BCM+S△AOB＝S△DOM（S表示面积）；
（3）x轴上存在点T，使得S△ATM＝S△ADM，求出此时点T的坐标．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c顶点为P（2，7），直线l：y＝x﹣m（m＞0）与抛物线交于A、B两点，M为直线l上方抛物线上一动点，将抛物线沿直线l翻折，翻折后的图形交x轴于点C，交y轴于D、E两点（D在E的上方）．
（1）求b、c的值．
（2）当m＝2时．
①直接写出C、D坐标：C ，D ．
②点N与点M关于直线AB对称，当线段MN取得最大值时，求M坐标及MN长度．
（3）当△COE为等腰直角三角形时，请直接写出m的值 ．
25．解图形往往与图形的性质密切相关
（1）由已学的全等判定：ASA，SAS，HL，AAS可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是 ；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是 ；
（2）如图，在锐角△ABC中至少有两个锐角，∠C始终为锐角，设AB长为a，请用△ABC三个角的三角比和a的代数式表示△ABC的周长；
（3）在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要 个条件，最少需要 个条件，最少条件时需要知道的元素可以为 ．
2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）分式2x23x−2y中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的13D．不变
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】A
【分析】运用分数的基本性质进行计算即可．
【解答】解：把x和y都扩大3倍后，
2(3x)23⋅3x−2⋅3y
=18x29x−6y
＝3×2x23x−2y，
∴x，y同时扩大为原来的3倍，分式的值扩大为原来的3倍．
故选：A．
【点评】此题考查了分数的基本性质，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、化简．
2．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9有一个根为0，则m的值为（ ）
A．3B．0C．﹣3D．±3
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】将x＝0代入求出m值，m﹣3≠0确定m值即可．
【解答】解：将x＝0代入原方程得：m2＝9，
∴m＝±3．
又∵m﹣3≠0，
∴m＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（4分）在一次知识竞赛中，共有15道题，每一题答对得20分，不答得0分，答错扣10分，冰冰有一道题没答，竞赛成绩超过100分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．20x﹣10（14﹣x）≥100B．20x﹣10（14﹣x）＞100
C．20x﹣（14﹣x）≥100D．20x﹣（14﹣x）＞100
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题目的总数、冰冰未答的题目数及答对的题目数，可得出他答错了（14﹣x）道题，利用竞赛成绩＝20×答对题目数﹣10×答错题目数，结合冰冰的竞赛成绩超过100分，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：∵共有15道题，冰冰有一道题没答，且答对了x道题，
∴他答错了15﹣1﹣x＝（14﹣x）道题．
根据题意得：20x﹣10（14﹣x）＞100．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
4．（4分）某学校组织歌唱比赛，最终有7位同学进入决赛，这7位同学的评分分别是：9.4，9.3，9.1，9.5，9.7，9.3，9.6．这组评分的众数和中位数分别是（ ）
A．9.3，9.4B．9.7，9.4C．9.4，9.3D．9.3，9.5
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据众数、中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．
【解答】解：将数据由小到大排列为：9.1，9.3，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7，
9.3出现了2次，最多，众数为9.3，
9.4处在第4位，中位数为9.4．
故选：A．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，属于基础题，掌握众数及中位数的定义是关键．
5．（4分）甲、乙、丙三人分别在A，B，C三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：
①甲不在A超市采购；
②乙不在B超市采购；
③在B超市的采购篮球；
④乙不采购足球；
⑤在A超市的不采购排球．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲在C超市采购，丙在B超市采购
B．甲在B超市采购，丙在C超市采购
C．甲在B超市采购，丙在A超市采购
D．甲在C超市采购，丙在A超市采购
【考点】推理与论证．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】C
【分析】根据所给条件逐步缩小范围即可解答．
【解答】解：∵③在B超市的采购篮球；⑤在A超市的不采购排球．
∴在A超市采购足球，则在C超市采购排球；
∵④乙不采购足球，在A超市采购足球，
∴乙不在4超市采购，
∵②乙不在B超市采购，
∴乙在C超市采购排球，
∵甲不在A超市采购，
∴甲在B或C超市采购，
∵乙在C超市采购排球，
∴甲在B超市采购篮球；丙在A超市采购足球，
综上，仅有C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查推理论证，灵活利用条件缩小范围成为解题的关键．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a﹣b+c＞0；②2abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤3a+c＞0；⑥a﹣c＞0，其中正确的结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】压轴题；数形结合；推理能力．
