2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考2

这是一份2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考2，共29页。试卷主要包含了下列不等式的变形不正确的是，若点p等内容，欢迎下载使用。
1．下列不等式的变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+3＞b+3B．若﹣a＞﹣b，则a＜b
C．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1D．若﹣2x＞a，则x＞−12a
2．数轴上到19所对应的点的距离等于4的数是（ ）
A．19+4或19−4B．4+19
C．4−19D．4+19或4−19
3．在下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
4．小明和小亮一起研究一道数学题，如图，在△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，点E是BC边上的一动点，过E作EF⊥AC于点F，点G在AB上，连DG，GE．
小明说：“如果还知道∠GDB＝∠FEC，则能得到GE∥AC．”
小亮说：“如果∠AGD＝∠ABC，可得到∠GDB＝∠FEC．”
则下列判断正确的是（ ）
A．小明说法正确，小亮说法错误
B．小明说法正确，小亮说法正确
C．小明说法错误，小亮说法正确
D．小明说法错误，小亮说法错误
5．若点p（﹣a，4﹣a）是第三象限的点，则a必须满足（ ）
A．a＜4B．a＞4C．a＜0D．0＜a＜4
6．如图，已知直线AB，CD相交于O点，OE平分∠COB，若∠EOB＝58°，则∠BOD的度数是（ ）
A．32°B．58°C．64°D．36°
7．为参加某机构组织的数学创新比赛，学校先进行了选拔，试卷共25道题，答对1道得4分，答错或不答者扣1分，得90分及以上者将获得参赛资格，要取得参赛资格至少答对（ ）
A．20道B．21道C．22道D．23道
8．根据下列两幅统计图，判断正确的是（ ）
A．甲厂含糖饮料比乙厂含糖饮料多
B．乙厂未含糖饮料比甲厂未含糖饮料多
C．乙厂含糖饮料比甲厂未含糖饮料少
D．甲厂含糖饮料不一定比乙厂含糖饮料多
二．填空题（共8小题）
9．已知2（x+1）2﹣49＝1，x的值是 ．
10．用一组a，b的值说明命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是错误的，这组值可以是：a＝ ，b＝ ．
11．如图，BE平分∠ABC，请你添加一个条件 ，使DE∥BC．
12．如图，已知直线AB、CD相交于O点，∠AOC+∠BOD＝80°，那么∠BOC＝ °．
13．关于x的一元一次方程（2+a）x﹣4＝4ax的解为负数，则a的取值范围是 ．
14．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 度．
15．已知点A的坐标为（1，2）、直线AB∥x轴，并且AB＝3，则点B的坐标为 ．
16．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知B（﹣10，6），则点A的坐标是 ．
三．解答题（共6小题）
17．计算：(−3)2−3827+22．
18．解不等式组x−3(x−2)＞4①2x−13＞3x+26−1②并写出满足条件的整数解．
19．完成下面推理填空：
如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，
AF⊥CE于G．
求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE，
∴∠CGF＝90°（ ），
∵∠1＝∠D（已知），
∴ ∥ （ ），
∴∠4＝∠CGF＝90°（ ），
∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义），
∴∠2+∠3＝90°．
∵∠2与∠C互余（已知）
∴∠2+∠C＝90°（互余的定义），
∴∠C＝∠3（ ），
∴AB∥CD（ ）．
20．某中学因运动会开幕式演出需要，向佳衣服装厂购买A，B两种不同款式的服装，已知该厂用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
（3）在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由．
21．2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A．十分清楚；B．清楚；C．不太清楚；D．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．
（1）求此次接受随机抽样调查的人数；
（2）由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有 人．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A0（0，a0），A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），B（n，0），其中a0，a1，a2，a3，a4，…，an，n为自然数．顺次连接A0，A1，A2，…，An，B的折线与x轴、y轴围成的封闭图形记为图形M．
小明在求图形M的面积时，过点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An﹣1（n﹣1，an﹣1）作x轴的垂线段，将图形M分成n个四边形，计算这些四边形面积的和，即可求出图形M的面积．
请你参考小明的思路，解决下面的问题．
（1）当n＝2时，若a0＝1，a1＝3，a2＝2，如图1，则图形M的面积为 ；
（2）当n＝4时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同数作为a0，a1，a2，a3，a4．
①选择了a0＝4，a1＝5，a2＝7，a3＝6，a4＝3，请在图2中画出此时的图形M．
②在①的条件下，若用剩下的5个数1，2，8，9，10作为a0，a1，a2，a3，a4的取值，使新得到的图形M的面积与图2中的图形M面积相等，则这5个数的排序可能是： ．（写出一组即可）
2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题）
1．下列不等式的变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+3＞b+3B．若﹣a＞﹣b，则a＜b
C．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1D．若﹣2x＞a，则x＞−12a
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+3＞b+3，
∴选项A不符合题意；
∵﹣a＞﹣b，
∴a＜b，
∴选项B不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，
∴选项C不符合题意；
∵若﹣2x＞a，则x＜−12a，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．数轴上到19所对应的点的距离等于4的数是（ ）
A．19+4或19−4B．4+19
C．4−19D．4+19或4−19
【考点】实数与数轴；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】分类讨论求解，向左就减，向右就加．
【解答】解：19±4，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，分类讨论数解题的关键．
