八年级数学开学摸底考（上海专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

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数学•全解全析
（考试时间：100 分钟 试卷满分：100 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版八年级第一学期+第 20 章。
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项.）
1．下列方程中，关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A．
C．
B．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义：“只含有一个未知数，并且未知数项
的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程”．
【解析】解：A．方程
是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．当
时，
不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程
是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程
，未知数的最高次数是 3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．各项化简后，利
用同类二次根式定义判断即可．
【解析】解：A．
与
不是同类二次根式，
B．
与
是同类二次根式，
1 / 22

C．
D．
与
不是同类二次根式，
与
不是同类二次根式，
故选：B．
3．下列函数中，当
A．
时，y 随 x 的增大而增大的是（
B． C．
）
D．
【答案】C
【分析】根据一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【解析】解：A、 ， k＜0，故 y 随着 x 增大而减小，故该选项不符合题意；
B、
C、
， k＜0，故 y 随着 x 增大而减小，故该选项不符合题意；
，k=-5＜0，在每个象限里，y 随 x 的增大而增大，故该选项符合题意；
D、
，k= ＞0，在每个象限里，y 随 x 的增大而减小，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解题
的关键．
4．在
A．
中，
、
、
的对边分别是 a、b、c，下列条件不能说明
是直角三角形的是（
）
B．∠
D．
C．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据
勾股定理及其逆定理可判断 A、D 选项，根据三角形内角和可判断 B、C 选项，从而解题．
【解析】解答：解：
，
，
故 A 能，不符合题意；
，
，
，
，
故 B 能，不符合题意；
，
，
，
故 C 不能，符合题意；
，
2 / 22

，
故 D 能，不符合题意．
故选：C．
5．下列结论正确的是（
）
A．
B．
D．
不是最简二次根式
C．
【答案】D
【分析】本题主要考查了化简二次根式，最简二次根式的定义，二次根式的除法计算，根据
可判断
A、C；被开方数不含有分母且被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，
据此可判断 B；根据二次根式除法计算法则可判断 D．
【解析】解：A、
，原结论错误，不符合题意；
B、
C、
是最简二次根式，原结论错误，不符合题意；
，原结论错误，不符合题意；
D、
，原结论正确，符合题意；
故选：D．
6．在直角坐标平面内，一次函数
的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当
C．当
时，
时，
B．方程
的解是
的解集是
D．不等式
【答案】C
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【解析】解：由函数 的图象可知，
，A 选项错误，不符合题意；
的解是 ，B 选项错误，不符合题意；
，故 C 正确，符合题意；
的解集是 ，故 D 错误，不符合题意．
当
时，
方程
当
时，
不等式
故选：C．
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【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分.）
7．若
是关于 x 的一次函数，则 m 的值为
．
【答案】
【分析】由一次函数的定义得关于 m 的方程，解出方程即可．
【解析】解：∵函数 是关于 x 的一次函数，
∴
，
，
解得：
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，注意自变量 x 的系数不能等
于 0 这个条件．
8．已知一次函数
，则
．
【答案】
【分析】将
代入函数解析式进行计算即可．
，
【解析】解：∵
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
．
9．写出二次根式
的一个有理化因式是
（答案不唯一）
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．
二次根式的有理化的目的就是去掉根号，利用平方差公式可以得到
．
的一个有理化因式是
【解析】解：∵
，
∴
的一个有理化因式是
（答案不唯一）．
．
故答案为：
10．“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是
4 / 22
．

【答案】到角的两边的距离相等的点在角平分线上
【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题.
【解析】“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”．
故答案为：到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论
和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
11．已知反比例函数
的图像上有两点
，如果
时，那么
．
（填“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【解析】解：∵
∴当 时，
∵反比例函数
，
，
随
的增大而减小，
的图像上有两点
，且
，
∴
；
故答案为：
．
12．若 A(8，4)和点 B(5， )间的距离是 5，则
【答案】8 或 0
＝
．
【分析】根据两点的距离公式解答即可.
【解析】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得 k=8 或 0，
故答案为：8 或 0.
【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.
13．函数
的图像不经过第一象限，则 a 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记
题的关键．由函数
关于 的一元一次不等式组，解之即可求出 的取值范围．
【解析】解： 函数 的图像不经过第一象限，
的图象不经过第一象限是解
的图像不经过第一象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出
解得：
，
5 / 22

