2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考3

这是一份2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考3，共39页。

A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定
2．（3分）已知三角形的三边长分别为2，4，m，则m的值不可能的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（3分）如图，直线a∥b，∠A＝38°，∠1＝46°，则∠2的度数是（ ）
A．84°B．96°C．104°D．106°
4．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
5．（3分）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠DGB＝66°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠B的度数为（ ）
A．24°B．25°C．30°D．35°
6．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．（3分）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为x cm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（ ）
A．x＝2，t=74
B．x＝2，t=74或x=207，t＝147
C．x＝2，t＝1
D．x＝2，t＝1或x=207，t=74
8．（3分）如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＝70°，将纸片折叠，使点C，D落在边AB上的点C′，D′处，折痕为MN．若∠MNC′＝85°，则∠AC′N的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（ ）个．
A．0B．1C．3D．4
10．（3分）如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC＝CD，连接AB、ED，AB＝DE．若AC＝3.5，BD＝9，则CE的长为（ ）
A．5.5B．2.5C．3D．2
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC边上的高为3，D是BC边上的动点（不含顶点B，C）．当线段AD的长为正整数时，AD＝ ．
12．（3分）如图，点A、B分别在射线OM、ON上，AC是∠MAB的平分线，AC的反向延长线与∠OBA的平分线交于点D，若∠AOB＝72°，则∠D＝ 度．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝6，AB＝8，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积为 ．
14．（3分）在△ABC中，如果AB＝5，BC＝8，那么 ＜AC＜ ．
15．（3分）如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝ ．
16．（3分）若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 度．
17．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC垂足为N，连接PM，有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为32，③CF2＝GE•AE，④S△ADM＝42．其中正确的有 ．（填序号）
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）已知a，b，c满足|a﹣3|+b−4+（c﹣4）2＝0．
（1）求a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE是∠DAC的 ．
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC＝110°．
（1）求∠ABE的度数．
（2）求证：DF∥BE．
22．（6分）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，已知∠ABE＝∠ACE，∠BED＝∠CED．试说明BE＝CE的理由．
23．（6分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，请写出EF与BE，FD之间的数量关系，并证明．
24．（8分）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE的度数是 ；
②若∠A＝70°，则∠BGE ；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系，不需说理．
25．（8分）如图，已知AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB的延长线上．
（1）求证：∠ADC＝∠BEC．
（2）当∠ADC＝30°时，求∠ACE的度数．
2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，长方形的纸ABCD，将C角折起到E处，FH平分∠EFB，则∠GFH为（ ）
A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定
【考点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】利用折叠的性质，可得出∠CFG＝∠EFG，利用角平分的定义，可得出∠EFH＝∠BFH，结合∠CFG+∠EFG+∠EFH+∠BFH＝180°，可得出∠EFG+∠EFH＝∠GFH＝90°，即∠GFH为直角．
【解答】解：由折叠的性质可知：∠CFG＝∠EFG．
∵FH平分∠EFB，
∴∠EFH＝∠BFH．
∵∠CFG+∠EFG+∠EFH+∠BFH＝180°，即2（∠EFG+∠EFH）＝180°，
∴∠EFG+∠EFH＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴∠GFH为直角．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，找出∠EFG+∠EFH＝90°是解题的关键．
2．（3分）已知三角形的三边长分别为2，4，m，则m的值不可能的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围选择．
【解答】解：∵4+2＝6，4﹣2＝2，
∴2＜m＜6，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的三边性质，需要熟练掌握．
3．（3分）如图，直线a∥b，∠A＝38°，∠1＝46°，则∠2的度数是（ ）
A．84°B．96°C．104°D．106°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】先利用平行线的性质可得：∠1＝∠ABC＝46°，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝∠ABC＝46°，
∵∠2是△ABC的一个外角，
∴∠2＝∠A+∠ABC＝46°+38°＝84°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据多边形外角和定理可计算出多边形的内角和，根据多边形内角和定理（n﹣2）×180°即可算出多边形的边数．
【解答】解：这个多边形的内角和为360°×4＝1440°，
设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1440°，
解得：n＝10，
这个多边形的边数是10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角与外角和定理进行求解是解决本题的关键．
5．（3分）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠DGB＝66°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠B的度数为（ ）
A．24°B．25°C．30°D．35°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠E，∠B＝∠D再求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝105°，
∴∠ACB＝∠E＝105°，∠B＝∠D，
∴∠ACF＝180°﹣105°＝75°，
在△ACF和△DGF中，∠AFC＝∠DFG，
∴∠D+∠DGB＝∠DAC+∠ACF，
即∠D+66°＝16°+75°，
∴∠D＝25°，
∴∠B＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【考点】角平分线的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．
【解答】解：作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE＝EF，
∵DE＝2，
∴EF＝2，
∵BC＝8，
∴S△BCE=BC⋅EF2=8×22=8，
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．
