2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考1

这是一份2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考1，共24页。试卷主要包含了如图，C为线段AB上一动点，衢州钟灵塔的塔基是n边形等内容，欢迎下载使用。
1．长度分别是3，7，x的三条线段可以围成一个三角形，由题意可以列出不等式组（ ）
A．3+x＜77+x＜3x＜10B．3+x≤77+x≤3x＜10
C．3+x＞77+x＞3x＜10D．3+x≥77+x≥3x＜10
2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝42°，∠E＝25°，则∠BAC的度数为（ ）
A．84°B．17°C．67°D．92°
3．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD＝∠D，AE平分∠CAD．
下列说法：①AB∥CD；②AE⊥CD；③S△AEF＝S△BCF；④∠ACB＝∠AEB．其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
4．满足下列条件的两个三角形中，一定全等的是（ ）
A．腰长相等的两个等腰三角形
B．边长相等的两个等边三角形
C．有公共边的两个等腰三角形
D．各有一个角是30°的两个直角三角形
5．如图，点 E、F、C、B在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．BF＝ECB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．∠ACB＝∠DFE
6．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共6小题）
7．衢州钟灵塔的塔基是n边形（n是正整数）．测得塔基所在的n边形的每一个外角均为60°，如图所示，n的值是 ，该n边形的内角和是 ．
8．已知2x−4与（3﹣y）2互为相反数，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
9．如图，AC、BD相交于点O，连接AB，DC，AB＝DC，要使△AOB≌△DOC，则需添加一个条件，这个条件可以是 ．（填一个即可）
10．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的边长为 ．
11．一个三角形有两个内角的度数分别为32°和68°，则这个三角形属于 ．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，且DE＝DC，AC＝BE，若AD＝4，则△ABD的面积为 ．
三．解答题（共4小题）
13．如图，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，过点O作OE⊥AB于点E．
（1）求证：OA＝OB；
（2）若AE＝8，求AB的长．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．求证：CD＝BE．
15．在△ABC中，AB＝AC，点D是边CB上一动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图①，若AB＝5，AE＝4，BD＝2，则CE的长度为 ；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图②，当点D在线段CB上时，试说明α+β＝180°；
②如图③，当点D在线段CB的延长线上时，请你探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
16．某数学小组学习了图形的全等之后，进行了如下研究：
（1）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．
①如图1．当直线m经过∠BAC内部时，在图1中完成，经测量发现，DE |BD﹣CE|；（填“＝”“＜”或“＞”）
②如图2，当直线m经过△ABC外部时，DE，BD，CE间的关系是 ；
（2）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．（1）②中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与说明：如图4，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且DE＝a，F是∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE．若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求∠DFE的度数．
2025-2026学年上学期北京初中数学八年级开学模拟考1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题）
1．长度分别是3，7，x的三条线段可以围成一个三角形，由题意可以列出不等式组（ ）
A．3+x＜77+x＜3x＜10B．3+x≤77+x≤3x＜10
C．3+x＞77+x＞3x＜10D．3+x≥77+x≥3x＜10
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析．
【解答】解：根据题意，得3+x＞77+x＞3x＜10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝42°，∠E＝25°，则∠BAC的度数为（ ）
A．84°B．17°C．67°D．92°
【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由三角形的外角性质得到∠DCE＝∠B+∠E＝67°，∠BAC＝∠ACD﹣∠B，由角平分线定义得到∠ACD＝134°，即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠E＝25°，
∴∠DCE＝∠B+∠E＝67°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠DCE＝134°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝134°﹣42°＝92°．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的外角性质，角平分线定义，关键是由三角形的外角性质得到∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACD﹣∠B．
3．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD＝∠D，AE平分∠CAD．
下列说法：①AB∥CD；②AE⊥CD；③S△AEF＝S△BCF；④∠ACB＝∠AEB．其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的判定与性质；平行线之间的距离．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据∠ABC＝∠D，推导出∠BAD+∠D＝180°，进而得到AB∥CD，即可判断①；利用三角形内角和与角平分线的定义，推导出∠AED＝90°，进而得到AE⊥CD，即可判断②；根据等底等高的三角形面积相等即可推出S△ABE＝S△ABC，可得S△AEF＝S△BCF，即可判断③；依据已知条件无法判定∠AEB＝∠ACB，故④错误．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE=12∠CAD，
∵∠ACD＝∠D，∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥CD，故②正确；
∵AB∥CD，
∴S△ABE＝S△ABC，
∴S△AEF＝S△BCF，故③正确；
∵AB∥CD，AE⊥CD，
∴无法判定∠AEB＝∠ACB，故④错误，
∴①②③正确，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，平行线之间的距离，三角形内角和定理，角平分线的定义以及平行线的判定与性质，解答本题的关键是推出AB∥CD．
4．满足下列条件的两个三角形中，一定全等的是（ ）
A．腰长相等的两个等腰三角形
B．边长相等的两个等边三角形
C．有公共边的两个等腰三角形
D．各有一个角是30°的两个直角三角形
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：A、腰长相等，两腰的夹角不一定相等，两个等腰三角形不一定全等，故A不符合题意；
B、边长相等的两个等边三角形全等，故B符合题意；
C、没有角相等的条件，公共的边也不一定是腰或底，两个等腰三角形不一定全等，故C不符合题意；
D、没有边相等的条件，两个三角形不一定全等，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