3．在下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：B、D选项中，BE与AC不垂直；
C选项中的点E位于线段BC上，线段BE不是△ABC的高；
A选项中BE⊥AC，
∴线段BE是△ABC的高的图是A选项．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
4．小明和小亮一起研究一道数学题，如图，在△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，点E是BC边上的一动点，过E作EF⊥AC于点F，点G在AB上，连DG，GE．
小明说：“如果还知道∠GDB＝∠FEC，则能得到GE∥AC．”
小亮说：“如果∠AGD＝∠ABC，可得到∠GDB＝∠FEC．”
则下列判断正确的是（ ）
A．小明说法正确，小亮说法错误
B．小明说法正确，小亮说法正确
C．小明说法错误，小亮说法正确
D．小明说法错误，小亮说法错误
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据垂直于同一条直线的两直线平行可得BD∥EF，根据两直线平行，同位角相等可得∠DBC＝∠FEC，若∠GDB＝∠FEC，推得∠GDB＝∠DBC，根据内错角相等，两直线平行可得DG∥BC，判断小明说法错误；若∠AGD＝∠ABC，根据同位角相等，两直线平行可得DG∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠GDB＝∠DBC，即可推得∠GDB＝∠FEC，判断小亮说法正确．
【解答】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠FEC，
若∠GDB＝∠FEC，则∠GDB＝∠DBC，
∴DG∥BC，故小明说法错误；
若∠AGD＝∠ABC，
则DG∥BC，
∴∠GDB＝∠DBC，
∴∠GDB＝∠FEC，故小亮说法正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5．若点p（﹣a，4﹣a）是第三象限的点，则a必须满足（ ）
A．a＜4B．a＞4C．a＜0D．0＜a＜4
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点列出不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：∵点p（﹣a，4﹣a）是第三象限的点，
∴−a＜04−a＜0，
解得a＞4，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．如图，已知直线AB，CD相交于O点，OE平分∠COB，若∠EOB＝58°，则∠BOD的度数是（ ）
A．32°B．58°C．64°D．36°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】先根据角平分线的性质得出∠BOC＝2∠EOB＝116°，再根据邻补角的概念可得答案．
【解答】解：∵OE平分∠COB，∠EOB＝58°，
∴∠BOC＝2∠EOB＝116°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝64°，
故选：C．
【点评】本题主要考查对顶角与邻补角，角平分线，解题的关键是掌握对顶角与邻补角，角平分线的概念．
7．为参加某机构组织的数学创新比赛，学校先进行了选拔，试卷共25道题，答对1道得4分，答错或不答者扣1分，得90分及以上者将获得参赛资格，要取得参赛资格至少答对（ ）
A．20道B．21道C．22道D．23道
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：设要取得参赛资格答对了x道题，依题意可得，
4x﹣（25﹣x）≥90，
解得，x≥23，
∴至少答对23道，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
8．根据下列两幅统计图，判断正确的是（ ）
A．甲厂含糖饮料比乙厂含糖饮料多
B．乙厂未含糖饮料比甲厂未含糖饮料多
C．乙厂含糖饮料比甲厂未含糖饮料少
D．甲厂含糖饮料不一定比乙厂含糖饮料多
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【专题】统计的应用；推理能力．
【答案】D
【分析】依据扇形统计图只体现比例不体现数量进行解答即可．
【解答】解：A．甲厂含糖饮料不一定比乙厂含糖饮料多，故选项A说法不正确；
B．乙厂未含糖饮料不一定比甲厂未含糖饮料多，故选项B说法不正确；
C．乙厂含糖饮料不一定比甲厂未含糖饮料少，故选项C说法不正确；
D．甲厂含糖饮料不一定比乙厂含糖饮料多，故选项D说法正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查扇形统计图，解题的关键是正确推理．
二．填空题（共8小题）
9．已知2（x+1）2﹣49＝1，x的值是 4或﹣6 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】4或﹣6．
【分析】先将式子变形为（x+1）2＝25，再利用平方根解方程即可得出答案．
【解答】解：∵2（x+1）2﹣49＝1，
∴2（x+1）2＝50，
∴（x+1）2＝25，
∴x+1＝±5，
解得：x＝4或﹣6，
故答案为：4或﹣6．
【点评】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
10．用一组a，b的值说明命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是错误的，这组值可以是：a＝ ﹣2 ，b＝ 1（答案不唯一）． ．
【考点】命题与定理．
【专题】实数；推理能力．
【答案】﹣2；1（答案不唯一）．
【分析】根据实数的平方、实数的大小比较法则解答．
【解答】解：当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，而﹣2＜1，
说明命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是错误的，
故答案为：﹣2；1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．如图，BE平分∠ABC，请你添加一个条件 ∠EBC＝∠DEB或∠ADE＝∠ABC或∠ABE＝∠DEB等 ，使DE∥BC．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】∠EBC＝∠DEB或∠ADE＝∠ABC或∠ABE＝∠DEB等．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：添加条件：∠EBC＝∠DEB或∠ADE＝∠ABC或∠ABE＝∠DEB等，理由如下；
∵∠EBC＝∠DEB，
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）；
∵∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠DEB，
∴∠EBC＝∠DEB，
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠EBC＝∠DEB或∠ADE＝∠ABC或∠ABE＝∠DEB等．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
12．如图，已知直线AB、CD相交于O点，∠AOC+∠BOD＝80°，那么∠BOC＝ 140 °．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】140．
