初中方程教学设计

这是一份初中方程教学设计，共9页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
5．1 方程
5．1.1 从算式到方程
第1课时 方程
教师备课 素材示例
●情景导入 李叔叔家买了一台电视机，如图是一个长方体的电视机包装箱，它的底面宽为1 m，长为1.2 m，且包装箱的表面积为6.8 m2.同学们，你能帮李叔叔算出这个电视机包装箱的高吗？
问题1：长方形的表面积＝__(长×宽＋长×高＋宽×高)×2__．
问题2：用算术方法能求出高吗？可以怎么办？
由问题2导入用方程解决简单．
【教学与建议】教学：提出问题，导入课题，激发学生学习兴趣．建议：教师引导学生回答问题后，放手让学生自己解答．
●复习导入 问题1：方程是指__含有未知数的等式__．
问题2：解方程的依据是等式的性质．
问题3：解方程．
(1)40－6x＝22；
解：x＝3；
(2)75%x÷ eq \f(6,5)＝25；
解：x＝40；
(3)15(23－x)＝180.
解：x＝11.
问题4：一辆客车和一辆货车同时从广州出发开往杭州，12 h后货车落后客车366 km，客车每小时行116 km，货车每小时行x km，可列方程为__12(116－x)＝366__．
【教学与建议】教学：复习方程相关知识导入新课，有承上启下作用．建议：由学生独立完成后再集体订正．
·命题角度1 方程的概念
方程符合两个条件：①含有未知数；②是等式，二者缺一不可．
【例1】下列式子是方程的是(C)
A．x＋32 B．y－14＞72
C．5y＝15 D．3－1.4＝1.6
【例2】下列各式中，是方程的有__①③④⑤__．(填序号)
① eq \f(x,3)＋5＝9；②10－x；③3＝2x－5；④6x2＝30；⑤x＋y＝8.
·命题角度2 根据实际问题列方程
根据实际问题列方程的关键是抓住等量关系，再根据等量关系列方程．
【例3】根据所给信息，下面图形不可以用方程“ eq \f(1,3)x＋x＝60”来表示的有(D)


A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例4】甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每时比原计划多行走1 km，因此提前12 min到达乙地，张叔叔原计划每时行走多少千米？设张叔叔原计划每时行走x km，可以得到方程：__ eq \f(22,x)－ eq \f(22,x＋1)＝ eq \f(12,60)__．
高效课堂 教学设计
1．通过观察生活中的例子，体会方程的意义．
2．初步学会确定实际问题中的等量关系，设未知数列出方程．
▲重点
建立方程的概念，会理解等量关系式．
▲难点
确定等量关系列出方程．
◆活动1 新课导入
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队？
提出问题：
(1)你会用算术方法解决这个问题吗？列算式试一试；
(2)如果设两队行进的时间为x h，那么甲、乙两队行进的路程各是多少千米？
(3)问题中的等量关系是什么？
(4)你能列出方程吗？
(5)列出的方程有什么特点？
◆活动2 探究新知
1．教材P111 问题1.
展示问题：
(1)已知大水杯的单价比小水杯的单价多5元，如果设大水杯的单价是x元，那么小水杯的原价是__x－5__元；
(2)题中的等量关系是__买3个大水杯的钱＝买4个小水杯的钱__；
(3)根据等量关系可得方程是__3x＝4(x－5)__．
2．教材P112 问题2.
展示问题：
(1)长方形的面积＝__长×宽__；
(2)长∶宽＝8∶5，若设长为x mm，则宽为__ eq \f(5,8)x__mm；
(3)长方形的面积用含x的代数式表示为__ eq \f(5,8)x2__ mm2；
(4)列方程为__ eq \f(5,8)x2＝4_000__．
◆活动3 知识归纳
1．含有__未知数__的等式叫作__方程__．
2．列方程时先设未知数，再寻找等量关系最后列出方程．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P113 例1.
