山东省青岛市城阳区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省青岛市城阳区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，计算正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、不能合并，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
2. “天壤之间，水居其多”，苏轼的诗描绘了自然界中水资源的丰富．一个水分子的直径约为米．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
3. 一个正方体积木的棱长是米，它的体积是（ ）
A. 立方米B. 立方米
C. 立方米D. 立方米
【答案】B
【解析】由题意，得：正方体的体积为：立方米；
故选B．
4. 下列事件是必然事件的有（ ）
①明天是晴天； ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；
③地球绕着太阳转； ④同平面内三条直线两两相交，交点个数是3个．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】明天可能是晴天，也可能是阴天，是随机事件，故①不符合题意；
任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数，也可能是奇数，是随机事件，故②不符合题意；
太阳从东方升起，是必然事件，故③符合题意；
同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个，也可能是1个，是随机事件，故④不符合题意，
符合题意的共有1个，
故选D．
5. 如图，给出的下列条件中不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，根据同位角相等，两直线平行能判断，则此项不符合题意；
B、，根据同旁内角互补，两直线平行能判断，则此项不符合题意；
C、，根据内错角相等，两直线平行能判断，则此项不符合题意；
D、，根据同位角相等，两直线平行能判断，不能判断，则此项符合题意；
故选：D．
6. 将五张除数字外完全相同的不透明卡片，分别标上数字2，6，1，9，5．反面朝上洗匀后，从中任意抽出一张，则该卡片上的数字能被3整除的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，反面朝上洗匀后，从中任意抽出一张卡片共有5种等可能的结果，其中，抽出的一张卡片上的数字能被3整除的结果有6和9，共2种．
则该卡片上的数字能被2整除的概率是．
故选：B．
7. 将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，由题意得：①，②，③，
由②③得：，∴④，
将④代入①得：，∴，
故选：C．
8. 数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
；
故选B．
二、填空题
9. 若，，则__________．
【答案】4
【解析】∵，∴，∴，
故答案为：4 ．
10. 如图，要使，可以添加的条件是________．（填写一个你认为正确的即可）
【答案】或或或（任写一个即可）
【解析】由图可知：当时，（同位角相等，两直线平行），
当或时，（同旁内角互补，两直线平行）；
当时，（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：或或或（任写一个即可）．
11. 三角板是一种常用的绘图工具，将一副三角板按如图所示的方式摆放，使它们最长的边平行，则__________．
【答案】75
【解析】如图，由题意得：，
过点作，
则：，
∴，
∴，
即，
故答案为：75．
12. 甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是________的．（填“公平”或“不公平”）
【答案】公平
【解析】由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种，
则甲赢的概率为，乙赢的概率为，
所以甲赢的概率和乙赢的概率相等，
所以这个游戏对甲、乙来说是公平的，
故答案为：公平．
13. 第三宇宙速度是指从地球起飞的航天器飞行速度达到米/秒时，无需后续加速就可以摆脱太阳引力的束缚．艺术形式下的哪吒踢毽子时，毽子速度大约是米/秒，则毽子的速度约是第三宇宙速度的__________倍．
【答案】18
【解析】，
∴毽子的速度约是第三宇宙速度的倍，
故答案为： ．
14. 综合实践课上，同学们设计摸球试验．在一个不透明的布袋中，装有除颜色外完全相网的个红球和个白球，小明想使摸到白球的概率是，则需要再向袋中加入__________个白球．
【答案】5
【解析】设需要再加入个白球，
∴，
解得，，
检验，当时，原方程有意义，
∴需要再加入个白球，
故答案为：5 ．
15. 生活中的反射现象，遵循物理学中光的反射定律．如图，入射光线经过平面镜上的点C反射后，反射光线恰好与平行，已知；，则________．
【答案】30
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：30
16. 如图，按一定的规律分割平行四边形后，第1个图形中共有2个三角形，第2个图形中共有8个三角形，第3个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第n个图形中共有________个三角形．
【答案】
【解析】由图可知，第1个图形中三角形的个数为（个），
第2个图形中三角形的个数为（个），
第3个图形中三角形的个数为（个），
归纳类推得：第个图形中三角形的个数为个，
故答案为：．
三、作图题
17. 人勤不负好春光，春耕备耕正当时．如图，某农田中有一条笔直的灌溉渠，点C是农田外的一个水源，现要过水源点C修一条新灌溉渠，使与平行．请在图中画出新灌溉渠．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
解：如图，直线即为所求．
四、解答题
18. 计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（用乘法公式计算）．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19. 先化简，再求值
，其中，．
解：原式
；
当，时，原式．
20. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是__________（精确到）；
（3）根据估计的概率，该运动员投篮150次，他命中的次数大约是__________次；
（4）如果该运动员重新再投篮500次，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？
（1）解：，，；
（2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是；
故答案：；
（3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为，
∴（次），
估计他命中的次数为次，
故答案为：．
（4）解：不会一样，理由如下：
由（2）可知，该运动员投中的概率为，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在左右波动，故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同．
21. 五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券．
（1）“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件）
（2）转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？
（3）如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？
（1）解：∵如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，
∴转动一次转盘获得100元的购物券是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
（2）解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘获得50元购物券的结果只有1种，转动一次转盘获得30元购物券的结果有2种，转动一次转盘获得20元购物券的结果有4种，
∴转动一次转盘获得50元购物券的概率为，
转动一次转盘获得30元购物券的概率为，
转动一次转盘获得20元购物券的概率为，
答：转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为．
（3）解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种，
∴转动一次转盘得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为，
∵，
∴得不到购物券的概率大．
22. 如图，的平分线交于点G，，．
（1）判断与有怎样的位置关系？说说你的理由．
（2）已知，求∠的度数．
解：（1），理由如下：
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，，
∵的平分线交于点G，∴，
∵，∴，
∵，∴．
23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来．
如图①从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形后，将剩下的阴影部分沿虚线剪开，拼成图②所示的长方形．
（1）通过比较图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________；
（2）在计算时，可以利用（1）中的结论，请你补全计算过程：
解：
________
（3）利用以上的结论和方法计算：
（4）根据你发现的规律填空：
________．
（1）解：图①中阴影部分的面积为，
图②中阴影部分的面积，
∵图①和图②中阴影部分的面积相等，
∴，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：，，．
（3）解：
．
（4）解：
，
故答案为：．
24. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．
【提出问题】
图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？
【思考过程】
依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形．
【问题解决】
解：如图②，过点作，过点作，则．
因为，，
所以．
因为，，
根据 （1） ，
所以，
根据 （2） ，
所以．
因为，
所以 （3） ，
所以 （4） ．
【迁移应用】
如图③是一款手推车的平面示意图，．
（1）若，，则________；
（2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展提高】
如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________．
解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则．
因为，，
所以．
因为，，
根据平行于同一条直线的两条直线平行，
所以，
根据两直线平行，内错角相等，
所以．
因为，
所以，
所以．
故答案为：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105．
迁移应用：（1）如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：130．
（2），理由如下：
如图，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
拓展提高：如图，过点作，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
故答案：．
投篮的次数
10
50
x
200
300
400
500
命中的次数
7
40
81
163
249
326
z
命中的频率
y