2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考1

这是一份2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考1，共32页。试卷主要包含了计算，一定不在第 　 　 象限，，则a的值为 　 　 等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列说法正确的有 ．（填序号）
①81的平方根是±9；
②a一定是正数；
③9=±3；
④若x2＝36，则x＝±36=±6；
⑤﹣6是（﹣6）2的平方根；
⑥（﹣6）2的平方根是﹣6；
⑦若(−a)2=5，则a＝﹣5；
⑧若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．
2．（2分）计算：35+25= ．
3．（2分）计算(−22)2的结果是 ．
4．（2分）计算：24÷3×2= ．
5．（2分）在有理数−94，−3，0，4中，最小的数是 ．
6．（2分）根据表格估算314≈ ．（精确到0.1）
7．（2分）用四舍五入法把1.8059精确到百分位为 ．
8．（2分）在平面直角坐标系内，点P（m，m+3）一定不在第 象限．
9．（2分）如图，点A、B分别在x轴、y轴上，OA＝OB，分别以点A、B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（2a，3a﹣4），则a的值为 ．
10．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为 ．
11．（2分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为40°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 ．
12．（2分）如果等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，那么它的周长为 cm．
13．（2分）若（3，2）与（m，6）两个点的连线与y轴平行，则m的值为 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C．点B的对应点B1在边AC上（不与点A、C重合）．若∠AA1B1＝20°，则∠B的度数为 ．
二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）
15．（3分）下列数中，是无理数的是（ ）
A．13B．3C．πD．4.1
16．（3分）已知直线BC，嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线，他们的方法如下：
下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉和琪琪的方法都正确
B．嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确
C．嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确
D．嘉嘉和琪琪的方法都不正确
17．（3分）下面的判断中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，如果AB＝AC，且∠A＝∠B，那么△ABC为等边三角形
B．在△ABC中，如果AB＝AC，且∠B＝∠C，那么△ABC为等边三角形
C．在△ABC中，如果∠A＝60°，∠B＝60°，那么△ABC为等边三角形
D．在△ABC中，如果AB＝AC，∠B＝60°，那么△ABC为等边三角形
18．（3分）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（ ）
A．2.604≈2.60（精确到十分位）
B．0.0234≈0.0（精确到0.1）
C．39.37亿≈39亿（精确到个位）
D．12345670≈12450000（精确到万位）
三．解答题（共1小题，满分20分，每小题20分）
19．（20分）计算：
（1）3﹣4；
（2）(−14+56−58)×(−24)；
（3）﹣22÷|6﹣10|﹣3×（﹣1）2023；
（4）（﹣3）3﹣|﹣2|+3−8×16．
四．解答题（共5小题，满分40分）
20．（7分）如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC．
（1）AC的长等于 ，△ABC的面积等于 ；
（2）将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 ；
（3）将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则B点对应点B1的坐标是 ．
21．（8分）已知：点B、F、C、E在同一条直线上，FB＝CE，AC＝DF．现给出下列条件：①AB＝ED；②∠A＝∠D＝90°；③∠ACB＝∠DFE．请你从上面三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得AB∥ED成立，并给出证明．
答：我选择的条件是： ；
我的证明过程如下： ．
22．（8分）如图，已知：点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝CE；
求证：∠B+∠BCF＝180°．
23．（8分）已知：如图所示，点F，C在BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：AC∥DF．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，过点D作DE∥BC，与AB交于点E，过点E作EF∥AC，与BC交于点F．
（1）判断四边形DEFC的形状，并说明理由；
（2）若∠BDC＝2∠BEF，BD＝2，则AC的长为 ．
2025-2026学年上学期上海初中数学八年级开学模拟考1
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
一．填空题（共14小题，满分28分，每小题2分）
1．（2分）下列说法正确的有 ④⑤ ．（填序号）
①81的平方根是±9；
②a一定是正数；
③9=±3；
④若x2＝36，则x＝±36=±6；
⑤﹣6是（﹣6）2的平方根；
⑥（﹣6）2的平方根是﹣6；
⑦若(−a)2=5，则a＝﹣5；
⑧若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．
【考点】平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】④⑤．
【分析】根据平方根及算术平方根的定义进行逐项判断即可．
【解答】解：81=9，其平方根是±3，则①错误；
当a＝0时，a=0，则②错误；
9=3，则③错误；
若x2＝36，则x＝±36=±6，则④正确；
﹣6是（﹣6）2的平方根，则⑤正确；
（﹣6）2的平方根是±6，则⑥错误；
若(−a)2=5，则a＝±5，则⑦错误；
互为相反数的两个数的平方也相等，则⑧错误；
综上，说法正确的有④⑤，
故答案为：④⑤．
【点评】本题考查平方根及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2分）计算：35+25= 55 ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】55．
【分析】根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【解答】解：35+25=55，
故答案为：55．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2分）计算(−22)2的结果是 22 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】22．
【分析】利用二次根式的性质解答即可．