【分析】直接利用对顶角的定义得出∠AOC＝∠BOD=12×80°＝40°，进而结合邻补角的定义得出答案．
【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC+∠BOD＝80°，
∴∠AOC＝∠BOD=12×80°＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140．
【点评】此题主要考查了对顶角和邻补角，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
13．关于x的一元一次方程（2+a）x﹣4＝4ax的解为负数，则a的取值范围是 a＞23 ．
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】a＞23．
【分析】解出该方程，即可用a表示该方程的解，再根据该方程的解为负数，即得出关于a的一元一次不等式，解出a即可．
【解答】解：（2+a）x﹣4＝4ax，
解得：x=42−3a．
∵该方程的解为负数，即x＜0，
∴42−3a＜0，
解得：a＞23．
故答案为：a＞23．
【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式．正确解出一元一次方程的解得出关于a的不等式是解题的关键．
14．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 105 度．
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】105．
【分析】先由三角形得内角和等于180度，可求出∠2和3的度数，再由平角等于180°，得出∠4得度数，最后由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【解答】解：∵∠2+45°＝90°，∠3+60°＝90°，
∴∠2＝45°，∠3＝30°，
∴∠2+∠3＝75°，
∴∠4＝105°，
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1＝∠4＝105°．
故答案为：105．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
15．已知点A的坐标为（1，2）、直线AB∥x轴，并且AB＝3，则点B的坐标为 （﹣2，2）或（4，2） ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解．
【解答】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（1，2），
∴点B的纵坐标为2，
∵AB＝3，
∴点B在点A的左边时，横坐标为1﹣3＝﹣2，
点B在点A的右边时，横坐标为1+3＝4，
∴点B的坐标为（﹣2，2）或（4，2）．
故答案为：（﹣2，2）或（4，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．
16．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知B（﹣10，6），则点A的坐标是 （﹣4，7） ．
【考点】二元一次方程组的应用；坐标与图形性质．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（﹣4，7）．
【分析】设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点B的坐标为（﹣10，6），即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，将其代入（2x﹣x﹣y）和（x+2y）可求出点A横纵坐标的绝对值，结合点A的位置，即可得出点A的坐标．
【解答】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y，
依题意得：2x=10x+y=6，
解得：x=5y=1，
∴2x﹣x﹣y＝2×5﹣5﹣1＝4，x+2y＝5+2×2＝7，
∴点A的坐标为（﹣4，7）．
故答案为：（﹣4，7）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．计算：(−3)2−3827+22．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】613．
【分析】先计算平方根、立方根和平方，再计算加减．
【解答】解：(−3)2−3827+22．
＝3−23+4
＝613．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
18．解不等式组x−3(x−2)＞4①2x−13＞3x+26−1②并写出满足条件的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2＜x＜1，不等式组的整数解为﹣1、0．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜1，
所以不等式组的整数为﹣1、0．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．完成下面推理填空：
如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，
AF⊥CE于G．
求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE，
∴∠CGF＝90°（ 垂直的定义 ），
∵∠1＝∠D（已知），
∴ AF ∥ DE （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠4＝∠CGF＝90°（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义），
∴∠2+∠3＝90°．
∵∠2与∠C互余（已知）
∴∠2+∠C＝90°（互余的定义），
∴∠C＝∠3（ 同角的余角相等 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．
【专题】推理填空题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的性质与判定即可完成填空．
【解答】证明：∵AF⊥CE，
∴∠CGF＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠D，
∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义），
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝∠3（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定．
20．某中学因运动会开幕式演出需要，向佳衣服装厂购买A，B两种不同款式的服装，已知该厂用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
（3）在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由．
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）该服装厂最少需要生产60套B款服装；
（3）共有4种生产方案，
方案1：生产40套A款服装，60套B款服装；
方案2：生产39套A款服装，61套B款服装；
方案3：生产38套A款服装，62套B款服装；
方案4：生产37套A款服装，63套B款服装．