提出问题：
(1)问题(1)中设哪个量为x，等量关系式是什么？
(2)问题(2)设正方形边长为x后，扩大后的绿地面积等于什么？
(3)观察你所列方程左边、右边各表示什么意思？不相等关系能列出方程吗？
例2 某班50位同学，在绿色植树活动中共种树176棵，已知女生每人种3棵，男生每人种4棵，设女生有x人，则可列方程为(B)
A．3x＋4(176－x)＝50 B．3x＋4(50－x)＝176
C．4x＋3(176－x)＝50 D．4x＋3(50－x)＝176
例3 小丽用50 cm长的铁丝围成一个长方形，要使长方形的长比宽多4 cm.设宽为x cm，则可列方程为__2(x＋4＋x)＝50__．
练习
1．教材P113 练习第1，2，3题．
2．下列各式：①2x－1；②3(x＋y)＝4；③x2＝3x；④x2－2x＝x＋1；⑤5－2＝3；⑥2x－3≥0；⑦5x＋8＝18.其中，是等式的是__②③④⑤⑦__；是方程的是__②③④⑦__．(均填序号)
3．小刚准备用自己节省的零花钱购买一台MP4来学习英语，他已存有200元，并计划从本月起每月节省30元，直到他有560元．设x个月后小刚有560元，则可列出计算月数的方程为(A)
A．30x＋200＝560 B．30x－200＝560
C．x－200＝560 D．x＋200＝560
4．根据题意列出方程(只列方程)：
(1)某数x的40%比它的相反数的 eq \f(1,3)还少 eq \f(1,3)；
(2)小华买了5 kg香蕉和6 kg苹果，共花了27.5元，已知苹果的单价为2.5元/kg，求香蕉的单价(设香蕉的单价为x元/kg)；
(3)长方形的周长是14，长与宽之比为4∶3，则长方形的长和宽各是多少(设长方形的长为4x，宽为3x)?
解：(1)40%x＋ eq \f(1,3)＝－ eq \f(1,3)x；
(2)5x＋2.5×6＝27.5；
(3)2(4x＋3x)＝14.
◆活动5 课堂小结
1．方程的概念．
2．列方程的方法．
实际问题 eq \(―――→,\s\up7(设未知数，用含有未知数的等式),\s\d5(表示相等关系))方程
1．作业布置
(1)教材P118 习题5.1第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 一元一次方程
教师备课 素材示例
●悬念激趣 小游戏——猜年龄
师：如果告诉我你的年龄乘2再减10等于几，我就能猜出你的年龄，试一下．如果把我的年龄乘2再减10的话，结果等于60，谁能“猜”出我的年龄呢？你能告诉我，你是怎么“猜”出来的吗？要想发现其中的奥秘需要同老师一起来学习……
【教学与建议】教学：把猜年龄的小游戏转化为数学问题，导入课题，激发学生的学习热情．建议：先让学生说数，老师猜年龄，再让同学之间做这个游戏，引导用方程解决最简单．
●置疑归纳 丢番图是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道的很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．
上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛，五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉，悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．
——出自《希腊诗文选》．
你能用方程求出丢番图去世时的年龄吗？大家讨论一下．
我们小学也学过方程，利用所学的知识可以设他的年龄为x岁，列方程为：
eq \f(1,6)x＋ eq \f(1,12)x＋ eq \f(1,7)x＋5＋ eq \f(1,2)x＋4＝x.