【答案】C
【分析】由于当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，当x＝﹣2，y＞0，则4a﹣2b+c＞0，可对①③进行判断；由于抛物线开口向上，则a＞0；对称轴在y轴右侧，x=−b2a＞0，则b＜0；抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，则c＜0，可对②进行判断；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；由于x=−b2a=1，即b＝﹣2a，而a﹣b+c＜0，则3a+c＜0，可对⑤进行判断；根据a＞0，c＜0，可对⑥进行判断．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，所以①错误；
抛物线开口向上，则a＞0；对称轴在y轴右侧，x=−b2a＞0，则b＜0；抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，则c＜0，于是abc＞0，所以②正确；
当x＝﹣2，y＞0，则4a﹣2b+c＞0，所以③正确；
抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以④正确；
x=−b2a=1，即b＝﹣2a，而a﹣b+c＜0，则3a+c＜0，所以⑤错误；
a＞0，c＜0，则a﹣c＞0，所以⑥正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若17.2=4.147，1.72=1.311，则1720的值为 41.47 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】41.47．
【分析】根据被开方数小数点向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点就向右（或向左）移动一位解答即可．
【解答】解：∵17.2=4.147，
∴1720=41.47，
故答案为：41.47．
【点评】本题考查了算术平方根，熟知小数点的移动规律是解题的关键．
8．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5−12，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且身高为178cm，则其肚脐至足底的长度可能是 (895−89) cm（保留根号）．
【考点】黄金分割．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】(895−89)．
【分析】设此人的肚脐到足底的长度为x cm，由黄金分割的定义即可解决问题．
【解答】解：设此人的肚脐到足底的长度为x cm，由题意，则有178−xx=5−12，
解得：x=895−89，
经检验，x=895−89是所列方程的解且符合题意，
故答案为：(895−89)．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值是解题的关键．
9．（4分）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣4＝ （x﹣1+5）（x﹣1−5） ．
【考点】实数范围内分解因式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（x﹣1+5）（x﹣1−5）．
【分析】先利用配方法，再利用平方差公式进行分解即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣4
＝x2﹣2x+1﹣1﹣4
＝（x﹣1）2﹣5
＝（x﹣1+5）（x﹣1−5），
故答案为：（x﹣1+5）（x﹣1−5）．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（4分）一个不透明的袋里装有除颜色外其他完全相同的8个小球，其中有4个红球，3个黄球，1个白球，将袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出 白 球的可能性最小．
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】白．
【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性小．
【解答】解：因为袋子中有4个红球，3个黄球，1个白球，从中任意摸出一个球，
①为红球的概率是48=12；
②为黄球的概率是38；
③为白球的概率是18．
可见摸出白球的可能性小．
故答案为：白．
【点评】本题考查了可能性的大小，要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目．
11．（4分）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为60°，那么这个观察点到建筑物的距离为 53米 ．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】53米．
【分析】根据题意画出示意图，然后根据俯角的定义可得∠DAC＝60°，然后可得出∠ACB的度数，进而根据∠ACB的正切值可得出BC的长度，即得出了这个观察点到建筑物的距离．
【解答】解：如图，
由题意得：∠DAC＝60°，AB＝15米，
∴∠ACB＝∠DAC＝60°，
∴tan∠ACB=ABCB=15CB=3，
∴CB=153=53（米），
故答案为：53米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的知识及俯角的定义．
12．（4分）把函数y＝2x2﹣1的图象向上平移3单位，再向左移动5个单位，所得图象的函数表达式为 y＝2（x+5）2+2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝2（x+5）2+2．
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝2x2﹣1的图象向上平移3单位，再向左移动5个单位，
则所得新抛物线的表达式为：y＝2（x+5）2﹣1+3＝2（x+5）2+2．
故答案为：y＝2（x+5）2+2．
【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
13．（4分）如图，已知△ABC和△ADE，点E在AB边上，点C在AD边上，BC与DE交于点O，∠B＝∠D，若OE＝4，OB＝5，OC＝2，CD＝1，则AE的长为 529 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】529．