5．如图，点 E、F、C、B在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．BF＝ECB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．∠ACB＝∠DFE
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据BF＝EC求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵BF＝EC，
∴BF﹣FC＝EC﹣FC，
即BC＝EF，
AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
6．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC，通过证明△CEG≌△CBH就可以得出CG＝CH，GE＝HB，可以得出△GCH是等边三角形，就可以得出∠GHC＝60°，就可以得出GH∥AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，根据∠AFD＝∠EAB+∠CBD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°，进而得出结论．
【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°．
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°．
∴∠DCE＝∠BCE．
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC．
在△CEG和△CBH中，
∠AEC=∠DBCCE=CB∠DCE=∠BCE，
∴△CEG≌△CBH（ASA），
∴CG＝CH，GE＝HB，
∴△CGH为等边三角形，
∴∠GHC＝60°，
∴∠GHC＝∠BCH，
∴GH∥AB．
∵∠AFD＝∠EAB+∠CBD，
∴∠AFD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°．
∵∠DHC＝∠HCB+∠HBC＝60°+∠HBC，∠DCH＝60°
∴∠DCH≠∠DHC，
∴CD≠DH，
∴AD≠DH．
综上所述，正确的有：①②④⑤．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二．填空题（共6小题）
7．衢州钟灵塔的塔基是n边形（n是正整数）．测得塔基所在的n边形的每一个外角均为60°，如图所示，n的值是 6 ，该n边形的内角和是 720° ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】6；720°．
【分析】根据多边形的外角和及正多边形的性质求得n的值，然后利用多边形的内角和公式即可求得答案．
【解答】解：由题意可得n＝360°÷60°＝6，
则（6﹣2）×180°＝720°，
故答案为：6；720°．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，结合已知条件求得n的值是解题的关键．
8．已知2x−4与（3﹣y）2互为相反数，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 7或8 ．
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】7或8．
【分析】根据2x−4与（3﹣y）2互为相反数得2x−4+（3﹣y）2＝0，再根据非负数性质得x＝2，y＝3，再分两种情况讨论如下：①当x＝2为腰长时，则底边长为y＝3，此时该三角形的三边长分别为2，2，3，根据2+2＞3，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的周长；②当x＝2是底边时，则腰长为y＝3，此时该三角形的三边长分别为2，3，3，根据2+3＞3，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的周长，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵2x−4与（3﹣y）2互为相反数，
∴2x−4+（3﹣y）2＝0，
又∵2x−4≥0，（3﹣y）2≥0，
∴2x−4=03−y=0，解得：x=2y=3，
∵x，y是等腰三角形两边的长，
∴有以下两种情况：
①当x＝2为腰长时，则底边长为y＝3，
此时该三角形的三边长分别为：2，2，3，
∵2+2＞3，符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的周长为：2+2+3＝7；
②当x＝2是底边时，则腰长为y＝3，
此时该三角形的三边长分别为：2，3，3，
∵2+3＞3，符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的周长为：2+3+3＝8．
综上所述：以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是7或8．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．
9．如图，AC、BD相交于点O，连接AB，DC，AB＝DC，要使△AOB≌△DOC，则需添加一个条件，这个条件可以是 ∠A＝∠D（答案不唯一） ．（填一个即可）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】∠A＝∠D（答案不唯一）．
【分析】由全等三角形的判定定理，即可得到答案．
【解答】证明：在△AOB和△DOC中，
∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=DC，
∴△AOB≌△DOC（AAS）．
∴要使△AOB≌△DOC，添加一个条件可以是∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
10．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的边长为 5 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】5．
【分析】过点D作EF⊥l1交l1于点E，交l3于点F，可得EF⊥l2，EF⊥l3，再证明△ADE≌△DCF，可得AE＝DF＝2，DE＝CF＝1，然后由勾股定理，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作EF⊥l1交l1于点E，交l3于点F，
∵l1∥l2∥l3，
∴EF⊥l2，EF⊥l3，
∴∠AED＝∠ADC＝∠CFD＝90°，DE＝1，DF＝2，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE＝DF＝2，DE＝CF＝1，AD=DE2+AE2=5，
即正方形的边长为5．
故答案为：5．
【点评】本题利用了全等三角形的判定的性质，勾股定理，正方形的性质求解，作辅助线，构建三角形全等是关键．
11．一个三角形有两个内角的度数分别为32°和68°，则这个三角形属于 锐角三角形 ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】锐角三角形．
【分析】根据个三角形有两个内角的度数分别为32°和68°和三角形内角和是180°，可以计算出第三个内角的度数，然后即可判断这个三角形的形状．
【解答】解：∵一个三角形有两个内角的度数分别为32°和68°，
∴第三个角的度数为：180°﹣32°﹣68°＝80°，
∴这个三角形属于锐角三角形，
故答案为：锐角三角形．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是求出第三个角和明确三角形的按角分的方法．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，且DE＝DC，AC＝BE，若AD＝4，则△ABD的面积为 8 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】由AD是BC边上的高，证明∠BDE＝∠ADC＝90°，而BE＝AC，DE＝DC，即可根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△ADC，得BD＝AD＝4，则S△ABD=12BD•AD＝8，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝4，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
BE=ACDE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴BD＝AD＝4，
∴S△ABD=12BD•AD=12×4×4＝8，
