山东省青岛市市北区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省青岛市市北区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确；
故选：D．
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7
C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上
D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块
【答案】B
【解析】A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球的概率为0，故错误；
B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7的概率为1，故为必然事件，正确；
C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率为50%，为随机事件，故错误；
D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，为随机事件，故错误；
故选B.
3. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】数据0.000000049用科学记数法表示为．
故选：A．
4. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 同位角相等，两直线平行
C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【解析】因为，
∴．
所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
故选：C．
5. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】C
【解析】估计这个口袋中红球的数量为（个），
故选：C．
6. 如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，先标注字母，∵矩形，
∴，

∴；
故选B．
7. 一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设原正方形的边长是米，根据题意得：，
解得：，
故答案为：A．
8. 在数学实践课上，同学们将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4种拼法中，不能够验证平方差公式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A，左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意；
B，左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意；
C，左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意；
D，左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，符合题意；
故选D．
二、填空题
9. 工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是________．
【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【解析】平行公理的推论为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．在本题中，电缆线可以看作是直线，工人师傅通过检查其中两条电缆线是否与第三条平行，依据的就是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，如果这两条电缆线都与第三条平行，那么这三条电缆线就互相平行．所以如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
10. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______．
【答案】
【解析】飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，
击中阴影区域的概率是，
故答案：．
11. 已知，，则的值是_____．
【答案】2
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
12. 请在下列的横线上填上适当的式子：（______）____________
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】由，
故答案为：，，．
13. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则与的度数和是 _________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，，的边长之和为__________．
【答案】5
【解析】设正方形的边长为，正方形的边长为，
图1中阴影部分是边长为的正方形，因此图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分是边长为的正方形的面积与正方形、正方形的面积差，即，即，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴正方形，，的边长之和为，
故答案为：．
三、作图题
15. 已知：点A、点B、点C均在网格点上，用直尺在网格上画图：
（1）过点C画的平行线；
（2）过点C画的垂线，垂足为E；
（3）若每个小方格的边长为1，连接，则三角形的面积是______．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意得，．
16. 如图，点为的边上一点，过点作直线．（要求用尺规作图，并保留作图痕迹）
解：如图，即为所求．
四、解答题
17. 计算下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）利用完全平方公式计算：
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18. 先化简，再求值
，其中．
解：
；
当时，
原式．
19. 如图，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字，，，，，．小明与小颖用这个转盘做游戏，两人约定：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域则小明胜，指针指向偶数区域则小颖胜，若转到边界线上则重新转．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
解：公平，理由，
小明胜的概率，小颖胜的概率，
∵，
∴游戏是公平的．
20. 如图是某老旧小区在改造天然气管道，从A处出发沿北偏东方向到达处，由于人工湖的影响，从处沿北偏西方向到处，从处沿着与垂直的方向铺设，就可以保持与的方向一致（即），到达天然气管道终点处．天然气公司解释理由如下，请你补充完整．
理由：因为（已知），
所以（依据：______），
因为（已知），
所以______（依据：______），
因为，（已知），
所以______，
所以______，
所以（依据：______）．
解：理由：因为（已知），
所以（依据：垂直的定义），
因为（已知），
所以（依据：两直线平行，同旁内角互补），
因为，（已知），
所以，
所以，
所以（依据：内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行．
21. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和黑球（除颜色外都相同），小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如表所示：
（1）请将表中数据补充完整；
（2）根据表格补全折线统计图；
（3）根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是______（保留一位小数）；
（4）如果按此方法再摸1000次，并将这1000次试验获得的数据也绘制成折线统计图，那么这两幅折线统计图一般会一样吗？为什么？
解：（1）①摸到白球的频率为；
②摸到白球的次数为；
填表如下：
（2）如图所示，
（3）根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是0.6；
（4）∵摸球试验是随机的
∴这两幅折线统计图一般不会一样，但随着摸球数量的增加，摸出白球的频率都会稳定在0.6左右．
22. 【猜想】
两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值．
【验证】
（1）设两个相邻的整数为，，则它们平均数的平方为______；它们平方的平均数为______；，的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为______．
【说明】
（2）设两个相邻整数分别为a，，用代数式说明猜想成立，并求出这一定值．
解：（1）；
；
，
故答案为：；；；
（2），，
∴，
∴定值为：．
23. 如图，已知，，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，则的度数为______（直接写出）．
（1）解：，理由，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
24. 借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．
初步应用：（1）如图1，大正方形的面积可以看作是边长为的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即，，，的和，从而得到乘法公式：
．仿照图1，构造图形并计算．
经验总结：完全平方公式可以：从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式变形或图形的转化可以解决很多数学问题．（2）如图2，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，连接，若，两正方形的面积和，求的面积．
应用迁移：（3）已知x、y、z满足，，，求的值．
解：（1）如图，已知大正方形的边长为，
利用图形3面积关系可得：．
（2）由题意可得：，
∵两正方形的面积和，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．试验次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
摸到白球的次数
70
105
198
235
288
375
408
490
②____
599
摸到白球的频率
①____
0.525
0.66
0.588
0.576
0.625
0.583
0.613
0.6
0.599
试验次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
摸到白球的次数
70
105
198
235
288
375
408
490
540
599
摸到白球的频率
0.7
0.525
0.66
0.588
0.576
0.625
0.583
0.613
0.6
0.599