【数学】天津市河东区2024-2025学年高二上学期期末质量检测试卷（解析版）

这是一份【数学】天津市河东区2024-2025学年高二上学期期末质量检测试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列的通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于选项A：令，可得，不合题意；
对于选项B：代入检验均可，符合题意；
对于选项C：令，可得，不合题意；
对于选项D：令，可得，不合题意；
故选：B.
2. 已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】，且，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
通项公式为，，
故选：B.
3. 已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为公比为9，首项为6，那么利用前n项和公式可知为，选D.
4. 已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为双曲线的焦距为，所以，
则，解得，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
5. 抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，
所以是抛物线的准线，故，解得，故A正确.
故选：A.
6. 已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A. 若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C. 若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D. 若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【答案】B
【解析】对于A，当m＞n＞0时，有，
方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为，
该方程表示半径为圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
7. 已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A. 1B. 3C. 4D.
【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以，，
代入直线方程得，
即，令，得，
故直线恒过，设，该点在圆内，
画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，，此时.
故选：C.
8. 若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，
可得：，解得：，
则，故A项正确.
故选：A.
9. 已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ）
A. 若数列为常数列，则
B. 存在，使数列为递减数列
C. 任意，都有为递减数列
D. 任意，都有
【答案】D
【解析】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误；
对B:易得，若为递减数列，
则，解得或且，
故不存在使得递减数列，故B错误；
对C,令，则，
故不是递减数列，故C错误；
对D,用数学归纳法证明，
当显然成立，
假设当，，
则时，，故当时成立,
由选项B知，对任意 则数列为递减数列，故故D正确.
故选：D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】双曲线，所以右顶点（4,0），
抛物线的焦点也为（4,0），所以，，
抛物线的标准方程为：.
11. 已知数列为等比数列，若，则数列的前6项和为______.
【答案】
【解析】由题意，公比为，则，
故.
故数列的前6项和为.
12. 在等差数列中，已知公差，且，则__________.
【答案】145
【解析】等差数列中，已知公差，
，
.
13. 记抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，，直线与拋物线另一交点为B，则________．
【答案】
【解析】因为，由拋物线定义可知到准线距离为，
即，解得，
即抛物线方程为，不妨取，又，
则直线斜率,所以，
联立，消去整理得，
解得，，即点的横坐标为，则.
14. 设F为双曲线C：（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为______.
【答案】
【解析】由题意，作出图像如下图所示：
设双曲线C： (，)的右焦点的坐标为F (c,0).
由圆的对称性及条件可知，
PQ是以为直径的圆的直径，且，
设垂足为M，连接，
则，，
由，得，
故，即.
15. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
【答案】5 720-15(3+n)2n-4
【解析】（1）由对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：52×12，5×6，10×3；20×32，共4种不同规格（单位dm2)；
故对折4次可得到如下规格：，52×6，，，20×34，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120dm2,第n次对折后的图形面积为120×12n-1，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想Sn=120(n+1)2n-1，
设S=k=1nSk=120×220+120×321+120×422+⋯+120n+12n-1，
则12S=120×221+120×322+⋯+120n2n-1+120(n+1)2n，
两式作差得：
12S=240+12012+122+⋯+12n-1-120n+12n
=240+601-12n-11-12-120n+12n
=360-1202n-1-120n+12n=360-120n+32n，
因此，S=720-240n+32n=720-15n+32n-4.
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 直线与双曲线相交于A，B两点．
（1）求的长；
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
解：（1）设，
由，可得，
由题可得，
，解得且，
∴
，
∴的长为(且).
（2）∵以AB为直径的圆经过坐标原点，∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得,
经检验，时以AB为直径的圆经过坐标原点.
17. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前项和．
解：（1）设a1＝a，由题意可得，
解得，或，
当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；
当时，an（2n+79），bn＝9•；
（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，
∴cn，
∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，
∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，
∴Tn＝2（2n﹣1）•3，
∴Tn＝6．
18. 设数列的前n项和，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的通项公式.
（1）证明：，，
即，
即，
即，
即，
又，
数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）知：，
即，
当时，，
，
又也适合上式，
故.
19. 已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
解：（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义
由椭圆第二定义知，则有，
所以，即．
又由，得．
从而，解得．
所以．
故椭圆与抛物线的标准方程分别是．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式
以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法三]：参数方程
由（1）知，椭圆的方程为，
所以的参数方程为x=2c⋅csθ,y=3c⋅sinθ（为参数），
将它代入抛物线的方程并化简得，
解得或（舍去），
所以，即点M的坐标为．
又，所以由抛物线焦半径公式有，
即，解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，
解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
20. 已知等比数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意知当时，①，
当时，②，
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，
所以，
可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，
则，
所以，
即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，
化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.