【分析】依题意得BC＝7，先证明△EOB和△COD相似，利用相似三角形的性质得OD＝2.5，BE＝2，设AE＝a，AC＝b，AB＝a+2，AD＝b+1，DE＝6.5，再证明△ABC和△ADE相似得ABAD=ACAE=BCDE，即a+2b+1=ba=76.5，由此可得7b﹣6.5a＝6①，7a＝6.5b②，然后再由①，②解得a=529即可得出AE的长．
【解答】解：∵OE＝4，OB＝5，OC＝2，CD＝1，
∴BC＝OB+OC＝7，
∵∠B＝∠D，∠EOB＝∠COD，
∴△EOB∽△COD，
∴OBOD=BECE=OEOC，
∴5OD=BE1=42，
∴OD＝2.5，BE＝2，
设AE＝a，AC＝b，
∴AB＝AE+BE＝a+2，AD＝AC+CD＝b+1，DE＝OE+OD＝6.5，
∵∠B＝∠D，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE=BCDE
∴a+2b+1=ba=76.5，
由a+2b+1=76.5，得：7b﹣6.5a＝6①，
由ba=76.5，得：7a＝6.5b②，
由①，②解得：a=529，
∴AE＝a=529．
故答案为：529．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
14．（4分）在△ABC与△DEF中，已知ABDE=BCEF=CAFD=35，且△DEF的周长为30cm，则△ABC的周长为 18 cm．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】18．
【分析】根据三边对应成比例可证△ABC∽△DEF，且相似比为35，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求解．
【解答】解：在△ABC与△DEF中，已知ABDE=BCEF=CAFD=35，
∴△ABC∽△DEF，且相似比为35，
∴△ABC的周长△DEF的周长=35，
∵△DEF的周长为30cm，
∴△ABC的周长为18cm，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有三组对应边成比例的两个三角形相似和相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键．
15．（4分）如图四边形ABCD，AD=AB=BC，∠ACD=30°，cs∠BAC=217，CD=2，则AC＝ 43 ．
【考点】解直角三角形；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】43．
【分析】过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC＝x，易得AE=x−3，根据勾股定理得出AD2=AE2+DE2=(x−3)2+1，再得出AH=12AC=12x，根据cs∠BAC=217，得出(AHAB)2=2149，代入求解即可．
【解答】解：如图，过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，
设AC＝x，
∵在Rt△CDE中，CD＝2，∠ACD＝30°，DE⊥AC，
∴DE=12CD=1，CE=CD⋅cs30°=3，
∴则AE=x−3，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2=AE2+DE2=(x−3)2+1，
∵AB＝BC，BH⊥AC，
∴AH=12AC=12x，
∵cs∠BAC=AHAB=217，
∴(AHAB)2=2149，
即(12x)2(x−3)2+1=2149，
整理得：35x2−1683x+336=0，
解得：x1=43，x2=453，
当AC=453时，AC＜DC，与图形不符舍去．
∴AC=43．
故答案为：43．
【点评】本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得AH=12AC=12x、AD2=AE2+DE2=(x−3)2+1是解题的关键．
16．（4分）如图，点A是双曲线y=1x（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OB＝3OA，当点A在双曲线y=1x上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为 ﹣9 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣9．
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，1x），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得关于k的方程，可求得k的值．
【解答】解：∵点A是反比例函数y=1x（x＜0）上的一个动点，
∴可设A（x，1x），
∴OC＝﹣x，AC=−1x，
∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，
∵OB＝3OA，
∴ACOD=OCBD=OAOB=13，
∴OD＝3AC=−3x，BD＝3OC＝﹣3x，
∴B（−3x，3x），
∵点B在反比例函数y=kx图象上，
∴k=−3x×3x＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．
17．（4分）数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为 2 ．
【考点】勾股定理的证明；数学常识．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】2．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，即可求出CD．
【解答】解：∵若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
∴AB＝10，BC＝AD＝6，
在Rt△ABC中，
AC=AB2−BC2=102−62=8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
18．（4分）如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．点C为直线AB上一点，过点C的一条直线分别交两条平行线于点D，E，若CDDE=23，则S△CBDS△CAE的值为 425 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】425．
