2025年八年级数学开学摸底考（江苏苏州专用）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考

这是一份2025年八年级数学开学摸底考（江苏苏州专用）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考，共29页。试卷主要包含了考试范围，若不等式组无解，则的取值范围为，若 ，，则 等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：苏科版2024七下全部内容+八上三角形、实数的初步认识
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少？若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A．B．
C． D．
4．多顶式是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．11B．C．D．11或
5．若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为－1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．1.6
7．如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形，连接．若阴影部分的面积和为11，面积为7，则的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：①一定是等边三角形；②；③的周长等于线段的长；④．其中正确的结论是（ ）
A．②③B．①④C．②③④D．①②③④
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9．若 ，，则 ．
10．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设 ．
11．正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ．
12．如果多项式乘积中不含关于x的一次项，那么常数 ．
13．若关于的方程组的解，也是方程的解，则 ．
14．为了响应国家低碳生活的号召，更多的市民放弃开车选择自行车出行，市场上的自行车销量增加，某种品牌自行车专卖店抓住商机搞促销活动，对原进价为元，标价为元的某款自行车进行打折销售，若要保持利润率不低于，则这款自行车最多可打 折．
15．如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ．
16．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．
三、解答题（本题共11小题 ，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：
(1)
(2)
18．（5分）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
19．（6分）（1）解方程组
（2）解不等式组
20．（6分）某超市销售A、B两种型号的篮球，已知采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元．
(1)该超市采购1个A型篮球和1个B型篮球分别需要多少元？
(2)若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购B型篮球多少个？
21．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，都在格点上．按下列要求画图：
(1)画出将向右平移8个单位长度后的，则的面积为 ；
(2)画出将以点为旋转中心、顺时针旋转后的；
(3)请利用格点用无刻度直尺画出与的对称轴．
22．（8分）【阅读理解】
体会求的整数部分和小数部分的过程．
∵，即，
∴，即
∴的整数部分是3，小数部分是．
【解决问题】
已知a是的整数部分，b是的小数部分，求：
(1)a，b的值；
(2)的算术平方根．
23．（8分）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
24．（8分）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式的最小值
解：原式．
，
．
当时，的最小值是2．
(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．
(2)已知的三边满足．求的周长．
25．（10分）定义：若关于，的二元一次方程的一个解为，当时，则称为二元一次方程的“系相关解”．例如：是二元一次方程的“2系相关解”．
(1)二元一次方程的“1系相关解”为 ；
(2)下列二元一次方程存在“2系相关解”的是 （填序号）；
①；②；③．
(3)为二元一次方程的“系相关解”，且，求的取值范围．
26．（10分）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒．
(1)在图1中，________；
(2)随着的旋转，与之间的数量关系为________；
(3)当t为何值时，直线与的一条边平行？
27．（10分）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（苏州专用）
数学•全解全析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法．需逐一验证各选项是否符合对应运算法则．
【详解】选项A：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，，故错误．
选项B：根据积的乘方法则，需对每个因数分别平方，，故错误．
选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，选项结果正确．
选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减， ，故错误．
故选C．
3．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少？若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．
根据题意，找出等量关系，列方程组即可．
【详解】解：∵五只雀、六只燕，共重两
∴，
∵五只雀、六只燕，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重
∴四只雀、一只燕的重量和五只燕、一只雀的重量相等
∴，
∴，
故选：．
4．多顶式是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．11B．C．D．11或
【答案】D
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
根据完全平方式的结构特征，确定中间项的系数，进而求出k的值．
【详解】解：∵为完全平方式，
∴
∴
∴或，
故选：D．
5．若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了由不等式组解集情况求参数，解不等式①得，解不等式②得，由不等式组解集的判断方法得，即可求解；能熟练利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行求解是解题的关键．
【详解】
解：由①得
，
由②得，
，
原不等式组无解，
，
解得：，
故选：A．
6．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为－1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．1.6
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
