2025年八年级数学开学摸底考（上海专用 沪教版2024）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考

这是一份2025年八年级数学开学摸底考（上海专用 沪教版2024）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考，共24页。试卷主要包含了考试范围，如图，C为线段上一动点，已知在△ABC中，∠A，计算的结果是 等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形、实数、二次根式、一元二次方程
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11
C．2，2，3D．10，5，5
4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
8．（22-23八年级上·上海·开学考试）已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠A= 度．
9．计算的结果是 ．
10．若，则 ．
11．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 °．
12．如图，已知，，，那么 ．
13．在实数范围内因式分解： ．
14．不等式的解集是
15．如图，点为的外心，若，，则的大小为 ．
16．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为 （用、表示）．
17．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ．
18．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于 ．
三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题4分）解方程：
20．（本题4分）计算：
21．（本题6分）（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
22．（本题5分）（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程：
如图，，，，试说明
解：，，（已知），
，（________），
（________）
（________）
（已知），
________________（等量代换）．
（________________）．
23．（本题9分）（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为．
(1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：；
(2)直接写出的长（用含t的代数式表示）；
(3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）
24．（本题9分）（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围．
25．（本题9分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
26．（本题12分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE＋∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD＋∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝ ；
（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积．
（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒．
①当t＝ 秒时，；
②当t＝ 秒时，OF⊥BC；
③当t＝ 秒时，点F恰好落在射线EB上．
2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形、实数、二次根式、一元二次方程
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不符合定义，故A不符合题意；
B．是等式，不是不等式，排除，故B不符合题意；
C．含有一个未知数x，次数为1，且两边为整式，符合一元一次不等式定义，故C符合题意；
D．中不是整式，不符合条件，故D不符合题意．
故选：C．
2．在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【详解】解：，，， ，，是有理数，是无理数，无理数的个数是1个，
故选：A．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11
C．2，2，3D．10，5，5
【答案】C
【详解】解：A中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
B中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
C中，三条线段能构成三角形，故符合题意；
D中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
故选：C．
4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设．
故选：B．
5．如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：、平分，，
，故不符合题意；
B、，
不能判断，故B符合题意，
C、，
平分
，故C不符合题意；
D、，
，故D不符合题意；
故选：B．
6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由于和是等边三角形，
可知，，，
∴，，
∴，
∴，，
可判断A正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，可判断B错误；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故结论C正确；
∵可判断D正确．
故选： B．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意可知：当两边同时除以时，不等式方向发生了改变，所以；
故答案为：．
8．（22-23八年级上·上海·开学考试）已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠A= 度．
【答案】40
【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，
根据三角形内角和为180°，可得
2x+3x+4x=180°，
解得x=20，
则∠A=2x=40°，
故答案为：40．
9．计算的结果是 ．
【答案】3
【详解】解：，
故答案为：3
10．若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
则，
故答案为：．
11．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 °．
【答案】127
过点B作，如图，根据平行线的性质和垂直的定义可得，进而可得，证明即可得解．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：127．
12．如图，已知，，，那么 ．
【答案】/75度
【详解】解：延长交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：
13．在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【详解】解：当时，
令，
∴，
∴，
解得或，
∴，
故答案为：．
14．不等式的解集是
【答案】
【详解】解：移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得；
故答案为：．
15．如图，点为的外心，若，，则的大小为 ．
【答案】
利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【详解】∵点为的外心，，，
∴点P为三边垂直平分线的交点，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
故答案为：．
16．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为 （用、表示）．
【答案】
【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
故答案为：
17．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】4
【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示：
∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，即，
∴，
又∵，
∴（平行线间间距相等），
∴的最小值为4，
故答案为：4.
18．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于 ．
【答案】/36度
根据邻补角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出得到，根据角平分线的定义得到求得，再根据“优美三角形”的定义求解即可．
【详解】解：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
，
是“优美三角形”，
，
，即，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题4分）解方程：
【详解】解：，
因式分解得，
∴或，
∴，．
20．（本题4分）计算：
【详解】解：原式
．
21．（本题6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
该解集在数轴上表示为：
22．（本题5分）补全下列推理过程：
如图，，，，试说明
解：，，（已知），
，（________），
（________）
（________）
（已知），
________________（等量代换）．
（________________）．
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
23．（本题9分）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为．
(1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：；
(2)直接写出的长（用含t的代数式表示）；
(3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
根据点的运动过程可知，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为，
当时，，
当时，，
答：当时，的长为；当时，的长为．
（3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、，
当时，如图，有4个等腰三角形：、、、，
答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个．
24．（本题9分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围．
【详解】（1）解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为；
解方程得，
，
方程①是不等式组的“关联方程”；
解方程得，
，
方程②是不等式组的“关联方程”；
解方程得，
方程③不是不等式组的“关联方程”；
故答案为：①②；
（2）解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为；
解方程得，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
，
解得．
25．（本题9分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
【详解】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．
又∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF．
即：EF＝BE+CF．
（2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF．
26．（本题12分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE＋∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD＋∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝ ；
（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积．
（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒．
①当t＝ 秒时，；
②当t＝ 秒时，OF⊥BC；
③当t＝ 秒时，点F恰好落在射线EB上．
【详解】解：（1）在△AEC和△CDB中，
∵，
∴△AEC≌△CDB（AAS），
故答案为：AAS；
（2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°，
由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，
∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD＝（4+6）×16﹣2×﹣2×＝80﹣18﹣12＝50，
故答案为：50；
（3）如图3，过作于E，
由旋转得：，
∵，
∴，
∴，
∴＝8；
（4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t，
①如图4，∵，
∴∠POF+∠OPC＝180°，
∵∠POF＝120°，
∴∠OPC＝60°，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠OPC，
∴，
∴∠OPC=∠E=60°，∠COP=∠CBE=60°，
∴∠OPC=∠COP，
∴CO=PC，即2＝3﹣t，解得∶t＝1，
即当t＝1秒时，；
②如图5，∵OF⊥BC，
∴∠FOC＝90°，
∵∠FOP＝120°，
∴∠COP＝30°，
∴OC＝2PC，
2＝2（3﹣t），t＝2，
即当t＝2秒时，OF⊥BC；
③如图6，∵∠FOP＝120°，
∴∠FOB+∠COP＝60°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠COP+∠OPC＝60°，
∴∠FOB＝∠OPC，
∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°，
∴△PCO≌△OBF，
∴PC＝OB＝1＝t﹣3，
t＝4，
即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上．
故答案为：①1；②2；③4．