数学七年级上册（2024）因式分解的方法精品同步训练题

这是一份数学七年级上册（2024）因式分解的方法精品同步训练题，文件包含专题123十字相乘法高效培优讲义教师版docx、专题123十字相乘法高效培优讲义学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

知识点1 二次三项式的因式分解
1.观察
关于x的整式x²+(a+b)x+ab有什么特征?
x²+(a+b)x+ab是一个关于x的二次三项式，其中二次项系数为1,常数项是两个数a与b的积，而一次项系数恰好是这两个数a与b的和.
由(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab,可得x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
这就将x²+(a+b)x+ab分解成两个整式的积.
如果关于x的二次三项式x²+px+q的常数项q能分解成两个因数a与b的积，且一次项系数p又恰好等于a+b,那么x²+px+q就可以进行如下的因式分解：
x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
2.思考
如何将二次三项式x²+3x+2因式分解?
观察x²+3x+2的系数，它的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,所以x²+3x+2=x²+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2).
上述将x²+3x+2因式分解的过程，可以形象地表示为
先分解二次项系数1=1×1,分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项2=1×2,分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘并求和，看它是否等于一次项系数3.
一般地，如果二次三项式x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),
那么这样的因式分解的过程可以表示为
像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法.
要点：
常数项的因数分解往往有多种情况，此时选择的关键在于判断哪两个因数的和恰好等于一次项的系数.
【即学即练】
1．十字相乘法分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2．分解因式：
(1)；
(2)．
3．因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．因式分解： ．
5．把分解因式得，则的值为（ ）
A．2B．3C．5D．6
知识点2 二次项系数不为1的十字相乘法
二次项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
要点：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
【即学即练】
1．运用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．用十字相乘法分解下列因式．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3．整式分解因式得
4．小明把整式分解因式，有一个因式是，则的值为（ ）
A．B．40C．D．15
题型01 十字相乘法因式分解二次项系数为1的二次三项式
【典例1】．用十字相乘法解方程：
(1)；
(2)．
【变式1】．分解因式：
(1)；
(2)．
【变式2】．将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
题型02 十字相乘法因式分解二次项系数不为1的二次三项式
【典例1】．因式分解：．
【变式1】．因式分解：．
题型03 十字相乘法因式分解二次三项式（综合）
【典例1】．分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【变式1】．分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【变式2】．分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【变式3】．用十字相乘法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式4】．用十字相乘法分解下列因式．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
题型04 辨析十字相乘法因式分解二次三项式
【典例1】．下列各式因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】．下列算式中，计算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】．下列不可利用分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】．将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）
A．B．
C．D．
题型05 根据十字相乘法因式分解求参数
【典例1】．若，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
【变式1】．若分解因式则的值为（ ）
A．B．5C．D．2
【变式2】．若与的公因式为，则c之值为何？（ ）
A．B．C．1D．3
【变式3】．已知，则 ．
题型06 “看错”问题
【典例1】．两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的整式为
【变式1】．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】．在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ．
题型07 分类讨论
【典例1】．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【变式1】．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．无数个
【变式2】．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个
题型08 材料题
【典例1】．阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
．
因此，可以得．
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；
(1)________；
(2)________；
(3)分解因式：
(4)分解因式：；
【变式1】．仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为．
(1)若二次三项式可分解为，则 ；
(2)若二次三项式可分解为，则 ；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
题型09 十字相乘法的几何应用
【典例1】．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ．
(2)尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．若，则 ．
(3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ．
【变式1】．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式．
(1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张；
(2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把整式分解因式，其结果是________；
(3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式．
【变式2】．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一

情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量；
情境二

情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
一、单选题
1．不能用十字相乘法分解的是（ ）.
A．B．
C．D．
2．下列各式因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．把整式分解因式，其结果是（ ）
A．B．
C．D．
4．把整式分解因式，得，则的值是（ ）
A．1B．-1C．5D．-5
5．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( )
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题
7．分解因式：= ．
8．
9．因式分解： ．
10．分解因式：（1）3a2-6a+3= ；（2）x2+7x+10 = ．
11．分解因式： ．
12．因式分解,甲看错了a的值,分解的结果是,乙看错了b的值,分解的结果为,那么分解因式正确的结果为 ．
13．已知，，，则代数式的值是 ．
14．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为 ， ．
三、解答题
15．分解因式
(1)．
(2)
(3)
16．分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)__________．
(2)__________．
(3)__________．
(4)__________．
18．阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
解：设另一个因式为，由题意，得
，
，
所以，解得．
所以另一个因式为，的值为．
提出问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
19．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．
第一步：二次项；
第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．
即．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将整式进行因式分解，可以表示为_______________；
(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．
教学目标
熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解；
进一步掌握首项系数不为1的简单的整系数二次三项式的因式分解；
会解十字相乘法因式分解有关应用题。
教学重难点
1.重点
（1）利用十字相乘法进行因式分解；
（2）利用十字相乘法因式分解求参数；
（3）十字相乘法因式分解的应用。
2.难点
（1）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解；
（2）常数项的因数分解往往有多种情况；分类讨论思想。