专题25 线段和角的动态问题（3知识点+9大题型）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：9大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
1.线段动点问题：涉及动点在已知线段上运动，常利用线段的和差关系、中点性质来求解线段长度，有时会结合方程思想，根据运动时间和速度表示出相关线段长度，进而解决如求线段长、运动时间、定值等问题。
2.角的动态问题：包括角的旋转等动态变化，常依据角平分线性质、角的和差关系来计算角度，或探究角度之间的数量关系及定值等。
3.新定义问题：出现如“倍距点”“美好点”“巧点”等新定义，需要根据定义结合线段或角的知识，通过分析动点位置和数量关系来解决问题。
【题型1 线段上含动点求线段长问题】
例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，．
(1)当点E是的中点时，求的长度；
(2)当时，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查线段的和差，线段的中点．
（1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，；
（2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答．
【详解】（1）∵，，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设，则，
，
∵，
∴，
解得，
∴．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，已知线段，，点C 为线段上的一动点，点 D、E分别是和的中点．
(1)若 ，求的长；
(2)试说明无论取何值（不超过），的长不变．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段和差的计算，熟练运用相关的性质认真计算是解题的关键．
（1）由，点D、E分别是和的中点，即可推出，即可求解；
（2）通过点D、E分别是和的中点，即可推出，即可推出结论．
【详解】（1）解：因为，
所以，
因为是的中点，是的中点，
所以，，
所以；
（2）解：因为是的中点，是的中点，
所以，，
因为，
所以无论取何值，的长不变．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·分类讨论思想 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）；
(2)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
【答案】(1)，
(2)不发生变化．其值为7
【知识点】线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数
【分析】（1）根据，点A表示的数为8，即可得出B表示的数；再根据动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点P表示的数；
（2）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，B在A点左边，，
∴点B表示的数是，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
∴点P表示的数是，
故答案为：，；
（2）解：线段的长度不发生变化，都等于7；理由如下：
∵①当点P在点A、B两点之间运动时：
，
②当点P运动到点B的左侧时：
，
∴线段的长度不发生变化，其值为7．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点；
①若点C恰为的中点，则 ；
②若，则 ；
（2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；
【答案】（1）①6；② 6；（2）
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键．
（1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答；
（2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点，
∴,
∵D、E分别是、的中点,
∴,,
∴；
②∵，，
∴,
∵D、E分别是、的中点,
∴,,
∴，
故答案为：6，6；
（2）∵点D、E分别是、的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型2 线段上含动点求定值问题】
例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点．
(1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________．
(2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不会，的长为定值
【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案；
（2）分及两种情况分类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0，
根据题意可知：，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
若点P表示的有理数是6，
，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
故答案为：；；
（2）解：的长不会发生改变；
设点表示的有理数为（且），
当时，，，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
当时，，，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒．
(1)当时，______cm，______cm；
(2)用含有t的代数式表示运动过程中的长；
(3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由．
【答案】(1)6；2
(2)；；
(3)不变；．
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键．
（1）根据即可得出结论；先求出的长，再根据C是线段的中点即可得到的长；
（2）分类讨论即可；
（3）直接根据中点定义即可得到结论；
【详解】（1）解：当时，，
此时，，
∵C是线段的中点，
则；
故答案为：6；2；
（2）解：①∵B是线段上一动点，沿A→D→A以每秒的速度往返运动，
∴当时，，
∴；
②当时，，
∴；
（3）解：不变；
因为的中点为E，C是的中点，
所以，，
所以，．
2．（24-25七年级上·天津·期末）如图，线段，动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，为的中点．
(1)出发多少秒后，？
(2)当点在线段上运动时，试说明为定值；
(3)当点在延长线上运动，为的中点时，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．
【答案】(1)出发6秒后
(2)见解析
(3)正确的结论是①的长度不变，为定值12
【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度．
（1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可．
（2），，，表示出后，化简即可得出结论．
（3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断．
【详解】（1）解：设出发x秒后，
当点P在点B左边时，，，，
由题意得，，
解得：；
当点P在点B右边时，，，，
由题意得：，方程无解；
综上可得：出发6秒后．
（2）解：由（1）知，，，
；
（3）解：选；
由（1）知，，，，
（定值）；
变化．
3．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为t秒（），M为的中点．
(1)用含t的代数式表示的长度为_________．
(2)在点运动的过程中，当t为多少时，？
(3)在点运动的过程中，点N为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值．
(4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出t值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)证明见解析，值为12．
(4)t为18或9．
【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式