【分析】（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，根据“1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，根据生产两款服装100套所用布料不超过168米，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
（3）根据这100套服装的总利润不低于2185元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合m≥60及m为正整数，即可得出各生产方案．
【解答】解：（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，
根据题意，得x+2y=53x+y=7，
解得x=1.8y=1.6．
答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，
根据题意，得1.8（100﹣m）+1.6m≤168，
解得m≥60．
答：该服装厂最少需要生产60套B款服装；
（3）该厂这100套服装能实现盈利不低于2185元的目标，
根据题意，得25（100﹣m）+20m≥2185，
解得m≤63，
又∵m≥60，且m为正整数，
∴m可以为60，61，62，63，
∴共有4种生产方案，
方案1：生产40套A款服装，60套B款服装；
方案2：生产39套A款服装，61套B款服装；
方案3：生产38套A款服装，62套B款服装；
方案4：生产37套A款服装，63套B款服装．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A．十分清楚；B．清楚；C．不太清楚；D．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．
（1）求此次接受随机抽样调查的人数；
（2）由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有 2500 人．
【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】（1）此次接受随机抽样调查的人数为200人；
（2）2500．
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用总的居民乘以“十分清楚”和“清楚”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）此次接受随机抽样调查的人数是：42÷21%＝200（人）；
（2）根据题意得：
4000×（21%+41.5%）＝2500（人），
答：该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有2500人；
故答案为：2500．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A0（0，a0），A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），B（n，0），其中a0，a1，a2，a3，a4，…，an，n为自然数．顺次连接A0，A1，A2，…，An，B的折线与x轴、y轴围成的封闭图形记为图形M．
小明在求图形M的面积时，过点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An﹣1（n﹣1，an﹣1）作x轴的垂线段，将图形M分成n个四边形，计算这些四边形面积的和，即可求出图形M的面积．
请你参考小明的思路，解决下面的问题．
（1）当n＝2时，若a0＝1，a1＝3，a2＝2，如图1，则图形M的面积为 92 ；
（2）当n＝4时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同数作为a0，a1，a2，a3，a4．
①选择了a0＝4，a1＝5，a2＝7，a3＝6，a4＝3，请在图2中画出此时的图形M．
②在①的条件下，若用剩下的5个数1，2，8，9，10作为a0，a1，a2，a3，a4的取值，使新得到的图形M的面积与图2中的图形M面积相等，则这5个数的排序可能是： 8，1，2，10，9 ．（写出一组即可）
【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（1）92；
（2）①见解析；②8，1，2，10，9（答案不唯一）．
【分析】（1）利用分割法求出面积即可；
（2）①根据题意，利用描点法画出图形即可；②根据面积相等取点即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图1所示，
过点A1，作A1E⊥OB于E，
图形M的面积＝四边形OA0A1E的面积+四边形EBA2A1，
=12×(1+3)×1+12×(3+2)×1=92；
故答案为：92；
（2）①如图2所示；
②如图3所示，
小明的图形M的面积=12×(4+5+5+7+7+6+6+3)×1=21.5，
新图形M的面积=12×(8+1+1+2+2+10+10+9)=21.5，
∴面积相等，
故答案为：8，1，2，10，9．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“−a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
6．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
7．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
8．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
9．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
12．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
13．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
14．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
15．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
16．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
17．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
18．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
19．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
20．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
21．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
22．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
23．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
24．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
25．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
26．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
27．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
C
D
D