2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考1

这是一份2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考1，共35页。试卷主要包含了在比例尺是1等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）作为渝昆高铁入川第一站，也是泸州境内第三座高铁站，泸州东站已完成主体工程施工，其总面积为11925平方米．请将11925用科学记数法表示（ ）
A．0.11925×104B．1.1925×104
C．1.1925×105D．11.925×104
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+b＝2abB．（﹣2x2）3＝﹣8x5
C．22×33=65D．27+33=4
3．（4分）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7B．2＜x＜7C．1＜x＜6D．0＜x＜7
4．（4分）关于二次函数y＝x2+2x﹣3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1
B．图象与x轴没有交点
C．顶点坐标为（1，2）
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
5．（4分）如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和（a+b）*的展开式的各项系数，根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017B．2016C．191D．190
6．（4分）如图，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，AO＝5，则OD的长为（ ）
A．7.5B．8C．2.5D．9
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）12和它的相反数之间的整数有 个．
8．（4分）若一个多边形的各边长扩大为原来的5倍，则此多边形的周长扩大为原来的 倍．
9．（4分）在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，如果画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是 厘米．
10．（4分）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是 ．
11．（4分）计算：2ba⋅a24b2c= ．
12．（4分）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=3x(x+1)，则x的值为 ．
13．（4分）已知实数x，y满足x2+5x+y﹣2＝0，则x+y的最大值为 ．
14．（4分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，E为AD上一点，AE＝2ED，那么用a→，b→表示AE→= ．
15．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝|2x+5|的图象上，x1+x2＝m，且当x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为 ．
16．（4分）二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，当0＜x＜3时，则函数值y的取值范围为 ．
17．（4分）比5大且比10小的整数是 ．
18．（4分）如图，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°；射线BD从BC开始绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜135°）且α≠45°），点C关于BD的对称点为C′，直线AC′与BD交于点E，连接CC′，CE，则△CC′E面积的最大值是 ．
三．解答题（共6小题，满分64分）
19．（10分）计算：(12)−2−π0+22−1−812．
20．（10分）解不等式组x−1＞02x+13≤3，并写出它的整数解．
21．（10分）小林同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有打折的．购买数量及消费金额如下表：
（1）直接回答：第 次购买有折扣；
（2）求A，B两种商品的原价；
（3）若小林同学再次以原价购买A，B两种商品共10件（每种商品至少买1件），且消费金额不超过90元，求A商品最多可以购买多少件？
22．（10分）某班6名同学的身高（单位：cm）情况如表：
（1）完成表中空白的部分；
（2）6名同学身高的最大值和最小值的差是多少？
（3）求6名同学的平均身高．
23．（12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，BD＝8，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；
（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）作为渝昆高铁入川第一站，也是泸州境内第三座高铁站，泸州东站已完成主体工程施工，其总面积为11925平方米．请将11925用科学记数法表示（ ）
A．0.11925×104B．1.1925×104
C．1.1925×105D．11.925×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．
【解答】解：11925＝1.1925×104．
故选：B．
【点评】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+b＝2abB．（﹣2x2）3＝﹣8x5
C．22×33=65D．27+33=4
【考点】二次根式的混合运算；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；分母有理化．
【专题】二次根式；应用意识．
【答案】D
【分析】根据合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点逐项判断即可．
【解答】解：A．2a与b不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B． （﹣2x2）3＝﹣8x6，故B选项不符合题意；
C． 22×33=66，故C选项不符合题意；
D． 27+33=33+33=433=4，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
3．（4分）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7B．2＜x＜7C．1＜x＜6D．0＜x＜7
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】据三角形三边关系，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，问题可求．
【解答】解：由题意，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7．
故选：A．
【点评】此题考查三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．（4分）关于二次函数y＝x2+2x﹣3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1
B．图象与x轴没有交点
C．顶点坐标为（1，2）