【分析】由BD∥AE推出△CBD∽△CAE，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：由题意得，BD∥AE，
∴△CBD∽△CAE，
∴S△CBDS△CAE=(CDCE)2，
∵CDDE=23，
∴CDCE=25，
∴S△CBDS△CAE=(25)2=425，
故答案为：425．
【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．计算：（2024﹣π）0+3﹣2×|﹣2|﹣（﹣1）2024．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】29．
【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值计算即可．
【解答】解：原式＝1+19×2﹣1
＝1+29−1
=29．
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．解不等式组：5x−2＜3(x+2)x+53≤2x，并写出其中的正整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】1，2，3．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解即可．
【解答】解：5x−2＜3(x+2)①x+53≤2x②，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集是1≤x＜4，
∴不等式组的整数解是1，2，3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集和不等式组的整数解等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且∠BAE＝∠CAD，ABAE=ACAD．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）若∠CAD＝20°，求∠CBD的度数．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）∠CBD＝20°．
【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．
（2）根据（1）中△ABC∽△AED，得出∠ADB＝∠ACB，再根据对顶角相等，∠AFD＝∠BFC，证得△AFD∽△BFC，据此即可求解．
【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，∠BAE＝∠CAD，ABAE=ACAD，
∴∠BAE+∠EAF＝∠CAD+∠EAF，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△AED；
（2）解：∵△ABC∽△AED，
∴∠ADB＝∠ACB，
又∵∠AFD＝∠BFC，
∴△AFD∽△BFC，
∴∠CBD＝∠CAD＝20°．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．北京奥运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩挂件．则A款冰墩墩进价30元，售价45元；B款冰墩墩进价25元，售价37元．
（1）网店第一次用850元购进A、B两款冰墩墩挂件共30件，则购进A款冰墩墩 20 个；购进B款冰墩墩 10 个．
（2）冬奥会临近结束，网店打算把B款冰墩墩挂件打折销售，如果按原价销售，平均每天可销售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天多卖出2件．则将销售价定为每件多少元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）20，10；
（2）将B款冰墩墩挂件销售价定为每件30元或34元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元．
【分析】（1）设购进A款冰墩墩挂件x件，购进B款冰墩墩挂件（30﹣x）件，根据“第一次用850元购进A、B两款冰墩墩挂件共30件，A款冰墩墩进价30元，B款冰墩墩进价25元”，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设将B款冰墩墩挂件销售价定为每件y元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元，根据“如果按原价37元销售，平均每天可销售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天多卖出2件”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购进A款冰墩墩挂件为x件，购进B款冰墩墩挂件为（30﹣x）件，
由题意得：30x+（30﹣x）×25＝850，
解得：x＝20，
∴30﹣x＝30﹣20＝10（件），
故答案为：20，10；
（2）设将B款冰墩墩挂件销售价定为每件y元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元，
由题意得：（y﹣25）[4+（37﹣y）×2]＝90，
整理得：y2﹣64y+1020＝0，
解得：y1＝30，y2＝34，
答：将B款冰墩墩挂件销售价定为每件30元或34元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用与一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．如图，已知直线y1＝kx+3与坐标轴交于A，B两点，直线y2＝ax+b与坐标轴交于C（﹣6，0），D两点，两直线的交点为M（﹣4，﹣1）．
（1）求k，a，b的值；
（2）连接OM，试说明S△BCM+S△AOB＝S△DOM（S表示面积）；
（3）x轴上存在点T，使得S△ATM＝S△ADM，求出此时点T的坐标．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）k＝1，a=−12，b＝﹣3；
（2）见解析；
（3）T（﹣9，0）或T（3，0）．
【分析】（1）把M（﹣4，﹣1）代入y1＝kx+3，求出k的值，待定系数法求出a，b的值；
（2）求出A，B，D的坐标，分别求出S△BCM，S△AOB，S△DOM，即可得出结论；
（3）设T（m，0），利用S△ATM＝S△ATB+S△BTM＝S△ADM，列式计算即可．
【解答】解：（1）∵直线y1＝kx+3和直线y2＝ax+b的交点为M（﹣4，﹣1），
∴﹣1＝﹣4k+3，
∴k＝1；