【解答】解：(−22)2
＝|﹣22|
＝22．
故答案为：22．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质a2=|a|解答是解题的关键．
4．（2分）计算：24÷3×2= 4 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则，从左到右进行运算．
【解答】解：原式=8×2
=16=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的乘除混合运算，从左到右进行运算是解题的关键．若先算乘法，则计算将出错．
5．（2分）在有理数−94，−3，0，4中，最小的数是 ﹣3 ．
【考点】有理数大小比较．
【专题】数形结合；实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣3＜−94＜0＜4，
∴最小的数是：﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
6．（2分）根据表格估算314≈ 2.4 ．（精确到0.1）
【考点】立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2.4．
【分析】根据立方根的定义结合表格中的数据估算314的大小即可．
【解答】解：由表格中的数据可知13.824＜14＜15.625，
∴2.4＜314＜2.5，
又∵2.453≈14.706，
∴2.4＜314＜2.45，
∴314≈2.4，
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义以及无理数的估算是解题的关键．
7．（2分）用四舍五入法把1.8059精确到百分位为 1.81 ．
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】1.81．
【分析】把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法把1.8059精确到百分位：1.81．
故答案为：1.81．
【点评】本题考查了近似数和有效数字，掌握“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式是关键．
8．（2分）在平面直角坐标系内，点P（m，m+3）一定不在第 四 象限．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】四．
【分析】根据m的取值判断出相应的象限是解决本题的关键．判断出P的横纵坐标的符号，进而判断出相应象限即可．
【解答】解：当m为正数的时候，一定m+3为正数，
所以点P（m，m+3）可能在第一象限；
当m为负数的时候，m+3可能是负数，也可能为正数，
∴P（m，m+3）可能在第二象限，或第三象限，
∴点P（m，m+3）一定不在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握各个象限点的坐标特征．
9．（2分）如图，点A、B分别在x轴、y轴上，OA＝OB，分别以点A、B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（2a，3a﹣4），则a的值为 4 ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】4．
【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：由题意得，点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P的坐标为（2a，3a﹣4），
∴2a＝3a﹣4，
∴a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，角平分线的作法，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
10．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为 （4，﹣4） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；符号意识．
【答案】（4，﹣4）．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点A（﹣4，﹣4）关于y轴对称点的坐标为（4，﹣4）．
故答案为：（4，﹣4）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
11．（2分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为40°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 80° ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】新定义；推理能力．
【答案】80°．
【分析】根据半角三角形的定义得出β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．
【解答】解：∵α＝40°，
∴β＝2α＝80°，
∴第三个角的度数＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴最大内角的度数80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
12．（2分）如果等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，那么它的周长为 15 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为题中没有说明已知两边哪个是底，哪个是腰，所以要分情况进行讨论
【解答】解：当三边是3cm，3cm，6cm时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是6cm，6cm，3cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是6+6+3＝15cm．
故答案为：15．
【点评】考查了等腰三角形的性质，此类题注意分情况讨论，还要看是否符合三角形的三边关系．
13．（2分）若（3，2）与（m，6）两个点的连线与y轴平行，则m的值为 3 ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据横坐标相等的两点的连线平行于y轴，据此解答即可．
【解答】解：∵（3，2）与（m，6）两个点的连线与y轴平行，
∴m＝3，
∴m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握横坐标相等的两点的连线平行于y轴，纵坐标相等的连点的连线平行于x轴．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C．点B的对应点B1在边AC上（不与点A、C重合）．若∠AA1B1＝20°，则∠B的度数为 65° ．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】65°．
【分析】由旋转知AC＝A1C，∠BAC＝∠CA1B1，∠ACA1＝90°，从而得出△ACA1是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A1C，∠BAC＝∠CA1B1，∠ACA1＝90°，
∴△ACA1是等腰直角三角形，
∴∠CA1A＝45°，
∵∠AA1B1＝20°，
∴∠CA1B1＝25°，
∴∠BAC＝25°，
∴∠B＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应角相等、对应线段相等是解题的关键．
二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）