【分析】（1）分两种情况，点在点的两侧讨论即可得出结论；
（2）根据建立关于t的方程，解方程即可；
（3）分两种情况讨论，当P在延长线上运动时，点在点右侧，根据线段中点的定义得出，．再根据即可求解；
（4）易知不能是的中点，分是的中点，是的中点两种情况讨论求解．
【详解】（1）解：如解图1，当点在点左侧，，

如解图2，当点P在B点右侧，，
∴，
∵，，
∴
（2）∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得或；
∴当或秒时， ；
（3）如解图1，当点P在B点左侧，即点P在线段上运动时，
∵是线段的中点，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∵的长度是一个常数，
∴的长度不变，其值为；
如解图2，当点在点右侧，即点P在延长线上运动时，
∵N是线段的中点，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∵的长度是一个常数，
∴的长度不变，其值为；
（4）由题意可知，不可能是的中点．
如果是的中点，那么，
∴，
解得，符合题意；
如果B是的中点，那么
∴，
解得，符合题意；
综上，在P点的运动过程中，存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，此时t为18或9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．
【题型3 线段上含动点求时间问题】
例题：（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点与点相遇时，求的值．
(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．
(3)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度
(3)
【知识点】两点间的距离、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
（1）根据，依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解；
（2）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解；
（3）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵点在线段上，，，
∴，
依题意，，
当点与点相遇时，
解得：；
（2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，
，
解得：，
相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则
，
解得：，
综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度；
（3）∵，
当在线段上时，，此时，
∵，
∴，
解得：（舍去）
当在线段上时，，此时，
∵，
∴，
解得：，
∴
【变式训练】
1．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点运动时间为秒．
(1)当时，① ；
②此时线段的长度 ．
(2)①点沿点运动时， ；（用含的代数式表示的长）
②点沿点运动时， ．（用含的代数式表示的长）
(3)在运动过程中，是否存在点B，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①4；②3
(2)①；②
(3)存在，或
【知识点】列代数式、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据各线段长度间的关系，求出线段，的长度；（2）根据各线段长度间的关系，用含的代数式表示出线段的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）利用路程速度时间，可求出当时，的长，利用，可求出的长，再结合是线段的中点，即可求出的长；
（2）当点沿点运动时，利用的长点的速度点的运动时间，可用含的代数式表示出线段的长；当点沿点运动时，利用的长的长点的速度点的运动时间，即可用含的代数式表示出线段的长；
（3）分及两种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．
【详解】（1）解：根据题意得：当时，，
，
是线段的中点，
此时线段．
故答案为：①4；②3；
（2）解：根据题意得：当点沿点运动时，；
当点沿点运动时，．
故答案为：①；②；
（3）解：存在，当时，，，，
根据题意得：，
解得：；
当时，，，，
根据题意得：，
解得：．
答：在运动过程中，存在点，使得，的值为或．
2．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，直线上有，两点，，点是线段上一点，．
(1)________，________；
(2)若点以的速度从点出发沿直线向右运动，同时，点以的速度从点出发沿直线也向右运动，设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．
①当为何值时，；
②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也沿直线向右运动，当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止运动时，点也停止运动，在此过程中，点行驶的总路程是多少？
【答案】(1)，
(2)①或②
【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，两点间的距离：
（1）由于，点O是线段上的一点，，则，依此即可求解；
（2）①分在线段上和在线段的延长线上时，两种情况讨论求解即可；
②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程速度时间即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）①由题意，得：，，则：，
当在线段上时，，由题意，得：，
解得：，
当在线段的延长线上时，，由题意，得：，
解得：；
综上：或；
②∵，
∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：，
当点与点重合时，所需时间为：秒，
∴点行驶的总路程是．
3．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是．
(1)当点在上运动时，为何值，能使？
(2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由；
(3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和）
【答案】(1)
(2)不能，见解析
(3)或
【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用；
（1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案；
（2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的时间，再比较即得结论；
（3）当在线段上，在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，当、均在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，由此构建关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：运动时间是，
当，，，
若，则，
解得：；
（2）解：点停止运动时，用的时间为秒，
点在线段上运动的时间为，秒，
点在线段上运动的时间为，秒，
秒
∵
点不能追上点；
（3）解：当在线段上，在射线上时，它们相距，
根据题意得：当时，
，解得：．
当、均在射线上时，它们相距，
根据题意得：当时
，解得：或（舍）．
综上所述：或
【题型4 线段上含动点的新定义型问题】
例题：（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且．
(1)求线段，的长；
(2)点是线段上的动点，线段的中点为，设．
①请用含有的式子表示线段，的长；
②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值．
【答案】(1)，
(2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键．
（1）由线段，点C在线段AB上，且，可得答案；
（2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值．