你对方程有什么认识？列方程解决实际问题的关键是什么？
【教学与建议】教学：从一古代数学趣味题入手，有效地激发了学生的学习兴趣，唤起了他们的求知欲望．建议：教师引导学生列方程解答．
·命题角度1 辨别一元一次方程
一元一次方程满足的条件：(1)是方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的次数都是1，系数不为0；(4)含有未知数的式子都是整式．
【例1】下列各式中，是一元一次方程的为(C)
A．2＋4＝6 B．x－y＝－3
C．3x－1＝1－3x D．7x＋5
【例2】若关于x的方程2xa－9＝0是一元一次方程，则a的值为__1__．
·命题角度2 方程的解
一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．
【例3】下列方程中，解为x＝2的是(D)
A．4x＝3 B．5x＋9＝0 C． eq \f(5,6)x＝0 D．5x－10＝0
·命题角度3 利用方程的解求待求字母的值
将方程的解代入原方程，由此得到关于待求字母的方程．
【例4】 已知关于x的方程3x＋a＝0的解是x＝2，则a的值为__－6__．
·命题角度4 根据实际问题列一元一次方程
此类题型重点考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，再根据等量关系列出方程．
【例5】在“爱护环境，建设家乡”的活动中，七(1)班学生回收饮料瓶共10 kg，其中男生回收饮料瓶的质量是女生回收饮料瓶的质量的4倍，设女生回收饮料瓶x kg，根据题意，可列方程为(D)
A．4(10－x)＝x B．x＋ eq \f(1,4)x＝10 C．4x＝10＋x D．4x＝10－x
【例6】长方形的周长为24 cm，长比宽多2 cm，求它的长和宽分别是多少．
解：设长为x cm，则宽为__(x－2)__cm.依题意列方程为__2(x＋x－2)＝24__．
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1．理解什么是一元一次方程．
2．理解方程的解和解方程是两个不同的概念．
3．根据条件列简单的一元一次方程．
▲重点
一元一次方程的概念．
▲难点
找等量关系列方程．
◆活动1 新课导入
已知一幅孔子挂图的面积是6 m2，长是3 m，求此幅图的宽是多少．
(1)算术方法：__6÷3＝2(m)__；
(2)如果设此幅图的宽是x m，你能列方程求出这幅图的宽吗？
列方程为：__3x＝6__．
◆活动2 探究新知
1．一列客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地，A，B两地间的距离是多少？
提出问题：
(1)A，B两地间的距离是多少？
(2)你会用算术方法解决这个问题吗？怎样列算式？
(3)如果设A，B两地相距x km，那么客车从A地到B地的行驶时间是多少？卡车从A地到B地的行驶时间是多少？
(4)问题中的等量关系是什么？
(5)你能列出方程吗？列出的方程有什么特点？
学生完成并交流展示．
2．教材P114 例2上面部分．
(1)当x为何值时，等号左右两边相等．
(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值是方程的解，x＝5就是方程1.2x＋1＝0.8x＋3的解.
3．教材P114 例2及思考．
提出问题：
(1)你能独立完成例2吗？
(2)什么是方程的解？
(3)什么叫作一元一次方程？一元一次方程需要具备哪些条件？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．只含有__一__个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是__1__，这样的方程叫作一元一次方程．
2．一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的__解__．求方程的解的过程，叫作__解方程__．
◆活动4 例题与练习
例1 如果方程(m－1)x＋2＝0是表示关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是(B)
A．m≠0 B．m≠1 C．m＝－1 D．m＝0
例2 已知式子：①3－4＝－1；②2x－5y；③1＋2x＝0；④6x＋4y＝2；⑤3x2－2x＋1＝0.其中，是等式的有__①③④⑤__，是一元一次方程的有__③__．(均填序号)
例3 下列方程中，解为x＝2的是(C)
A．3x－2＝3 B．4－2(x－1)＝7
C．－x＋6＝2x D． eq \f(1,2)x＋1＝0
例4 检验下列方程后面括号内的数是不是方程的解．
(1)3x－1＝2(x＋1)－4；(x＝－1)
(2) eq \f(6x－5,3)＝3(x－2).(x＝ eq \f(1,3))
解：(1)当x＝－1时，方程3x－1＝2(x＋1)－4的左边＝3×(－1)－1＝－4，右边＝2×(－1＋1)－4＝－4，方程左、右两边的值相等，
所以x＝－1是方程3x－1＝2(x＋1)－4的解；