的取值范围是
．
故答案为：
．
14．在实数范围内因式分解：
．
【答案】
【分析】本题考查在实数范围内因式分解，先令
分解即可．
，利用求根公式求出两个根，根据
【解析】解：令
，
，
，
，
∴
，
故答案为：
．
15．已知直线
平行于直线
，且在 y 轴上的截距是 5，那么这条直线的表达式
．
【答案】
【分析】本题考查了两直线平行问题，解题的关键是掌握平行直线解析式的 k 值相等，以及截距有正负．根
据平行得出
，根据与 y 轴截距为 5 得出
平行于直线
，即可解答．
，
【解析】解：∵直线
∴
，
∵在 y 轴上的截距是 5，
∴
，
∴这条直线的表达式为
，
故答案为：
．
16．已知甲乙两地相距 500 千米，一辆汽车加满 60 升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量 y（升）与
行驶路程 x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为 20 升时，汽车距
离乙地
千米．
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【答案】100
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当
【解析】解：设函数解析式为：
时 的值，最后求出剩余路程．
，
则：
，
解得：
，
，
当
时，
，
解得：
，
（千米），
中，
故答案为：100．
17．如图，在
．
，
，边
的垂直平分线
交
于
，若
，则
【答案】
【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得
，再利用线段垂直平分线的性质可得
，由
等边对等角可得
直角三角形的性质可得
【解析】解：
，然后利用角的和差关系可得
，在
中，由含 度角的
，于是得解．
，
，
，
是
的垂直平分线，
，
，
，
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，
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含 度角的直角
三角形等知识点，熟练掌握含 度角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18．如图，已知直线
：
交
轴负半轴于点 ，交 轴于点 ，点
是
轴上的一点，且
，则 的度数为______________.
【答案】
【分析】令
或
，可得
，令
，可得
，利用勾股定理求出
，可得
，
分两种情况考虑：① 点在 轴正半轴；② 点在 轴负半轴．分别计算出
的和差即为所求度数．
、
度数，两个角
【解析】解： 直线
：
交
，
轴负半轴于点 ，交 轴于点 ，
令
令
，则
，解得
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
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如图，分两种情况考虑：
①当点
在
轴正半轴上时，
，
，
；
轴负半轴上时，
．
②当点
在
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含 度角的直角三角形、等腰直
角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键．
三、解答题（第 19-21 题每小题 3 分，第 22-25 每小题 4 分，第 26-27 题 5 分，第 28 题 6 分，
第 29 题 8 分，第 30 题 9 分，共 58 分）
19．计算：
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算进行计算，即可求解．
【解析】解：
．
20．（1）解方程：
（2）解方程：
；
．
【答案】（1）
，
；（2）
，
【分析】（1）用配方法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是关键．
【解析】解：（1）∵
；
∴
，
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则
∴
∴
∴
，
，
或
，
，
（2）∵
∴整理得
则
，
，
∴
，
∴
，
．
21．已知如图，在
中，
，
，
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含 30 度角的直角三角形的小侄子，
先根据等边对等角得到
，则由三角形内角和定理得到
，进一步证明
，由垂直的定义得到
，得到
，则
．
，则
【解析】证明：∵在
中，
，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
，
，
，
，
，
，
，
．
22．已知关于 x 的一元二次方程
(1)求 的取值范围；
有两个实数根．
(2)设 是方程的一个实数根，且满足
【答案】(1)
，求 的值．