【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段AB上，且，
∴，；
（2）解：①当点在线段上时，
∵点是的中点，
∴，
，；
当点在线段上时，
∵点是的中点，
∴，
，；
②当点在线段上时，则，
∴，
解得：，
当点在线段上时，
则，
∴，
解得：，
综上：的值为或．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”．
(1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）；
(2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______；
(3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值．
【答案】(1)是
(2)或或
(3)或或或或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差
【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“智慧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键．
（1）根据“智慧点”的定义即可求解；
（2）分，，，进行讨论求解即可；
（3）秒后，，，然后分当为的“智慧点”时，为的“智慧点”时，列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，
∵点为的中点，
∴点C是线段的“智慧点”，
故答案为：是；
（2）解：∵，点C是线段的“智慧点”，
∴①时，则；
②时，则；
③时，则，
综上所述，点C为线段的“智慧点”，则等于或或，
故答案为：或或；
（3）解：秒后，，，
由题意可知点不可能为的“智慧点”，
则当为的“智慧点”时，
①时，则，
∴，
解得：；
②当时，则，
∴，
解得：；
③当时，
∴，
解得：；
当为的“智慧点”时，
④当时，则，
∴，
解得：（舍）；
⑤当时，则，
∴，
解得：；
⑥当时，
∴，
解得：，
综上所述：t值为或或或或．
2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若，，判断点C是否为线段的巧点，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或4.5或，理由见详解
【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解；
（2）根据题意求出，，然后根据“巧点”的定义判断即可；
（3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得，
②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解．
【详解】（1）解：C是线段的中点，
，
C是线段的“巧点”；
故答案：是；
（2）解：∵，，
∴，
∴
∴
∴点C是线段的巧点；
（3）解：t为或4.5或，理由如下：
①当是、的“巧点”，
(ⅰ)如图，
，
，，
，
，
解得：，
(ⅱ)如图，
，
，，
，
，
解得：；
②当是、的“巧点”，
(ⅰ)如图，
，
，，
，
，
，
，
解得：；
(ⅱ)如图，
，
同理可得：
，
解得：，此种情况不合题意，舍去；
综上所示：当t为或4.5或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”．
【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键．
3．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】
如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”）
（2）【新知应用】
如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______．
（3）【拓展探究】
已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数．
【答案】（1）是；（2）；（3）或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用．
（1）根据“妙点”的定义即可判断；
（2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可；
（3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数．
【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点，
∴，
∴点为线段的“妙点”
故答案为：是
（2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7，
∴，
又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为，
∵，
∴，
解得：，
点对应的数为，
故答案为：
（3），
∴，
∴
设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则，
依题意：或，
即或，
解得：或，
又当点，相遇时，，得，
即，
当时，，故点在数轴上对应的数为，
当时，，故点在数轴上对应的数为，
故答案为：或
【题型5 利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题】
例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）．
【答案】6或24/24或6
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值．
【详解】解：，
，
当直线恰好平分锐角时，如图：
，
此时，三角板旋转的角度为，
；
当在的内部时，如图：
三角板旋转的角度为，
；
的值为：6或24．
故答案为：6或24．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东广州·期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：当时，，分以下两种情况：
如图1所示，
，
；
如图2所示，
，
综上所述，的度数为或
根据答案为：或．
2．（23-24七年级下·天津和平·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ．
【答案】或或或
【知识点】几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
综上：为或或或．
故答案为：或或或．
【题型6 几何图形中动角求定值问题】
例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
(1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．
(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．
(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．
（1）根据即可求解；
（2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解；
（3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：∵，
∴，
平分，平分，
，
，
；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分．
(1)如图①，当重合时，求的值；
(2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不变，是定值，见解析．
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．
∠AOE-∠BOF的值是定值，
（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可；
（2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∴；
（2）解：是定值．理由如下：
由题意：，
则，，
∵平分，平分，
∴，
，
．
∴的值是定值，定值为．
2．（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分．
【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由；
【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数.