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】二次函数y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，推出抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣4），由a＝1＞0，推出开口向上，图象与x轴有交点，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．由此即可判断．
【解答】解：二次函数y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣4），
∵a＝1＞0，
∴开口向上，图象与x轴有交点，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．
故选项A，B，C错误．选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
5．（4分）如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和（a+b）*的展开式的各项系数，根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017B．2016C．191D．190
【考点】规律型：数字的变化类；数学常识．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数．
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；
（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，
故选：D．
【点评】此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
6．（4分）如图，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，AO＝5，则OD的长为（ ）
A．7.5B．8C．2.5D．9
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由AB∥CD，证明△AOB∽△DOC，则AOOD=ABCD，求得OD=AO⋅CDAB=7.5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴AOOD=ABCD，
∵AB＝2，CD＝3，AO＝5，
∴OD=AO⋅CDAB=5×32=7.5，
故选：A．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AOB∽△DOC是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）12和它的相反数之间的整数有 1 个．
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【答案】1．
【分析】直接利用相反数的定义得出12的相反数，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：12的相反数是−12，
则12和它的相反数之间的整数有：0共1个．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
8．（4分）若一个多边形的各边长扩大为原来的5倍，则此多边形的周长扩大为原来的 5 倍．
【考点】比例线段．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据相似多边形的性质即可得到结论．
【解答】解：若一个多边形的各边长扩大为原来的5倍，则此多边形的周长扩大为原来的5倍．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是比例线段，相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比、对应高的比等于相似比是解题的关键．
9．（4分）在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，如果画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是 3 厘米．
【考点】比例尺．
【专题】实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据比例尺求出A地到B地的实际距离，再根据比例尺1：30000000求出A、B两地的图上距离即可．
【解答】解：∵在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，
∴A地到B地的实际距离是：
4.5÷120000000=90000000（cm），
∴画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是：
90000000×130000000=3（cm）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例尺，能熟记比例尺=图上距离实际距离×100%是解此题的关键．
10．（4分）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是 9 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】9．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4c＝0，
解得c＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．
11．（4分）计算：2ba⋅a24b2c= a2bc ．
【考点】分式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a2bc．
【分析】根据分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式=a2bc，
故答案为：a2bc．
【点评】本题考查了分式的运算，掌握分式的乘法法则是解题的关键．
12．（4分）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=3x(x+1)，则x的值为 1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】新定义；分式方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：1x+1+1x=3x(x+1)，
去分母得：x+x+1＝3，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．（4分）已知实数x，y满足x2+5x+y﹣2＝0，则x+y的最大值为 6 ．
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】6．
【分析】用x表示y，将y转化为x的二次代数式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
y＝﹣x2﹣5x+2，
则x+y＝﹣x2﹣4x+2
＝﹣x2﹣4x﹣4+6
＝﹣（x+2）2+6．
则当x＝﹣2时，
x+y有最大值为：6．
故答案为：6．
【点评】本题考查二次函数的最值，能将x+y转化为x的二次代数式是解题的关键．
14．（4分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，E为AD上一点，AE＝2ED，那么用a→，b→表示AE→= 23b→−23a→ ．
【考点】*平面向量；平行四边形的性质．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力；应用意识．