故答案为：8．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明Rt△BDE≌Rt△ADC是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
13．如图，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，过点O作OE⊥AB于点E．
（1）求证：OA＝OB；
（2）若AE＝8，求AB的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）16．
【分析】（1）根据SAS证明△ABC≌△BAD，得到∠ABC＝∠BAD，根据等腰三角形的判定即可证得OA＝OB；
（2）根据等腰三角形的性质得到AB＝2AE，即可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC与△BAD中，
AC=BD∠BAC=∠ABD=90°AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠ABC＝∠BAD，
∴OA＝OB；
（2）解：由（1）知OA＝OB，
又∵OE⊥AB，
∴AB＝2AE＝2×8＝16．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，正确证明△ABC≌△BAD是解决本题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．求证：CD＝BE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】由“AAS”可证△CAD≌△BCE，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∵∠ACB＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA，
在△CAD和△BCE中，
∠ADC=∠E=90°∠DCA=∠EBCAC=BC，
∴△CAD≌△BCE（AAS），
∴CD＝BE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，由“AAS”可证△CAD≌△BCE是解题的关键．
15．在△ABC中，AB＝AC，点D是边CB上一动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图①，若AB＝5，AE＝4，BD＝2，则CE的长度为 2 ；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图②，当点D在线段CB上时，试说明α+β＝180°；
②如图③，当点D在线段CB的延长线上时，请你探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）①证明见解析过程；
②β＝α，理由见解答过程．
【分析】（1）由已知可以得到△BAD≌△CAE，从而CE＝BD解题即可；
（2）①根据△BAD≌△CAE，可得∠DCE＝∠DCA+∠ACE＝∠DCA+∠B＝180°﹣∠BAC，即α+β＝180°；
②由题意根据△BAD≌△CAE，∠ABD＝∠ACE，最后由∠DCE＝∠ACE﹣∠DCA 及三角形的外角性质可以得到β＝α．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
又AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD＝2，
故答案为：2；
（2）①证明∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴β＝∠DCE＝∠DCA+∠ACE＝∠DCA+∠ABD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
即α+β＝180°；
②解：β＝α，理由如下：
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠DCA＝∠ABD﹣∠DCA＝∠BAC，即β＝α．
【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是解题关键．
16．某数学小组学习了图形的全等之后，进行了如下研究：
（1）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．
①如图1．当直线m经过∠BAC内部时，在图1中完成，经测量发现，DE ＝ |BD﹣CE|；（填“＝”“＜”或“＞”）
②如图2，当直线m经过△ABC外部时，DE，BD，CE间的关系是 DE＝BD+EC ；
（2）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．（1）②中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与说明：如图4，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且DE＝a，F是∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE．若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求∠DFE的度数．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①＝；
②DE＝BD+EC；
（2）仍然成立，理由见解析；
（3）∠DFE＝60°．
【分析】（1）①证明△BAD≌△ACE（AAS），可得BD＝AE，DA＝EC，DE＝|AE﹣DA|，由此即可求解；
②证明△BAD≌△ACE（AAS），可得BD＝AE，DA＝EC，DE＝DA+AE，由此即可求解；
（2）证明△ABD≌△CAE，可知AD＝CE，BD＝AE，由此即可求证；
（3）△ABF与△FAC都是等边三角形，△BFD≌△AFE，由此即可求解．
【解答】解：（1）①DE＝|BD﹣EC|；
证明：如图1.1：
∵∠BAC＝90°，BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，且∠BDA＝∠AEC＝90°，AB＝AC，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，DA＝EC，
∵DE＝AE﹣DA，
∴DE＝|BD﹣EC|；
如图1.2：
同理，△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，DA＝EC，
∵DE＝DA﹣AE，
∴DE＝CE﹣BD，
综上，DE＝|BD﹣EC|；
故答案为：＝；
②DE＝BD+EC；
证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，且∠BDA＝∠AEC＝90°，AB＝AC，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，DA＝EC，
∵DE＝DA+AE，
∴DE＝BD+EC；
故答案为：DE＝BD+EC；
（2）仍然成立，理由如下：
∠BDA＝∠BAC＝∠CEA＝α，
∵∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，∠BAD+∠EAC＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+EC；
（3）由（2）可知：△ABD≌△CAE，∠DBA＝∠CAE，
又∵△ABF与△FAC都是等边三角形，
∴∠ABE＝∠FAC＝60°，
∴∠FBD＝∠FAE，
又∵BF＝FA，
∴△BFD≌△AFE（AAS），
∴∠BFD＝∠AFE，
∵∠BFA＝60°，
∴∠DFE＝60°．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
3．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
4．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
5．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
8．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
9．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
10．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
14．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
15．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．
16．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
A
B
B
C