【答案】（1）；（2）不会变化，定值为；（3）
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
（1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解；
（2）根据角平分线的定义得出：，
，然后代入求值即可；
（3）根据，，求出，根据角平分线的定义求出，，根据角度间的关系，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（2）的值是定值；理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
，
∴．
∴的值是定值，定值为；
（3）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
3．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．
(1)当射线，重合时，______，
(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______；
(3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部．
①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；
②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）直接根据角之间的关系进行求解即可；
（2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可；
（3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴当射线，重合时，，
故答案为：；
（2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则；
如图2-2所示，当是的角平分线时，则；
如图2-3所示，当是的角平分线时，则；
综上所述，的度数为或或；
（3）解：①如图所示，∵，，
∴，
∴；
②度数不发生变化，为定值，理由如下：
∵，，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴．
【题型7 几何图形中动角探究数量关系问题】
例题：（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
(1)在图1中，若，求的度数；
(2)通过问题1的解答，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)若改变其中一个三角板的位置，如图2，则第（2）小题的结论还成立吗？若仍成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)成立，理由见解析
【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了几何图中角度的计算、三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出，再由计算即可得解；
（2）根据图形计算即可得解；
（3）根据周角等于计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴；
（3）额：成立，理由如下：
．
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，是直角三角形，，平分．
(1)填空：与互为余角的角是 ；
(2)延长至点F，射线平分吗？为什么？
(3)将图1中的绕点O运动至图2所示位置，在的内部．若，则与之间是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．
【答案】(1)，
(2)射线平分，理由见解析
(3)与之间存在一定的数量关系，，理由见解析
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了余角、邻补角、角平分线等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．
（1）根据余角的定义，即可获得答案；
（2）首先根据题意，可得，，进而可知，再证明，由等量代换可知，即可证明结论；
（3）根据题意可知，进而可得，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即与互余，
∴与也互余，
又∵，
∴与互为余角的角是，．
故答案为：，．
（2）射线平分，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴射线平分．
（3）与之间存在一定的数量关系，．
理由如下：∵，
∴，
∴．
2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）【实践操作】三角尺中的数学问题．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点A叠放在一起，．
①若，则________；若，则________；
②请直接写出与之间的数量关系________；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，试猜想与的数量关系，并给出证明．
(3)如图3，已知点O为直线上一点，在直线上方，，，在的内部，在直线下方，则________．
【答案】(1)①；；②；
(2)
(3)
【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了余角和补角，与三角板有关的角度求解，解决本题的关键是利用数形结合找出角之间的关系．
（1）①根据三角板的角度特征表示出进而得出结果；
②由角度关系从而得出结果；
（2）由角度的关系得出进而得出结果；
（3）根据角度关系结合题意得到从而求出结果．
【详解】（1）解：①∵，
，
，
；
当，
，
②．
故答案为：；；；
（2）解：，
理由：，
，
；
（3）解：，，在的内部，
，
故答案为：．
3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置．
(1)当平分时，______；
(2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由；
②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)①，理由见详解 ②
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查了动角问题，角平分线的有关计算，角的和差；
（1）由角的和差得，即可求解；
（2）由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解；
（3）①由角的和差得，，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解；
②由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解．
能熟练利用角平分线及角的和差进行计算是解题的关键．
【详解】（1）解：，
平分，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：
，
，
，
射线平分，射线平分，
，
，
，
；
（3）解：①，
，
，
，
射线平分，射线平分，
，
，
，
；
②如图，
，
，
，
，
射线平分，射线平分，
，
，
，
．
【题型8 几何图形中动角求运动时间问题】
例题：（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）一副三角尺按照如图所示的方式摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，．将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动．设三角尺的运动时间为秒．
(1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数（内圈刻度）为__________°．
(2)__________时，边平分．
(3)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．
①当为何值时，边平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)100
(2)15
(3)①10.5 ；②存在；或 13
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题
【分析】本题主要考查了角的旋转，量角器的识别，表示出与是解本题的关键．
（1）当秒时，由旋转知，即可得出结论；
（2）由旋转知，旋转角为，进而建立方程，即可得出结论；
（3）①由旋转建立方程，即可得出结论；
②分两种情况表示出，用，建立方程即可得出结论．
【详解】（1）解：当秒时，由旋转知，，
∵，
∴开始时边经过量角器刻度对应的度数是，
∴旋转5秒时，边经过量角器刻度对应的度数是，
故答案为：100 ；
（2）解：由旋转知，旋转角为，
∵边平分且，
，
秒，
故答案为：15 ；
（3）解：①同（2）的方法得，，
秒，
②当边在边左侧时，
由旋转知，，
，
，
秒，
当边在边右侧时，
由旋转知，，
，
，
，
秒，
即秒或13秒时，．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段AB上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止．
(1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数；
(2)当从初始位置旋转至时，求此时的值；
(3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算；
（1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解；