又直线y2＝ax+b与坐标轴交于C（﹣6，0），
∴−1=−4a+b0=−6a+b，解得：a=−12b=−3；
（2）由（1）知：y1＝x+3，y2=−12x−3；
当x＝0时，y1＝3，y2＝﹣3，当y1＝0时，x＝﹣3，
∴A（0，3），B（﹣3，0），D（0，﹣3），
∴AO＝3，OD＝3，OB＝3，BC＝3，
∴S△BCM=12×3×1=32，S△AOB=12×3×3=92，S△DOM=12×3×4=6，
∴S△BCM+S△AOB＝6＝S△DOM；
（3）设T（m，0），
∴BT＝|m+3|
∵S△ADM=12AD•xM=12×6×4＝12，
∴S△ATM=S△ATB+S△BTM=12×|m+3|×4=2|m+3|=12，
∴|m+3|＝6，
∴m＝﹣9或m＝3；
∴T（﹣9，0）或T（3，0）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c顶点为P（2，7），直线l：y＝x﹣m（m＞0）与抛物线交于A、B两点，M为直线l上方抛物线上一动点，将抛物线沿直线l翻折，翻折后的图形交x轴于点C，交y轴于D、E两点（D在E的上方）．
（1）求b、c的值．
（2）当m＝2时．
①直接写出C、D坐标：C （9，0） ，D （0，3） ．
②点N与点M关于直线AB对称，当线段MN取得最大值时，求M坐标及MN长度．
（3）当△COE为等腰直角三角形时，请直接写出m的值 3+332或7+412 ．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）b＝4，c＝3．
（2）①（9，0），（0，3）．②M（32，274），MN=2924．
（3）3+332或7+412．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①过点G作GC′⊥x轴交原抛物线于点C′，过点F作FD′∥x轴交原抛物线于点D′，运用翻折的性质即可求得答案；
②设过点M平行直线l的直线为y＝x+n，当直线y＝x+n与抛物线y＝﹣x2+4x+3有且只有一个交点时，线段MN取得最大值，运用根的判别式可求得点M的坐标，连接MN交直线l于K，过点M作ML∥y轴交AB于L，再运用翻折的性质即可求得答案；
（3）过点G作GC′⊥x轴交原抛物线于C′，过点F作FE′∥x轴交原抛物线于E′，连接CC′，EE′，证得△CGC′≌△EFE′，可得CC′＝EE′，再证得四边形CC′E′E是平行四边形，得出C′E′∥AB，运用待定系数法得出直线C′E′的解析式，进而可得E′（3﹣m，﹣m2+2m+6），建立方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c顶点为P（2，7），
∴y＝﹣（x﹣2）2+7＝﹣x2+4x+3，
∴b＝4，c＝3．
（2）①当m＝2时，y＝x﹣2，设直线l交x轴于G，交y轴于F，
当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝2，
∴F（0，﹣2），G（2，0），
过点G作GC′⊥x轴交原抛物线于点C′，过点F作FD′∥x轴交原抛物线于点D′，
∴C′（2，7），D′（5，﹣2），
∴GC′＝7，FD′＝5，
由折叠得：GC＝GC′，FD＝FD′，∠AGC＝∠AGC′＝45°，∠AFD＝∠AFD′＝45°，
∴C（9，0），D（0，3），
故答案为：（9，0），（0，3）．
②设过点M平行直线l的直线为y＝x+n，
当直线y＝x+n与抛物线y＝﹣x2+4x+3有且只有一个交点时，线段MN取得最大值，
联立得x+n＝﹣x2+4x+3，
则x2﹣3x+n﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（n﹣3）＝0，
解得：n=214，
则x2﹣3x+94=0，
解得：x1＝x2=32，
∴M（32，274），
如图，连接MN交直线l于K，过点M作ML∥y轴交AB于L，
则L（32，−12），
∴ML=274−（−12）=294，
由翻折得MN⊥AB，MN＝2MK，
∵∠MLK＝45°，∠MKL＝90°，
∴MK=22ML=22×294=2928，
∴MN=2924．
（3）设直线l交x轴于G，交y轴于F，
在y＝x﹣m中，
令x＝0，得y＝﹣m，令y＝0，得x＝m，
∴G（m，0），F（0，﹣m），
如图，当点C在x轴正半轴上时，过点G作GC′⊥x轴交原抛物线于C′，过点F作FE′∥x轴交原抛物线于E′，连接CC′，EE′，
令﹣x2+4x+3＝﹣m，
解得：x＝2±m+7，
则C′（m，﹣m2+4m+3），E′（2−m+7，﹣m），
∴GC＝GC′＝﹣m2+4m+3，FE＝FE′=m+7−2，
∴OC＝OG+GC＝m+（﹣m2+4m+3）＝﹣m2+5m+3，OE＝OF+FE＝m+m+7−2，
当△COE为等腰直角三角形时，OC＝OE，
又∵OG＝OF，
∴OC﹣OG＝OE﹣OF，
即GC＝FE，
∴GC＝GC′＝FE＝FE′，
∵∠CGC′＝∠EFE′＝90°，
∴△CGC′≌△EFE′（SAS），
∴CC′＝EE′，
由翻折得：CC′⊥AB，EE′⊥AB，
∴CC′∥EE′，
∴四边形CC′E′E是平行四边形，
∴C′E′∥AB，
设直线C′E′的解析式为y＝x+h，把C′（m，﹣m2+4m+3）代入，得﹣m2+4m+3＝m+h，
解得：h＝﹣m2+3m+3，
∴直线C′E′的解析式为y＝x﹣m2+3m+3，
与抛物线解析式联立得：﹣x2+4x+3＝x﹣m2+3m+3，
解得：x＝m或x＝3﹣m，
∴E′（3﹣m，﹣m2+2m+6），
∴﹣m2+2m+6＝﹣m，
解得：m=3±332，
∵m＞0，
∴m=3+332；
当点C在x轴负半轴上时，如图，
同理可得：m=7+412；
故答案为：3+332或7+412．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，根的判别式的应用等，综合运用所学的知识是解题关键．
25．解图形往往与图形的性质密切相关
（1）由已学的全等判定：ASA，SAS，HL，AAS可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是 一条边对应相等 ；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是 确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值 ；
（2）如图，在锐角△ABC中至少有两个锐角，∠C始终为锐角，设AB长为a，请用△ABC三个角的三角比和a的代数式表示△ABC的周长；