(2)当x＝ eq \f(1,3)时，方程 eq \f(6x－5,3)＝3(x－2)的左边＝ eq \f(6×\f(1,3)－5,3)＝－1，右边＝3×( eq \f(1,3)－2)＝－5，方程左、右两边的值相等，
所以x＝ eq \f(1,3)不是方程 eq \f(6x－5,3)＝3(x－2)的解．
练习
1．教材P115 练习第1，2题．
2．下列各式是一元一次方程的是(D)
A．x2－2x＝1 B．x－1＝ eq \f(1,x) C．y＋3＝x－4 D． eq \f(x,2)－ eq \f(x,3)＝1
3．下列说法正确的是(B)
A．方程x－3＝1的解是x＝－2 B．方程 eq \f(1,2)x－2x＝6的解是x＝－4
C．方程－ eq \f(1,3)x＝2的解是x＝－ eq \f(3,2) D．方程3x－4＝ eq \f(5,x)(x－3)的解是x＝3
4．若方程(|m|－2)x2－(m＋2)x－6＝0是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)判断x＝3，x＝－ eq \f(3,2)，x＝ eq \f(2,3)是否是方程的解．
解：(1)因为方程(|m|－2)x2－(m＋2)x－6＝0是关于x的一元一次方程，所以|m|－2＝0，且m＋2≠0，所以m＝2；
(2)由(1)知，原方程为－4x－6＝0.易得x＝－ eq \f(3,2)是方程的解，x＝3，x＝ eq \f(2,3)不是方程的解．
◆活动5 课堂小结
1．方程及一元一次方程的概念．
2．体会方程在实际生活中的应用．
3．方程的解的概念，能判断一个值是不是方程的解．
1．作业布置
(1)教材P118 习题5.1第3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
5.1.2 等式的性质
●情景导入 同学们，谁能讲讲“曹冲称象”的故事？
小时候的曹冲是多么聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的质量，用天平测量一个物体的质量就是其中的一种常用方法．
现在认识一下天平，然后解答下列问题：
eq \a\vs4\al()
1.底座 2.托盘器
3．托盘 4.标尺
5．平衡螺母 6.指针
7．分度盘 8.游码
天平有什么作用呢？要让天平平衡应该满足什么条件？
如果天平在平衡的条件下，左盘放着质量为(2x＋3)g的物体，右盘放着质量为3x g的物体，列式为__2x＋3＝3x__，则x的值为__3__．
【教学与建议】教学：通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平，直观地展现方程的求解过程．建议：充分发挥学生的主动性，回顾小学解方程知识类比新知识．
●类比导入 用观察的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解．你能用这种方法求出下列方程的解吗？
(1)4x－5＝23；(2)0.28－0.13y＝0.27y＋1；(3) eq \f(x＋2,5)＝ eq \f(3x－5,7)－1.
解：(1)可以得到x＝7，(2)(3)较复杂，观察比较困难．
要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须要研究等式的性质．
【教学与建议】教学：让学生感受到自己具有的知识已不能够解决现有问题，从而激发学生的求知欲．建议：可让学生尝试解这两个复杂的方程，然后小组讨论．
·命题角度1 等式的性质
此种题型考查理解等式的性质．
【例1】下列结论不正确的是(C)
A．若x＝y，则m＋x＝m＋y B．若x＝y，则mx＝my
C．若mx＝my，则x＝y D．若 eq \f(x,m)＝ eq \f(y,m)，则mx＝my
【例2】填写下列各等式变形的依据及方法：
(1)若3x＋1＝2，则3x＝2－1，应用的是等式的性质__1__，变形的方法是__3x＋1－1＝2－1__.
(2)若－2x＝－6，则x＝__3__，应用的是等式的性质__2__，变形的方法是__－2x÷(－2)＝(－6)÷(－2)__.
·命题角度2 利用等式的性质解方程
利用等式的性质可以把方程转化为x＝m的形式．
【例3】下列方程的变形，符合等式性质的是(D)
A．由2x－3＝7得2x＝7－3 B．由2x－3＝x－1得2x－x＝－1－3
C．由－3x＝5得x＝5＋3 D．由－ eq \f(1,4)x＝1得x＝－4
【例4】利用等式的性质解方程．
(1)3x＝2x＋12; (2) eq \f(5,12)x－ eq \f(1,3)x＝ eq \f(1,4).
解：(1)x＝12；(2)x＝3.
·命题角度3 等式的性质的应用
此类型题综合利用等式的性质1和性质2判断含有字母的等式变形是否成立，特别要注意除数不能为0.
【例5】已知 eq \f(1,2)ax＋b－3＝0.下列每一步变形是否一定成立？若成立，请说明变形的依据；若不成立，请说明理由．
(1) eq \f(1,2)ax＋b＝3；(2) eq \f(1,2)ax＝3－b；(3)ax＝6－2b；(4)x＝ eq \f(6－2b,a).