7．（3分）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为x cm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（ ）
A．x＝2，t=74
B．x＝2，t=74或x=207，t＝147
C．x＝2，t＝1
D．x＝2，t＝1或x=207，t=74
【考点】全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】分两种情况：①△ACP≌△BPQ时AC＝BP，AP＝BQ，②△ACP≌△BQP时AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可
【解答】解：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x=207，t=74．
故选：D．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．
8．（3分）如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＝70°，将纸片折叠，使点C，D落在边AB上的点C′，D′处，折痕为MN．若∠MNC′＝85°，则∠AC′N的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【考点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】三角形；展开与折叠；推理能力．
【答案】C
【分析】由折叠的性质得∠MNC＝∠MNC'＝85°，即可求出∠BNC'的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠AC′N的度数．
【解答】解：由折叠的性质得∠MNC＝∠MNC'，
∵∠MNC′＝85°，
∴∠CNC′＝2×85°＝170°，
∴∠BNC'＝180°﹣∠CNC′＝180°﹣170°＝10°，
∵∠AC′N是△BNC'的外角，∠B＝70°，
∴∠AC′N＝∠B+∠BNC'＝70°+10°＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，折叠的性质，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（ ）个．
A．0B．1C．3D．4
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】作KC⊥CA交AD的延长线于K．通过证明△BHN≌△AHD，△ABM≌△CAK，△CDM≌△CDK即可解决问题．
【解答】解：如图，作KC⊥CA交AD的延长线于K．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
∴AH＝BH＝CH，
∵AD⊥BM，
∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，
∵∠BNH＝∠ANE，
∴∠HBN＝∠DAH，
∴△BHN≌△AHD（ASA），
∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确，
∵∠BAM＝∠ACK＝90°，
∴∠BAE+∠CAK＝90°，
∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAK，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△CAK（ASA），
∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，
∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDK（SAS），
∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，
∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC＝CD，连接AB、ED，AB＝DE．若AC＝3.5，BD＝9，则CE的长为（ ）
A．5.5B．2.5C．3D．2
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】先依据“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEC全等，则AC＝CD＝3.5，CE＝CB，进而得CE＝CB＝5.5，由此即可得出答案．
【解答】解：∵EC⊥BD，
∴△ABC和△DEC均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
AB=DEAC=CD，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴AC＝CD，CE＝CB，
∵AC＝3.5，BD＝9，
∴CD＝3.5，
∴CB＝BD﹣CD＝9﹣3.5＝5.5，
∴CE＝CB＝5.5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC边上的高为3，D是BC边上的动点（不含顶点B，C）．当线段AD的长为正整数时，AD＝ 3或4或5 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】3或4或5．
【分析】作AE⊥BC于点E，则AE＝3，由AB＝AC＝6，D是BC边上的动点且不与点B、点C重合，得3≤AD＜6，而线段AD的长为正整数，所以AD＝3或4或5，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AE⊥BC于点E，
∵BC边上的高为3，
∴AE＝3，
∵AB＝AC＝6，D是BC边上的动点且不与点B、点C重合，
∴AE≤AD＜AB，
∴3≤AD＜6，
∵线段AD的长为正整数，
∴AD＝3或4或5，
故答案为：3或4或5．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．（3分）如图，点A、B分别在射线OM、ON上，AC是∠MAB的平分线，AC的反向延长线与∠OBA的平分线交于点D，若∠AOB＝72°，则∠D＝ 36 度．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】36．
【分析】利用三角形的外角性质及角平分线的定义可用∠ABO表示出∠CAB和∠ABD的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠D的度数．
【解答】解：∵∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝72°+∠ABO，AC平分∠MAB，
∴∠CAB=12∠MAB＝36°+12∠ABO．
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABD=12∠ABO．
又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，
∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝36°+12∠ABO−12∠ABO＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，利用三角形的外角性质及角平分线的定义，用∠ABO表示出∠CAB和∠ABD的度数是解题的关键．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝6，AB＝8，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积为 42 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】42．
【分析】作CE⊥AD的延长线于E，则CE＝BC＝6，根据SABCD=S△ACD+S△ABC=12AD⋅CE+12AB⋅BC，计算求解即可．
【解答】解：如图，作CE⊥AD的延长线于E，
由角平分线的性质可知：CE＝BC＝6，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=12AD⋅CE+12AB⋅BC=12×6×6+12×8×6=42，
故答案为：42．
【点评】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．（3分）在△ABC中，如果AB＝5，BC＝8，那么 3 ＜AC＜ 13 ．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】3，13．
【分析】根据三角形三条边的关系求解即可．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝8，
∴8﹣5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13．
故答案为：3，13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
15．（3分）如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝ 125 ．
【考点】三角形的面积．
【专题】面积法；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】125．