【答案】23b→−23a→．
【分析】利用三角形法则，可求得BC→，由平行四边形的对边平行且相等和已知条件可以推知：AE=23BC，继而求得答案；
【解答】解：∵AB→=a→，AC→=b→，
∴BC→=AC→−AB→=b→−a→．
∵AE＝2ED，
∴AE=23AD．
在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴AE=23BC，AD→=BC→．
∴AE→=23BC→=23BC→．
∴AE→=23b→−23a→．
故答案为：23b→−23a→．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝|2x+5|的图象上，x1+x2＝m，且当x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为 m＞﹣5 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】m＞﹣5．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出函数y＝|2x+5|的图象与x轴交于点C（−52，0），依照题意大致画出函数图象，分x1＜−52及x1≥−52两种情况考虑：当x1＜−52时，作点A关于直线x=−52的对称点D，则点D的坐标为（﹣5﹣x1，y1），结合y1＜y2，可得出﹣5﹣x1＜x2，进而可得出x1+x2＞﹣5，即m＞﹣5；当x1≥−52时，显然当x1＜x2时，都有y1＜y2，结合x1＜x2及x1≥−52，可得出x1+x2＞2x1≥﹣5，即m＞﹣5．
【解答】解：当y＝0时，|2x+5|＝0，
解得：x=−52，
∴函数y＝|2x+5|的图象与x轴交于点C（−52，0）．
依照题意，大致画出函数图象，如图所示．
当x1＜−52时，作点A关于直线x=−52的对称点D，则点D的坐标为（﹣5﹣x1，y1）．
∵y1＜y2，
∴﹣5﹣x1＜x2，
∴x1+x2＞﹣5，
∴m＞﹣5；
当x1≥−52时，显然当x1＜x2时，都有y1＜y2，此时x1+x2＞2x1≥﹣5，
∴m＞﹣5．
综上所述，m的取值范围为m＞﹣5．
故答案为：m＞﹣5．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数的图象，利用数形结合，分x1＜−52及x1≥−52两种情况，求出m的取值范围是解题的关键．
16．（4分）二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，当0＜x＜3时，则函数值y的取值范围为 ﹣6＜y≤﹣2 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】﹣6＜y≤﹣2．
【分析】根据所给二次函数解析式，得出抛物线的对称轴及开口方向，最后再结合x的取值范围即可解决问题．
【解答】解：因为y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
所以抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝1．
因为0＜x＜3，
则当x＝1时，y取得最大值为﹣2；
当x＝0时，y＝﹣3；
当x＝3时，y＝﹣6，
所以y的取值范围为：﹣6＜y≤﹣2．
故答案为：﹣6＜y≤﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
17．（4分）比5大且比10小的整数是 3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数5、10的大小即可．
【解答】解：∵2＜5＜3，3＜10＜4，
∴比5大且比10小的整数是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
18．（4分）如图，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°；射线BD从BC开始绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜135°）且α≠45°），点C关于BD的对称点为C′，直线AC′与BD交于点E，连接CC′，CE，则△CC′E面积的最大值是 4 ．
【考点】旋转的性质；三角形的面积；等腰直角三角形；轴对称的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】连接BC'，根据：点C关于BD的对称点为C'，可知BD是CC'的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知BC'＝BC，EC＝EC'，从而可知点A、C、C'在以点B为圆心，BC为半径的圆上，根据圆周角定理可证△EC'C是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知S△CC′E=14C′C2所以当C'C最大时，S△CC'E的值最大，当旋转角α＝90°时，点C'、B、C共线，线段C'C为⊙B的直径，根据AB＝BC＝2，可得圆的直径是4，即可求出△CC′E面积的最大值是4．
【解答】解：连接BC'，
∵点C关于BD的对称点为C'，
∴BD是CC'的垂直平分线，
∴BC'＝BC，EC＝EC'，
又∵AB＝BC，
∴BC'＝BC＝AB＝2，
∴点A、C、C'在以点B为圆心，BC为半径的圆上，
∴∠ABC＝90°，
∴优弧AC所对的圆心角是270°，
∴∠AC'C＝135°，
∴∠EC'C＝180°﹣∠AC'C＝45°，
又∵EC＝EC'，
∴∠EC'C＝∠ECC'＝45°，
∴∠C'EC＝90°，
∴△EC'C是等腰直角三角形，
∴EF=12C′C，
∴S△CC′E=12C′C⋅EF=14C′C2，
∴当C'C最大时，S△CC'E的值最大，
当旋转角α＝90°时，点C'、B、C共线，线段C'C为⊙B的直径，此时C'C最大且C'C＝2BC＝4，
∴S△CC′E=12C′C⋅EF=14C′C2=14×42=4，
∴△CC′E面积的最大值是4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分64分）
19．（10分）计算：(12)−2−π0+22−1−812．
【考点】分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】先算负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、分数指数幂，最后算加减．
【解答】解：原式＝4﹣1+2（2+1）﹣22
＝4﹣1+22+2﹣22
＝5．
【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、分数指数幂，掌握运算法则是解题关键．
20．（10分）解不等式组x−1＞02x+13≤3，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1＜x≤4，2，3，4．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：x−1＞0①2x+13≤3②，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤4，
所以不等式组的解集是1＜x≤4，
所以不等式组的整数解是2，3，4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
21．（10分）小林同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有打折的．购买数量及消费金额如下表：
（1）直接回答：第 三 次购买有折扣；
（2）求A，B两种商品的原价；
（3）若小林同学再次以原价购买A，B两种商品共10件（每种商品至少买1件），且消费金额不超过90元，求A商品最多可以购买多少件？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）三；