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(2)
【分析】本题考查了根的判别式，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键．
（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于 的不等式，则可求得 的取值范围；
（2）由方程根的定义，可用 表示出 ，代入已知等式可得到关于 的方程。则可求得 的取值范围．
【解析】（1）根据题意，得
，
，
；
（2）
是方程的一个实数根，
，
，
则
，
，
，
解得
或
（舍）
．
23．去年某商店第一季度营业额为 120 万元，第二季度的营业额比第一季度增长了 25%，第三、第四季度
营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为 216 万元．
求：（1）该店第二季度的营业额；
（2）该店第三、第四季度营业额的增长率．
【答案】（1）150 万元；（2）20%
【分析】（1）根据某商店第一季度营业额为 120 万元，第二季度的营业额比第一季度增长了 25%，可以计
算出第二季度的营业额；
（2）根据（1）中的结果和第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为 216 万元，可以
得到方程 150（1＋x）2＝216，然后求解即可．
【解析】解：（1）由题意可得，
第二季度的营业额为：120×（1＋25%）＝120× ＝150（万元），
答：该店第二季度的营业额为 150 万元；
（2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为 x，
150（1＋x）2＝216，
解得 x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去），
1
2
答：该店第三、第四季度营业额的增长率是 20%．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
24．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （提示：求证命
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题的步骤：1．根据题意画出适当的图形；2．根据图形写出已知：…， 求证：…；3．写出证明过程．）
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】如图，根据等腰三角形的性质得，∠A=∠1，∠2=∠B，根据三角形的内角和定理得出，∠1+∠2
+∠A+∠B=180°，代入即可求出∠1+∠2=90°，即可推出答案．
【解析】
已知：如图，在ΔABC 中，CD 是 AB 边上的中线，且 CD= AB．
求证：ΔABC 是直角三角形．
证明：∵CD 是 AB 边上的中线，
∴AD=BD= AB，
又 CD= AB，
∵AD=BD=CD，
∴∠A=∠1，∠2=∠B，
∴∠1+∠2=∠A+∠B，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，
即 2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC 是直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
25．已知
与
成正比例，且
时，
．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)将（1）中函数图象向上平移 5 个单位后得到直线 ，求直线 对应的函数表达式，并回答：点
是
否在直线 上？
【答案】(1)
(2)
，不在
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【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，体现数学中的转化思想，掌握方法很重要：
（1）根据 成正比例，则 ，将 时， 代入计算即可；
（2）根据（1）中函数式和图象平移规律：“上加下减”写出直线 对应的函数表达式，进行验证即可．
与
【解析】（1）解：∵
∴设
与
成正比例，
，
当
时，
,
所以
,
解得，
∴
，
，
∴
故 y 与 x 之间的函数关系式：
；
（2）解：由（1）知：
，
所以将图象向上平移 5 个单位后得到直线
∴直线 对应的函数解析式为
，
，即
，
当
时，
故点
不在直线 上．
26．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点．已知反比例函数
点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，且△AOB 的面积为
（
）的图象经过点 A（2，m），过
．
（1）求 k 和 m 的值；
（2）点 C（x，y）在反比例函数
的图象上，求当 1≤x≤3 时，函数值 y 的取值范围．
13 / 22