【详解】解：∵正方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∵点表示的数是，且点在点右侧，
∴点表示的数为：，
故选：．
7．如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形，连接．若阴影部分的面积和为11，面积为7，则的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】此题主要考查了完全平方公式，三角形的面积公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．设，则，进而得，根据图中阴影部分的面积之和为11，得，整理得，再根据面积为7得，整理得，，则，再根据得，由此即可得出的长．
【详解】解：设，
，
，
∵四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，，
∵图中阴影部分的面积之和为11，
，
整理得：，
又∵面积为7，
，
整理得：，
，
，
，
，
．
故选：D．
8．如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：①一定是等边三角形；②；③的周长等于线段的长；④．其中正确的结论是（ ）
A．②③B．①④C．②③④D．①②③④
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质．由题意得，，从而得出可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出，，从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出，，所以，，再求解即可判断④．
【详解】解：关于，的对称点分别是点，点，
∴，，
故②正确，
，的大小没有确定，
的大小没有确定，
不一定是等边三角形，故①错误，
关于，的对称点分别是点，点，
为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，
∴，，
的周长，
故③正确，
如图，设与交于点E，与交于点F，
由题意得，
，
，
∵，，
∴，，
，
，
，
，故④正确，
综上，正确的是②③④，
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9．若 ，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆用即可求解，掌握同底数幂乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设 ．
【答案】每一个内角都大于
【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．写出与结论相反的假设即可．
【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于．
故答案为：每一个内角都大于．
11．正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出关于x的一元一次方程求解即可求出x的值，然后再求出m的值即可．
【详解】解：∵正数m的两个平方根分别是和，
∴，解得：．
∴，
∴这个正数m的值为．
故答案为：．
12．如果多项式乘积中不含关于x的一次项，那么常数 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算，直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．
【详解】解：
，
∵的乘积中不含的一次项，
∴，
∴，
故答案为：．
13．若关于的方程组的解，也是方程的解，则 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，解一元一次方程，掌握二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键．利用加减消元法解方程组，可得，把分别代入方程，得出关于k的一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解：，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∵关于x，y的方程组的解，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
14．为了响应国家低碳生活的号召，更多的市民放弃开车选择自行车出行，市场上的自行车销量增加，某种品牌自行车专卖店抓住商机搞促销活动，对原进价为元，标价为元的某款自行车进行打折销售，若要保持利润率不低于，则这款自行车最多可打 折．
【答案】九
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
设这款自行车打折，根据利润率等于利润除以进价，利润等于售价减进价，售价等于标价乘以折扣列出不等式，解不等式求解即可．
【详解】解：设这款自行车打折，根据题意得，
解得
即这款自行车最多可打九折．
故答案为：九
15．如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
∵点D关于的对称点分别记作点E，F，
∴，
又∵，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
16．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．
【答案】5或
【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键；
设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可．
【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，
由题意得，，，，
所以，，
∵，
∴，
当时，则，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
当时，则，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
综上，动点M的运动速度是2或；
故答案为：5或．
三、解答题（本题共11小题 ，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，平方差公式，
对于（1），两次根据平方差公式计算即可；
对于（2），根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
＝．
18．（5分）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查平方根，立方根解方程，掌握平方根，立方根的计算是关键．
（1）移项，运用平方根计算即可；
（2）运用立方根计算即可．
【详解】（1）解：，
移项得，，
∵，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
解得，．
19．（6分）（1）解方程组
（2）解不等式组
【答案】（1）（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知以上知识是解题的关键．
（1）利用加减消元法解答，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
，得，
解得．
将代入①，得．
∴原方程组的解是
（2）
由①，得．
由②，得．
原不等式组的解集是．
20．（6分）某超市销售A、B两种型号的篮球，已知采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元．
(1)该超市采购1个A型篮球和1个B型篮球分别需要多少元？
(2)若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购B型篮球多少个？