【分析】由三角形面积公式得S△ABC=12BC•AD=12AB•AC，则BC•AD＝AB•AC，即可得出结论．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC•AD=12AB•AC，
∴BC•AD＝AB•AC，
∴AD=AB⋅ACBC=3×45=125，
故答案为：125．
【点评】本题考查了三角形面积，熟记三角形面积公式是解题的关键．
16．（3分）若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 1080 度．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】1080．
【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．
故答案为：1080．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
17．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为 1或3.5或12 ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】1或3.5或12．
【分析】分4种情况求解：①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时．
【解答】解：∵△PEC与△QFC全等，
∴斜边CP＝CQ，有四种情况：
①P在AC上，Q在BC上，
CP＝12﹣2t，CQ＝16﹣6t，
∴12﹣2t＝16﹣6t，
∴t＝1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
∴CP＝12﹣2t＝6t﹣16，
∴t＝3.5；
③P到BC上，Q在AC时，此时不存在；
理由是：28÷6=143，12÷2＝6，即Q在AC上运动时，P点也在AC上运动；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
∵CP＝CQ＝AC＝12．CP＝12﹣2t，
∴2t﹣12＝12，
∴t＝12符合题意；
当点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等，
故答案为：1或3.5或12．
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC垂足为N，连接PM，有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为32，③CF2＝GE•AE，④S△ADM＝42．其中正确的有 ①③④ ．（填序号）
【考点】轴对称﹣最短路线问题；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】①③④．
【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE＝∠FDC，通过等量转化即可求证AG⊥DM，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG≌△AMG（ASA），从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE∽△DGE推出DE2＝GE•AE，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM和CM长度，最后通过面积法即可求证④的结论正确；结合①中的结论和③的结论可求出PM+PN的最小值，从而证明②不对．
【解答】解：∵ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵BF＝CE，
∴DE＝FC，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADG+∠FDC＝90°，
∴∠ADG+∠DAE＝90°，
∴∠AGD＝∠AGM＝90°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAG＝∠MAG，
∵AG＝AG，
∴△ADG≌△AMG（ASA），
∴DG＝GM，
∵∠AGD＝∠AGM＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
由①可知，∠ADE＝∠DGE＝90°，∠DAE＝∠GDE，
∴△ADE∽△DGE，
∴DEGE=AEDE，
∴DE2＝GE•AE，
由①可知DE＝CF，
∴CF2＝GE•AE．
故③正确；
∵ABCD为正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝AD＝4，
在Rt△ABC中，AC=2AB=42，
由①可知，△ADG≌△AMG（ASA），
∴AM＝AD＝4，
∴CM=AC−AM=42−4．
由图可知，△DMC和△ADM等高，设高为h，
∴S△ADM＝S△ADC﹣S△DMC，
∴4×ℎ2=4×42−(42−4)⋅ℎ2，
∴ℎ=22，
∴S△ADM=12⋅AM⋅ℎ=12×4×22=42．
故④正确，
由①可知，△ADG≌△AMG（ASA），
∴DG＝GM，
∴M关于线段AG的对称点为D，过点D作DN′⊥AC，交AC于N′，交AE于P′，
∴PM+PN最小即为DN′，如图所示，
由④可知△ADM的高ℎ=22即为图中的DN′，
∴DN′=22，
故②不正确，
综上所述，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）已知a，b，c满足|a﹣3|+b−4+（c﹣4）2＝0．
（1）求a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）a＝3，b＝4，c＝4；
（2）能构成三角形，11．
【分析】（1）直接利用绝对值以及二次根式和偶次方的性质化简得出答案；
（2）利用三角形三边关系得出能构成三角形，进而得出三角形的周长．
【解答】解：（1）根据题意得：a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣4＝0，
解得：a＝3，b＝4，c＝4；
（2）∵3+4＞4，
即a+b＞c，
∴能构成三角形，
∴C△ABC＝3+4+4＝11．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系以及绝对值、二次根式和偶次方的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 垂直平分线 ，射线AE是∠DAC的 角平分线 ．
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；尺规作图；推理能力．
【答案】（1）垂直平分线，角平分线；
（2）30°．
【分析】（1）根据作图痕迹判断即可．
（2）由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝35°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线；
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝35°，
∵∠B＝35°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝95°﹣35°＝60°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=12∠CAD=12×60°＝30°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图形信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC＝110°．
（1）求∠ABE的度数．
（2）求证：DF∥BE．
【考点】多边形内角与外角；角平分线的定义；平行线的判定．
【答案】（1）35°；（2）见解析．
【分析】（1）首先根据多边形的内角和定理，即可求得∠ABC的度数，再根据BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数；
（2）首先根据角平分线的定义，即可求得∠ADF＝55°，再根据三角形内角和定理，即可求得∠AFD＝35°，可得∠AFD＝∠ABE，据此即可证得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，
∠A+∠C+∠ADC+∠ABC＝360°，
∴∠ABC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ADC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=12×70°=35°．
（2）证明：∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=12∠ADC=12×110°=55°，
∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣∠ADF﹣∠A＝180°﹣55°﹣90°＝35°，
∵∠ABE＝35°，
∴∠AFD＝∠ABE，
∴DF∥BE．
【点评】本题考查了角平分线的定义，多边形及三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握和运用相关角的计算及关系是解决本题的关键．
22．（6分）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，已知∠ABE＝∠ACE，∠BED＝∠CED．试说明BE＝CE的理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解析部分．