【答案】（1）
，
；（2）
．
【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到 m 的值，然后把点 A 的坐标代入
，可求出 k 的值；
（2）先分别求出 x=1 和 3 时，y 的值，再根据反比例函数的性质求解．
【解析】解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴
∴
=
OB•AB=
=
，
，
∴点 A 的坐标为（2， ），把 A（2， ）代入
，
得
=
，
∴
；
（2）∵当 x=1 时，y=1；当
时，
，
又∵反比例函数
∴当 1≤x≤3 时，y 的取值范围为
27．如图，已知：
在
时，y 随 x 的增大而减小，
．
．
(1)尺规作图：在
边上求作一点 ，使得点
到
的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
．
(2)在（1）的条件下，若点
【答案】(1)见详解
(2)见详解
是
的中点，求证：
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，
熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先以点 为圆心，以任意长度为半径作弧，交
于点
，再分别以点
为圆心，以
大于 的长度为半径作弧，交于点 ，作射线
交
于点 ，则
为
的角平分线，根据角
平分线的性质定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，即可获得答案；
（2）由（1）可知， 的角平分线，过点 ，垂足为
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为
作
，结合点
是

的中点，证明
，由全等三角形的性质可证明结论．
【解析】（1）解：如下图，点 即为所求；
（2）由（1）可知，
为
的角平分线，
，垂足为 ，如图，
过点
∴
作
，
∵点
∴
是
的中点，
，
和
在
中，
，
，
∴
∴
．
28．
中，
，点 D、E 分别为边 AB、BC 上的点，且
，
，联结 AE 交
CD 与点 F，点 M 是 AE 的中点，联结 CM 并延长与 AB 交于点 H．
（1）点 F 是 CD 中点时，求证：
（2）求证：
；
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）联结 MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
,根据点 F 是 CD 中点，
即可判断 的垂直平分线；
是
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（2）证明
是
的垂直平分线，可得
，进而在
中，
，等量代换即
可得
【解析】（1）证明：联结 MD．
∵
∴
，
∵点 M 是 AE 的中点，
∴
∴
．同理可证：
，
．
∵点 F 是 CD 中点，
∴
．
（2）证明：∵
，
∴
．
∵点 M 是 AE 的中点，
∴
∵
．
，
∴点 M，点 C 在线段 AD 的垂直平分线上．
∴CM 是线段 AD 的垂直平分线．
∴
∴
∴
∴
，
．
．
中，
．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌
握垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
29．综合与实践—探究特殊三角形中的相关问题．
问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含 60°角的直角三角板 ABC 和 AFE 按如
图 1 所示位置放置．现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 （0°＜ ＜90°），如图 2，AE 与 BC 交于点
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M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P．
(1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角 = 时，△AMC 是等腰三角形；
(2)深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接 AP，CE，那么 AP 所在的直线是线段 CE 的
垂直平分线，请帮他们证明；
(3)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN 是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角 的度数；若不能，请
说明理由．
【答案】(1)60°或 15°
(2)见解析
(3)能，30°或 60°
【分析】（1）分 AM=CM 和 AC=CM 两种情况进行讨论求解即可；
（2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等
三角形的性质得到 AM=AN，证明△MPE≌△NPC，得 PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN 的度数，由旋
转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP 的度数，然后依据
对顶角相等可得到∠ANF 的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN 的度数，于是可
得到∠α的度数．
【解析】（1）解：当 AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC 是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°−30°=60°；
当 AC=CM，即∠CAM=∠CMA 时，△AMC 是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
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综上所述，当旋转角α=60°或 15°时，△AMC 是等腰三角形，
故答案为：60°或 15°；
（2）证明：由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 （0°＜ ＜90°），
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM 与△AFN 中，
，
∴△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
在△MPE 与△NPC 中，
，
∴△MPE≌△NPC(AAS)，
∴PE=PC，
∴点 P 在 CE 的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点 A 在 CE 的垂直平分线上，
∴AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线；
（3）解：△CPN 能成为直角三角形．
如图 1 所示：当∠CNP=90°时，
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∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180° -60° -90°=30°．
∴
=30°．
如图 2 所示：当∠CPN=90°时，
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°，
∴∠ANF=60°，
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°，
∴
=60°．
综上所述， =30°或 60°．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质、
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等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
30．已知一次函数 的图像与坐标轴交于 点（如图），
、
平分
，交 轴于点
．
(1)求点 的坐标和点 的坐标；
(2)求直线 的表达式；
，垂足为 ，交 轴于点 ，连接
平分 ，交 轴于点 ”改变为“点 是线段
(3)过点
作
，试判断
的形状并证明你的结论．
上的一个动点（点 不与点
(4)若将已知条件“
、
重合）”，过点
作
，垂足为 ．设
，
，试求 与 之间的函数关系式，并写出函数
的定义域．
【答案】(1)点 B 的坐标为
，点 E 的坐标为
(2)
(3)
是等腰三角形
，定义域为
(4)
【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的
解析式是解题的关键．
（1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出
解题即可；
长，再利用
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）设点 F 的坐标为
，利用勾股定理得到
，求出点 F 的坐标，然后判断三角
形的形状即可；
（4）先利用勾股定理得到
长，然后根据
，解得
解题计算即可．
【解析】（1）解：令
∴点 B 的坐标为
，则
，
，
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当
时，
，
∴点 A 的坐标为
，
∴
，
过点 E 作
于点 H，
∵
∴
平分
，
，
又∵
，
∴
，
∴点 E 的坐标为
；
（2）设直线
的解析式为
，把
和
代入得：
，解得
的解析式为
，
∴直线
；
（3）设点 F 的坐标为
，
∵
，
∴
，即
（舍去）或
，
解得：
，
∴点 F 的坐标为
，
，
∴
∴
∴
，
是等腰三角形；
（4）解：由勾股定理可得
，
∵
∴
，
，
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又∵
，
∴
，
即
，
∵点 是线段
上的一个动点，
∴
．
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