（2）A商品的原价为16元/件，B商品的原价为4元/件；
（3）A商品最多可以购买4件．
【分析】（1）分析三次购买A，B两种商品数量及消费金额，可得出第三次购买有折扣；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，利用消费金额＝A商品的原价×购买A商品的数量+B商品的原价×购买B商品的数量，结合第一、二次购买购买A，B两种商品数量及消费金额，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设购买m件A商品，则购买（10﹣m）件B商品，利用消费金额＝A商品的原价×购买A商品的数量+B商品的原价×购买B商品的数量，结合消费金额不超过90元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵第三次购买A，B两种商品的数量都比第一次购买的多，消费金额反而少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为：三；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：6x+3y=1085x+y=84，
解得：x=16y=4．
答：A商品的原价为16元/件，B商品的原价为4元/件；
（3）设购买m件A商品，则购买（10﹣m）件B商品，
根据题意得：16m+4（10﹣m）≤90，
解得：m≤256，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为4．
答：A商品最多可以购买4件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）分析三次购买数据，找出第三次购买有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（10分）某班6名同学的身高（单位：cm）情况如表：
（1）完成表中空白的部分；
（2）6名同学身高的最大值和最小值的差是多少？
（3）求6名同学的平均身高．
【考点】正数和负数．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）：﹣1，168，163，169，+5；
（2）8cm；
（3）167cm．
【分析】（1）根据表格可以看出平均身高的值，再根据与平均身高的正负进行计算即可．
（2）根据（1）中的数据找出最大值与最小值进行计算即可．
（3）将所有身高相加再除以人数即可．
【解答】解：（1）由题意可知166cm为平均身高，故可知按顺序写：﹣1，168，163，169，+5；
（2）由（1）可知身高的最大值和最小值，即171﹣163＝8（cm），
答：6名同学身高的最大值和最小值的差是8cm．
（3）(−1)+2+0+(−3)+3+56=1（cm），
166+1＝167（cm），
答：6名同学的平均身高是167cm．
【点评】本题考查正数与负数，理解表格中的正数与负数是解题的关键．
23．（12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，BD＝8，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）23．
【分析】（1）证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，再由AE∥CF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得OB=12BD＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得OA=12OB＝2，OE=12OA＝1，则AE=3，然后求出S△AOE=32，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，
∴OB=12BD＝4，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴OA=12OB＝2，∠AOB＝90°﹣30°＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠OAE＝90°﹣∠AOE＝30°，
∴OE=12OA＝1，
∴AE=OA2−OE2=22−12=3，
∴S△AOE=12OE•AE=12×1×3=32，
由（1）可知，四边形AECF为平四边形，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∴S平行四边形AECF＝4S△AOE＝4×32=23．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；
（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）线段MN的最大值为1040，M（−12，154）；
（3）点P的坐标为（83，119）或（103，−139）或（6，﹣21）．
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数关系可得：x1+x2＝2k，再结合当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立，可得出k＝1，即可得出答案；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝3x+3，如图1，过点M作MD∥y轴交AC于点D，设M（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜0），则D（t，3t+3），再证得△MDN∽△ACO，得出MNOA=MDAC，可得MN=−1010（t+12）2+1040，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（m＞1），则Q（1，﹣m2+2m+3），过点P作PH⊥x轴于点H，则H（m，0），可证得△PFQ∽△APH，分情况讨论：当点P在x轴上方时，若△PFQ∽△CAO，则△APH∽△CAO，可得P（83，119）；若△PFQ∽△ACO，则△APH∽△ACO，求得m＝﹣1或0，均不符合题意；当点P在x轴下方时，如图3，PH＝m2﹣2m﹣3，AH＝m+1，若△PFQ∽△CAO，则△APH∽△CAO，可得P（103，−139）；若△PFQ∽△ACO，则△APH∽△ACO，可得P（6，﹣21）．
【解答】解：（1）∵（x1，y1），（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1上，
∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k2﹣1，y1=−x12+2kx1+2k2+1，y2=−x22+2kx2+2k2+1，
∴y1﹣y2＝（−x12+2kx1+2k2+1）﹣（−x22+2kx2+2k2+1）＝（x2﹣x1）（x1+x2﹣2k），
∵当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立，
∴（x2﹣x1）（2﹣2k）＝0，
∵x1＜k＜x2，
∴2﹣2k＝0，
∴k＝1，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
在Rt△AOC中，AC=OA2+OC2=12+32=10，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，则−m+n=0n=3，
解得：m=3n=3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
如图1，过点M作MD∥y轴交AC于点D，
设M（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜0），则D（t，3t+3），