15．（3分）下列数中，是无理数的是（ ）
A．13B．3C．πD．4.1
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可．
【解答】解：13，3，π，4.1中，是无理数的是π；
故选：C．
【点评】本题考查无理数，解题的关键是理解无理数的定义．
16．（3分）已知直线BC，嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线，他们的方法如下：
下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉和琪琪的方法都正确
B．嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确
C．嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确
D．嘉嘉和琪琪的方法都不正确
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此分析作答即可．
【解答】解：嘉嘉的做法是通过同位角相等，两直线平行，得出BC∥DE；
琪琪的做法是通过内错角相等，两直线平行，得出BC∥DE；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
17．（3分）下面的判断中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，如果AB＝AC，且∠A＝∠B，那么△ABC为等边三角形
B．在△ABC中，如果AB＝AC，且∠B＝∠C，那么△ABC为等边三角形
C．在△ABC中，如果∠A＝60°，∠B＝60°，那么△ABC为等边三角形
D．在△ABC中，如果AB＝AC，∠B＝60°，那么△ABC为等边三角形
【考点】等边三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：A、AB＝AC，那么∠B＝∠C，∠A＝∠B，则三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和定理，那么三个内角的度数都是60°，因此三角形ABC是等边三角形，不符合题意；
B、AB＝AC，那么∠B＝∠C，但是无法证明AB＝AC＝BC，因此三角形ABC是等腰三角形，而不一定是等边三角形，符合题意；
C、三角形中有两个角是60°，那么另外的一个一定是60°，三内角相等那么此三角形一定是等边三角形，不符合题意；
D、AB＝AC，那么∠B＝∠C＝60°，那么三角形的另一个内角也一定是60°，因此此三角形一定是等边三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，关键是灵活运用等边三角形的判定解决问题．
18．（3分）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（ ）
A．2.604≈2.60（精确到十分位）
B．0.0234≈0.0（精确到0.1）
C．39.37亿≈39亿（精确到个位）
D．12345670≈12450000（精确到万位）
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：A．2.604≈2.60（精确到百分位），所以A选项不符合题意；
B．0.0234≈0.0（精确到0.1），所以B选项符合题意；
C．39.37亿≈39亿（精确到亿位），所以C选项不符合题意；
D．12345670≈1.235×107（精确到万位），所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．
三．解答题（共1小题，满分20分，每小题20分）
19．（20分）计算：
（1）3﹣4；
（2）(−14+56−58)×(−24)；
（3）﹣22÷|6﹣10|﹣3×（﹣1）2023；
（4）（﹣3）3﹣|﹣2|+3−8×16．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）﹣1；（2）1；（3）2；（4）﹣37．
【分析】（1）根据有理数的减法法则运算即可；
（2）根据乘法分配律进行运算即可；
（3）先乘方去绝对值再乘除最后算加减；
（4）根据平方根立方根性质和乘方运算法则进行运算即可．
【解答】解：（1）3﹣4
＝3+（﹣4）
＝﹣1；
（2）(−14+56−58)×(−24)
=−14×(−24)+56×(−24)−58×(−24)
＝6﹣20+15
＝1；
（3）﹣22÷|6﹣10|﹣3×（﹣1）2023
＝﹣4÷4﹣3×（﹣1）
＝﹣1+3
＝2；
（4）（﹣3）3﹣|﹣2|+3−8×16
＝﹣27﹣2﹣2×4
＝﹣27﹣2﹣8
＝﹣37．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
四．解答题（共5小题，满分40分）
20．（7分）如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC．
（1）AC的长等于 10 ，△ABC的面积等于 72 ；
（2）将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 （1，2） ；
（3）将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则B点对应点B1的坐标是 （﹣2，﹣4） ．
【考点】作图﹣旋转变换；勾股定理；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）10，72；
（2）（1，2）；
（3）（﹣2，﹣4）．
【分析】（1）先确定各点的坐标，利用勾股定理，图形分割法计算求解即可；
（2）先确定各点的坐标，利用右加原则，计算求解即可；
（3）先确定各点的坐标，利用旋转的全等性，计算求解即可．
【解答】解：（1）如图，根据题意，得：
A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1），
∴AC=12+32=10；
∴S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=72，
故答案为：10，72．
（2）∵A（﹣1，2），
∴△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，此时A′（﹣1+2，2）即A′（1，2），
故答案为：（1，2）．
（3）根据旋转方向，旋转的性质，得B1（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查了坐标系中勾股定理计算线段长，图形的面积，平移作图，旋转作图，熟练掌握勾股定理，旋转，平移的性质是解题的关键．
21．（8分）已知：点B、F、C、E在同一条直线上，FB＝CE，AC＝DF．现给出下列条件：①AB＝ED；②∠A＝∠D＝90°；③∠ACB＝∠DFE．请你从上面三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得AB∥ED成立，并给出证明．
答：我选择的条件是： ①或③ ；
我的证明过程如下： 选择①．
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE；
选择③
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】推理填空题；图形的全等；推理能力．
【答案】①或③；证明过程见解答．
【分析】可以选择①或③，只要证明△ABC≌△DEF，推出∠B＝∠E，推出AB∥DE即可．
【解答】解：可以选择①或③．
证明：选择①．
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE；
选择③
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
故答案为：①或③；
选择①．