【分析】证明△AEB≌△AEC（AAS），可得结论．
【解答】证明：∵∠AEB＝180°﹣∠BED，∠AEC＝180°﹣∠CED，
又∵∠BED＝∠CED，
∴∠AEB＝∠AEC，
在△AEB和△AEC中，
∠ABE=∠ACE∠AEB=∠AECAE=AE，
∴△AEB≌△AEC（AAS），
∴BE＝CE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．
23．（6分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，请写出EF与BE，FD之间的数量关系，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）EF＝BE﹣FD，理由见解答过程．
【分析】（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，利用SAS证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得出AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，进而得出∠GAE＝∠EAF，利用SAS证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解；
（2）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
【解答】（1）证明：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
在△ABG和△ADF中，
AB=AD∠ABG=∠DBG=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠FAD+∠BAE，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF=12∠BAD，
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE+BG，
∴EF＝BE+FD；
（2）解：EF＝BE﹣FD，理由如下：
在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABG与△ADF中，
AB=AD∠B=∠ADFBG=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的．
24．（8分）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE的度数是 50 ；
②若∠A＝70°，则∠BGE 55° ；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系，不需说理．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）①50°；②55°；③90°−12∠A，理由见解答；（2）点E在射线DC上运动时，∠BGE=12∠A．
【分析】（1）①根据角平分线的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解；
②根据三角形内角和定理先求出∠ABC+∠C，再利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解；
③由②即可推出数量关系；
（2）分为点E在线段CD上和点E在DC的延长线上，分别作出图形，即可求解．
【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝20°，
∵EF∥BC，∠C＝60°，
∴∠CEF＝∠C＝60°，∠EFG＝∠CBD＝20°，
∵EG平分∠CEF，
∴∠FEG＝∠DEG＝30°，
∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝50°；
②∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠C＝180°﹣∠A＝110°，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠DEF，
∴∠ABC+∠DEF＝110°，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD=12∠ABC，∠FEG=12∠DEF，
∴∠CBD+∠FEG=12∠ABC+12∠DEF=12×110°＝55°，
∵EF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBD，
∴∠EFG+∠FEG＝55°，
∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝55°；
③∵∠ABC+∠C＝180°﹣∠A，EF∥BC，
∴∠C＝∠DEF，
∴∠ABC+∠DEF＝180°﹣∠A，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD=12∠ABC，∠FEG=12∠DEF，
∴∠CBD+∠FEG=12∠ABC+12∠DEF=12×（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，
∵EF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBD，
∴∠EFG+∠FEG＝90°−12∠A，
∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝90°−12∠A；
故答案为：50，55°；
（2）当点E在线段CD上，若GE交BC于点H，
由（1）知：∠1=12∠ABC，∠2=12∠CEF，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝180°﹣∠C，
∴∠2＝∠3=12（180°﹣∠C），
∵∠1+∠A+∠BDA＝180°，∠3+∠BGE+∠EDG＝180°，且∠BDA＝∠EDG，
∴∠3+∠BGE＝∠1+∠A，∠BGE＝∠1+∠A﹣∠3，
即∠BGE=12∠ABC+∠A−12（∠180°﹣∠C）
=12∠ABC+∠A﹣90°+12∠C
=12（∠ABC+∠C）+∠A﹣90°
=12（180°﹣∠A）+∠A﹣90°
＝90°−12∠A+∠A﹣90°
=12∠A；
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想，难点在于（2）需要考虑点E在线段CD上和点E在DC的延长线上．
25．（8分）如图，已知AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB的延长线上．
（1）求证：∠ADC＝∠BEC．
（2）当∠ADC＝30°时，求∠ACE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）105°．
【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE＝90°得到∠ACD＝∠BCE，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BEC＝∠ADC＝30°，推出△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠CAB＝45°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCEDC=EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC；
（2）解：∵∠ADC＝30°，△ACD≌△BCE，
∴∠BEC＝∠ADC＝30°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACE＝180°﹣∠CAB﹣∠BEC，
＝180°﹣45°﹣30°
＝105°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
4．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
5．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
6．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
7．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
8．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
9．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
10．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
11．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
12．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
15．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
19．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
20．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
B
C
D
C
A
A