∴MD＝﹣t2+2t+3﹣（3t+3）＝﹣t2﹣t，
∵MN⊥AC，
∴∠MND＝90°＝∠AOC，
∵MD∥OC，
∴∠MDN＝∠ACO，
∴△MDN∽△ACO，
∴MNOA=MDAC，即MN1=−t2−t10，
∴MN=−1010（t+12）2+1040，
∵−1010＜0，
∴当t=−12时，线段MN取得最大值1040，此时，M（−12，154）；
（3）存在．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（m，﹣m2+2m+3）（m＞1），则Q（1，﹣m2+2m+3），过点P作PH⊥x轴于点H，则H（m，0），
∵PQ⊥l，l⊥x轴，
∴PQ∥x轴，
∴∠FPQ＝∠PAH，
∵∠PQF＝∠AHP，
∴△PFQ∽△APH，
当点P在x轴上方时，如图2，PH＝﹣m2+2m+3，AH＝m+1，又OA＝1，OC＝3，
若△PFQ∽△CAO，则△APH∽△CAO，
∴PHOA=AHOC，即−m2+2m+31=m+13，
解得：m＝﹣1（舍去）或m=83，
当m=83时，﹣m2+2m+3＝﹣（83）2+2×83+3=119，
∴P（83，119）；
若△PFQ∽△ACO，则△APH∽△ACO，
∴AHOA=PHOC，即m+11=−m2+2m+33，
解得：m＝﹣1（舍去）或m＝0（不符合题意，舍去）；
当点P在x轴下方时，如图3，PH＝m2﹣2m﹣3，AH＝m+1，
若△PFQ∽△CAO，则△APH∽△CAO，
∴PHOA=AHOC，即m2−2m−31=m+13，
解得：m＝﹣1（舍去）或m=103，
当m=103时，﹣m2+2m+3＝﹣（103）2+2×103+3=−139，
∴P（103，−139）；
若△PFQ∽△ACO，则△APH∽△ACO，
∴AHOA=PHOC，即m+11=m2−2m−33，
解得：m＝﹣1（舍去）或m＝6，
当m＝6时，﹣m2+2m+3＝﹣62+2×6+3＝﹣21，
∴P（6，﹣21）；
综上所述，点P的坐标为（83，119）或（103，−139）或（6，﹣21）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一元二次方程根与系数关系，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
3．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
4．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
5．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
8．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
9．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
10．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
11．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
12．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
13．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
14．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①1a=aa⋅a=aa；②1a+b=a−b(a+b)(a−b)=a−ba−b．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：2−3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．
15．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
17．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
18．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
19．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
20．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
22．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
23．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
24．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
25．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
26．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
27．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
28．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
29．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
30．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
31．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
32．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
33．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
34．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
35．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
36．*平面向量
平面向量是在二维平面内既有方向（directin）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．
37．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
38．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
39．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
40．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
41．比例尺
“比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．公式为：比例尺＝图上距离与实际距离的比．”
购买A商品的件数
购买B商品的件数
消费金额（元）
第一次
6
3
108
第二次
5
1
84
第三次
7
4
96
同学
A
B
C
D
E
F
身高
165

166


171
身高与班级平均身高的差值

+2
0
﹣3
+3

题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
D
A
D
D
A
购买A商品的件数
购买B商品的件数
消费金额（元）
第一次
6
3
108
第二次
5
1
84
第三次
7
4
96
同学
A
B
C
D
E
F
身高
165
168
166
163
169
171
身高与班级平均身高的差值
﹣1
+2
0
﹣3
+3
+5