【答案】(1)该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元
(2)最多可采购型篮球30个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设该超市采购1个型篮球需要元，1个型篮球需要元，根据采购金额相等列出方程组，求出解；
（2）设采购型篮球个，则采购型篮球个，根据总费用列出不等式，求出解集．
【详解】（1）解：设该超市采购1个型篮球需要元，1个型篮球需要元．
根据题意，得
解得
答：该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元；
（2）解：设采购型篮球个，则采购型篮球个．
根据题意，得，
解得，
所以的最大值为30．
答：最多可采购型篮球30个．
21．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，都在格点上．按下列要求画图：
(1)画出将向右平移8个单位长度后的，则的面积为 ；
(2)画出将以点为旋转中心、顺时针旋转后的；
(3)请利用格点用无刻度直尺画出与的对称轴．
【答案】(1)图见解析，面积为4
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，成轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）将点分别向右平移8个单位得到点，再顺次连接即可，再根据三角形的面积公式求解；
（2）将点分别以点为旋转中心、顺时针旋转得到点，再顺次连接即可；
（3）取格点，过点即可作出直线，根据成对称轴的性质即可得到过点的直线即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
面积为；
（2）解：如上图，即为所求；
（3）解：如上图，直线即为所求．
22．（8分）【阅读理解】
体会求的整数部分和小数部分的过程．
∵，即，
∴，即
∴的整数部分是3，小数部分是．
【解决问题】
已知a是的整数部分，b是的小数部分，求：
(1)a，b的值；
(2)的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根．
（1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值；
（2）由（1）知a，b的值，代入计算，再根据算术平方根即可解答．
【详解】（1）解：∵，即，
∴，即，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∴的算术平方根是5．
23．（8分）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则；
（）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长；
【详解】（1）证明：如图所示，连接，，
∵是的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．（8分）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式的最小值
解：原式．
，
．
当时，的最小值是2．
(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．
(2)已知的三边满足．求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）把原式可变形为，再仿照题意求解即可；
（2）把所给三个等式相加得到，则可变形得到，由非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案．
【详解】（1）解；
，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长．
25．（10分）定义：若关于，的二元一次方程的一个解为，当时，则称为二元一次方程的“系相关解”．例如：是二元一次方程的“2系相关解”．
(1)二元一次方程的“1系相关解”为 ；
(2)下列二元一次方程存在“2系相关解”的是 （填序号）；
①；②；③．
(3)为二元一次方程的“系相关解”，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，③
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式，新定义等知识，理解新定义是解题的关键；
（1）设是二元一次方程的“1系相关解”，则可得二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设是二元一次方程的“2系相关解”，即，与每个方程组成二元一次方程组，求解即可判断；
（3）由题意得，则；由，可求得m的取值范围；再由即可求得k的取值范围．
【详解】（1）解：设是二元一次方程的“1系相关解”，则得，
解得：，故；
故答案为：；
（2）解：设是二元一次方程的“2系相关解”，即 ；
当时，，解得；
当时，方程组无解；
当时，，解得；
综上，二元一次方程存在“2系相关解”的是①，③；
故答案为：①，③；
（3）解：由题意得，则．
∵，
∴．
解得．
∴．
∴，即．
26．（10分）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒．
(1)在图1中，________；
(2)随着的旋转，与之间的数量关系为________；
(3)当t为何值时，直线与的一条边平行？
【答案】(1)15
(2)
(3)当秒或5秒或9秒时，直线与的一条边平行
【分析】本题主要考查平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
（1）根据角的和差关系可进行求解；
（2）根据题意可分当在△内部时和当在△外部时，进而分类求解即可；
（3）由题意可知，然后可分当时，当时，当时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：如图①，，，
；
故答案为：15；
（2）解：当在内部时，如图，
，
，
当在外部时，如图，
；
综上所述：与之间的数量关系为，
故答案为：；
（3）解：由题意得：，，
当时，如图所示：
，
解得：；
当时，如图所示：
，
，
解得：；当时，如图所示：
、、三点在同一直线上，
，
解得：；综上所述：当与△的一边平行时，或5或9．
27．（10分）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
【答案】(1)或
(2)点Q的运动速度为或
【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
（1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可；
（2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∴．
分类讨论：①当点P在上时，不存在；
②当点P在上时，此时，如图，
∴，
∴；
③当点P在上时，此时，如图，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
∴．
综上可知当或时，的面积等于面积的一半；
（2）解：∵，
∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时．
设点Q的运动速度为，
①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图，
∵，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴此时点Q的运动速度为；
②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图，
∵，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴此时点Q的运动速度为．
综上可知点Q的运动速度为或．