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE；
选择③
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
故答案为：选择①．
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE；
选择③
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）如图，已知：点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝CE；
求证：∠B+∠BCF＝180°．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】证明△AED≌△CEF（SAS），得∠A＝∠ECF，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CF，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
【解答】证明：在△AED和△△CEF中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ECF，
∴AB∥CF，
∴∠B+∠BCF＝180°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
23．（8分）已知：如图所示，点F，C在BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：AC∥DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解析部分．
【分析】根据已知条件利用SAS定理可判定△ABC与△DEF全等，然后由全等三角形的对应角相等可知∠ACB＝∠DFE，可证得AC∥DF．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，
∵∠B＝∠E，BA＝ED，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，过点D作DE∥BC，与AB交于点E，过点E作EF∥AC，与BC交于点F．
（1）判断四边形DEFC的形状，并说明理由；
（2）若∠BDC＝2∠BEF，BD＝2，则AC的长为 1+5 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）四边形DEFC是菱形，理由见解析；（2）1+5．
【分析】（1）先证得四边形DEFC是平行四边形，再根据角平分线的定义结合平行线和等腰三角形的性质证得BE＝EF＝DE，即可证得结论；
（2）由△CBD∽△CAB，推出BC：CA＝CD：BC，得到BC2＝CA•CD＝AC•（AC﹣AD），因此22＝AC•（AC﹣2），即可求出AC＝1+5．
【解答】解：（1）四边形DEFC是菱形，理由如下：
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵EF∥AC，
∴∠BFE＝∠C，
∴∠ABC＝∠BFE，
∴BE＝EF，
∴DE＝EF，
∴四边形DEFC是菱形；
（2）∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠A，
∵∠BDC＝∠ABD+∠A，∠BDC＝2∠BEF，
∴∠ABD＝∠A，
∴∠CBD＝∠A，
∴AD＝DB＝2，
∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C＝∠BDC，
∴BC＝BD＝2，
∵∠BCD＝∠BCA，
∴△CBD∽△CAB，
∴BC：CA＝CD：BC，
∴BC2＝CA•CD＝AC•（AC﹣AD），
∴22＝AC•（AC﹣2），
∴AC＝1+5（舍去负值）．
故答案为：1+5．
【点评】本题考查菱形的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是由平行四边形的性质，等腰三角形的性质推出DE＝EF；证明△CBD∽△CAB，得到BC2＝AC•（AC﹣AD）．
考点卡片
1．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
2．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“−a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
5．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
6．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
7．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
8．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
① a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（ a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③ a2=|a|=a (a＞0)0 (a=0)−a (a＜0)（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
9．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（−4）×（−9）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
10．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
11．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
12．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
13．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
14．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
15．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
16．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
17．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
20．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
21．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
22．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
23．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
24．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
25．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
26．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
x
x3
2.2
10.648
2.3
12.167
2.4
13.824
2.5
15.625
2.6
17.576
题号
15
16
17
18
答案
C
A
B
B
x
x3
2.2
10.648
2.3
12.167
2.4
13.824
2.5
15.625
2.6
17.576