解：(1)一定成立．根据等式的性质1，等式两边加3；
(2)一定成立．根据等式的性质1，等式两边减b；
(3)一定成立．根据等式的性质2，等式两边乘2；
(4)不一定成立．理由：当a＝0时，a不能作除数，此时等式不成立．
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1．认识并掌握等式的性质．
2．应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x＝m”的形式．
▲重点
等式的性质．
▲难点
利用等式的性质解方程．
◆活动1 新课导入
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40 cm，栽种后每周树苗长高约5 cm，大约几周后树苗长高到1 m?
如果设x周后树苗长高到1 m，那么可以得到方程：__40＋5x＝100__．你能求出x吗？
解：x＝12.
◆活动2 探究新知
教材P115 内容．
提出问题：
等式可以用a＝b来表示．
(1)如果a＝b，那么是否有b＝a?
(2)如果a＝b，b＝c，是否有a＝c?
解答：
(1)等式两边可以交换；
(2)相等关系可以传递．
提出问题：
(1)等式两边加(或减)同一个正数，结果是否相等？
(2)等式两边乘同一个正数，结果是否相等？
(3)等式两边除以同一个不为0的正数，结果是否相等？
(4)上述改成负数，结果还成立吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．等式的性质1：等式两边加(或减)__同一个数(或式子)__，结果仍__相等__，即：如果a＝b，那么a±c__＝__b±c.
2．等式的性质2：等式两边乘__同一个数__，或除以__同一个不为0的数__，结果仍__相等__，即：如果a＝b，那么ac__＝__bc；如果a＝b，c__≠0__，那么 eq \f(a,c)__＝__ eq \f(b,c).
◆活动4 例题与练习
例1 教材P116 例3.
提出问题：
(1)根据等式的性质填空．
(2)说出结果是依据等式的哪一条性质经过如何变形得到的．
学生完成并交流展示．
例2 教材P116 例4.
例3 下列根据等式的性质变形正确的是(B)
A．由－ eq \f(1,3)x＝ eq \f(2,3)y，得x＝2y B．由3x－2＝2x＋2，得x＝4
C．由2x－3＝3x，得x＝3 D．由3x－5＝7，得3x＝7－5
例4 下面是小明将等式3x－2y＝2x－2y变形的过程：
3x－2y＝2x－2y
3x＝2x(第一步)
3＝2(第二步)
小明第一步变形的根据是等式两边__加2y__，第二步变形得出了错误的结论，其原因是__x有可能为0__．
例5 如图，天平左边放着3个乒乓球，右边放着5.4 g的物体和一个乒乓球，天平恰好平衡，如果设一个乒乓球的质量为x g.
(1)请你列出一个含有未知数x的方程；
(2)说明所列的方程是哪一类方程；
(3)利用等式的性质求出x的值．
解：(1)3x＝x＋5.4；
(2)一元一次方程；
(3)3x＝x＋5.4.方程两边减x，得2x＝5.4，方程两边除以2，得x＝2.7.
练习
1．教材P117 练习第1，2题．
2．下列等式的变形，正确的是(B)
A．如果a＝b，那么 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c)
B．如果 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c)，那么a＝b
C．如果a2＝3a，那么a＝3
D．如果 eq \f(2x＋1,3)－1＝x，那么2x＋1－1＝3x
3．根据等式的性质填空．
(1)8＋m＝2×4＋__m__；
(2)如果x＝y，那么x＋12＝y＋__12__；
(3)如果△＝□－3，那么△×9＝(□－3)×__9__；
(4)如果m＝n，那么m÷3＝n÷__3__＝m×7＝n×7.
4．利用等式的性质解下列方程：
(1)x－9＝6；(2)3－ eq \f(1,3)x＝2；(3)4(x＋1)＝－20.
解：(1)x＝15；(2)x＝3；(3)x＝－6.
◆活动5 课堂小结
1．等式的性质．
2．利用等式的性质解方程．
1．作业布置
(1)教材P118 习题5.1第4，5，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思