（3）在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要 5 个条件，最少需要 3 个条件，最少条件时需要知道的元素可以为 三边或两边一角或两角一边 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】（1）一条边对应相等；确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
（2）当∠B和∠C为锐角时，△ABC的周长为a+acsB+asinBtanC+asinBsinC；当∠A和∠C是锐角时，△ABC的周长为a+acsA+asinAsinC+asinAsinC；
（3）5；3；三边或两边一角或两角一边．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和解直角三角形的相关知识求解即可；
（2）分当∠B和∠C为锐角时，当∠A和∠C是锐角时，两种情况从第三个角的顶点作其对边的高，再分别解直角三角形表示出△ABC的三边长即可得到答案；
（3）直角梯形或等腰梯形时需要的条件最小，普通梯形需要的条件最多，据此求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，判定两三角形全等的必要元素是一条边对应相等，解三角形时至少需要知道一条边的原因是确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
（2）当∠B和∠C为锐角时，如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，BD＝AB•csB＝acsB，AD＝AB•sinB＝asinB，
在Rt△ADC中，CD=ADtanC=asinBtanC，AC=ADsinC=asinBsinC，
∴BC=BD+CD=acsB+asinBtanC，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=a+acsB+asinBtanC+asinBsinC；
当∠A和∠C是锐角时，过点B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABD中，AD＝AB•csA＝acsA，BD＝AB•sinA＝asinA，
在Rt△BDC中，CD=BDtanC=asinAtanC，BC=BDsinC=asinAsinC，
∴AC=AD+CD=acsA+asinAsinC，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=a+acsA+asinAsinC+asinAsinC；
综上所述，当∠B和∠C为锐角时，△ABC的周长为a+acsB+asinBtanC+asinBsinC；当∠A和∠C是锐角时，△ABC的周长为a+acsA+asinAsinC+asinAsinC；
（3）当梯形是直角梯形时，需要知道三条边的长或两条边和其中一个角，或两个角和一条边，故最小需要3个条件，当梯形不是特殊梯形（不是等腰梯形，直角梯形时）需要知道四条边和一个角或三边和两个角等共5个条件，故最多需要5个条件；
故答案为：5；3；三边或两边一角或两角一边．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
3．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（2）2＝（x+2）（x−2）
7．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
10．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
11．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
13．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
14．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
18．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
19．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
22．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
23．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
24．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
25．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
28．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
29．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
30．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
31．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5−12；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：5−12．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为5−12．
32．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
33．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边=ac．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
即csA＝∠A的邻边除以斜边=bc．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
34．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
35．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
36．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
37．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
38．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
C
B
A
C
C