2025学年七年级数学上册同步学与练(沪教版)第12章 因式分解（高效培优单元测试·提升卷）（教师版+学生版）

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第12章 因式分解 单元测试卷·提升卷（考试时间：100分钟 试卷满分：150分）选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.）1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查因式分解的识别，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式．【详解】解：选项A：，这是整式乘法运算的展开过程，而非因式分解，排除．选项B：，右边含有分式，不符合整式的要求，排除．选项C：，左边为多项式，右边通过提取公因式转化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义．选项D：，右边未完全分解为积的形式，仍存在加法运算，排除．故选C．2．单项式与的公因式是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式；【详解】与的公因式是，故选：D．【点睛】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．3．已知，，则和的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了整式的加减运算，根据完全平方公式因式分解，根据题意计算,即可【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：B ．4．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值．【详解】解：根据题意可得：，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．5．乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：城、爱、我、新、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ）A．美丽B．美丽新城C．我爱新城D．新城美【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．【详解】解：∵，又∵，，，，分别对应下列四个字：我，爱，新，城，∴结果呈现的密码信息是：我爱新城．故选：C．6．对于任何整数，多项式的值都能（    ）A．被2整除B．被3整除C．被4整除D．被5整除【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．【详解】解：，为任意整数，的值总能被3整除，故选：B．7．有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用．先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可．【详解】解：由题意可知：，正方形面积，∴∵∴，即，∴∴或（舍去）故选：B．8．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（    ）A．4个B．6个C．8个D．无数个【答案】B【分析】把18分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和．【详解】解：18=1×18=2×9=3×6=（-1）×（-18）=（-2）×（-9）=（-3）×（-6），所以a=1+18=19或2+9=11或3+6=9或（-1）+（-18）=-19或（-2）+（-9）=-11或（-3）+（=6）=-9．∴整数a的值是±9或±11或±19，共有6个．故选：B．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键．9．已知，，，则代数式的值为（　　）A．5B．6C．3D．8【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论．【详解】解：，，，，，，，故选：C．10．已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【分析】本题主要考查了等式的性质，因式分解的应用．熟练掌握完全平方公式，根据相等关系，代入消元，运用完全平方公式分解因式，判断各选项即可．【详解】A．若，则，即，则：，故A正确；B．若，则，把代入得：，∴，把，代入得：，分解因式得：，∴或∴或，故B错误；C．若，则，∴，∴，故C错误；D．若，则把代入得：，∴，故D错误．故选：A．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．）11．因式分解： ； ； ； 【答案】 / ； ； ．【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可．【详解】解：；；；；故答案为：；；；．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．因式分解： ；【答案】【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键．13．因式分解： ．【答案】【分析】将原式进行拆解变形为后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.【详解】==+==.所以答案为.【点睛】本题主要考查了十字相乘法与提公因式法进行因式分解，熟练掌握相关方法并且合适地进行分组分解是解题关键.14．如果是的一个因式，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查因式的定义，熟练掌握因式的定义是解题的关键，根据是的一个因式，可得当时，代数式，代入求解即可得到答案．【详解】解：∵是的一个因式，∴当时，，∴，∴，∴，故答案为：．15．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ．【答案】．【分析】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．【详解】解：由面积可得：．故答案为．【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．16．已知，则的值为 【答案】【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键．17．已知，那么多项式的值为 .【答案】//【分析】先根据式子的特点展开，然后求出的值，再代入即可求解．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了乘法公式与因式分解的运算和求值的应用，熟练掌握整式的因式分解和整体代入的思想是解题的关键．18．已知：，因式分解，结果为 ．【答案】【分析】将提出一个，再将提出一个，继续提出一个，以此类推，直到原式变为，再化简即可．【详解】解：…故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解：十字相乘法、分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（1）先分组为，再变形，然后利用提公因式法分解因式即可；（2）先根据十字相乘法分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解： ；（2）解：原式．20．因式分解：；【答案】【分析】本题租用考查了分解因式，先分组得到，进而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：．21．分解因式：．【答案】．【分析】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意准确找出公因式．直接提取公因式即可．【详解】解：原式．22．正数，，满足，求的值．【答案】【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解．【详解】解：，，即，，，，，同理求得：，，，可化为，解得：或（不合题意，舍去），，．23．为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为．(1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）；(2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？【答案】(1)甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管；(2)十月份甲区比乙区多铺60米排污管【分析】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式：（1）根据，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为列出对应的代数式即可；（2）根据（1）所求用甲区十月铺设的米数减去乙区十月铺设的米数，再根据，且计算求解即可．【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管；（2）解：，当，时，原式，∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管．24．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式（写出过程）：【答案】(1)提公因式法，2(2)2024，(3)【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论；（2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；（3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）解：，则需应用上述方法2024次，结果是，故答案为：2024，；（3）解：．25．小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解．小花根据大家的提示，整理出解答过程：请你依照上述做法，将下列各式因式分解：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）（2）根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）；（2）原式．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键．26．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式．(1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张；(2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________；(3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式．【答案】(1)2，3(2)(3)作图见解析，【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解，（1）计算长方形的面积，即可得到所需需要2号卡片，3号卡片的数量；   （2）根据因式分解方法分解即可；（3）利用因式分解得，即可画出图形．【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为，∴需要2号卡片2张，3号卡片3张，故答案为：2，3；（2）解：故答案为；（3）利用拼图分解因式：如图所示：．27．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，得则解得：．∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值．(2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ．(3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ．【答案】(1)，(2)，(3)，．【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．（1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可；（2）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．（3）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】（1）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则∴，则，解得：，则另一个因式是：，；（2）解：∵二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则，则，解得：，则另一个因式是：，；（3）解：二次三项式有一个因式是，a是正整数，设另一个因式是，则，则，解得，或（舍去，不符合题意），另一个因式是，故另一个因式是，．28．阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．(1)上述式子中　　　，　　　；(2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0；(3)请你用“试根法”分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等，得到对应项的系数相同，进行求解即可；（2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可；（3）利用试根法，进行因式分解．【详解】（1）解：，，，故答案为：，；（2）多项式，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为．根据题意若，则，故答案为：；（3）由（2）可知因式分解后必有因式，设，等式右边，，=．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握试根法，是解题的关键．