（2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解；
（3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，为的角平分线，
∴，
∵从初始位置旋转秒，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，为的角平分线，
∴，
∵从初始位置旋转秒，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：由（2）可得，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动．
(1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________；
(2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题：
①当____________秒时，边首次落在直线上；
②当____________秒时，；
(3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值．
【答案】(1)
(2)①10 ；②6或8
(3)4.5或6
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用等知识，数形结合是解题的关键，注意分类讨论．
（1）利用三个角的和为一个平角即可求解；
（2）①求出的度数即可求解；
②分两种情况求解：当边在的外部；当边在的内部；求出旋转t秒后，由已知即可求解；
（3）分两种情况：边相遇前与相遇后考虑即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
故答案为：．
（2）解：①边首次落在直线上，旋转了，
则旋转的时间为：（秒）；
故答案为：10；
②当边在的外部时；
顺时针旋转t秒，则，；
则，
解得：；
当边在的内部时；
顺时针旋转t秒，则，；
则，
解得：；
综上，当或8时，；
故答案为：6或8；
（3）解：当边相遇前，如图，
∵，，
∴，
解得：；
当边相遇后，如图，
∵，，
∴，
解得：；
综上，t的值为4.5或6．
【题型9 几何图形中动角之新定义型问题】
例题：（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________；
【问题推广】
（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）
【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，；
【知识点】用代数式表示式、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．
（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；
（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；
（3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可．
【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，
故答案为：是；
（2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：
当时，如图，
∵，
∴；
当时，如图，
∵
∴；
当时，如图，
∵，
∴；
综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”．
（3）∵射线是的“量尺金线”，
∴在的内部，
∴在的外部；
分三种情况：
①如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
②如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】
在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．
例如：图中，则射线是的“奇妙线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）
【类比分析】
（2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数；
【变式拓展】
（3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”．
【答案】（）是；（）或或；（）或或．
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】（）根据奇妙线定义即可求解；
（）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解；
（）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
【详解】（）解：根据角平分线的定义可知：
由平分，
得：，
则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，
故答案为：是；
（）当平分时，
∴，
当时，
∴，
，
∴，
则综上可知：的度数为或或；
（）由题意得：如图，
则，，则，
∵射线是的“奇妙线”，
∴，即，解得：，
，即，解得：，
，即，解得：，
综上可知：或或．
一、单选题
1．（23-24七年级上·全国·期末）如图，点是线段上一动点，且不与点，重合，点，分别是线段，的中点，若，则线段的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】C
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了两点间的距离的计算及线段的和差关系，在解答此题时，采用了数形结合的数学思想．根据线段的和差关系得出与，的数量关系，然后将已知数值代入解答即可．
【详解】解：∵点，分别是线段，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是直角，， 射线从边出发，绕点O逆时针旋转直至与边重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是（ ）
A．平分B．平分
C．平分D．平分
【答案】D
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线定义的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果．
【详解】解：当射线旋转到时，
则平分，
故A选项可能出现，不符合题意；
当射线旋转到时，
则平分，
故B选项可能出现，不符合题意；
当射线旋转到时，
则平分，
故C选项可能出现，不符合题意；
∵，
若，
则，
∴，
但是直角为90°，且射线从边出发，绕点O逆时针旋转直至与边重合，
故在中不可能有一个大于的，
故D选项不可能出现，符合题意，
故选：D．
3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（ ）

A．6对B．7对C．8对D．9对
【答案】B
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可．
【详解】解：∵，射线平分，
∴；
∵
∴互为“优角”；
∵，
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
故共有7对角互为“优角”
故选∶B．
4．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：设点对应的数是，
点A对应的数为，且，
，
，
点对应的数是，故①错误；
由题意得：（秒），
点到达点时，，故②正确；
当点在点右边时，
，，
，
（秒），
当点在点左边时，
，，
，
（秒），
综上，时，或；故③错误；
，始终为，的中点，
，，
当点在点右边时，




，
当点在点左边时，




，
在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有2个，
故选：C．
二、填空题
5．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，数轴上，A两点的距离为3，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为 （，是整数）．
【答案】/
【知识点】数轴上两点之间的距离、图形类规律探索、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了两点间的距离，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离原点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度．
【详解】解：由题可知：，
此第一次跳动到的中点处时，，
同理，第二次从点跳动到处，，
同理，跳动次后，，
故线段的长度为：，
故答案为：．
6．（24-25七年级上·山东临沂·期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．请写出美好点所表示的数是 ．

【答案】或
【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差
【分析】本题考查了数轴上两点的距离，还有新定义“美好点”，理解这个新定义是解决问题的关键．根据“美好点”的定义，，再根据，再根据与线段的位置关系分情况讨论，先求得，从而可得表示的数．
【详解】解：∵是美好点，
∴，
∵点所表示的数为，点所表示的数为2，
∴，
∴当在线段上时，，则，点表示的数是；
当在线段外时，由可得在右边，，则，点表示的数是；
故答案为：或．
7．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图①，为直线上一点，过点作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了涉及角平分线的几何图形中角度计算问题，过点作直线平分，根据，以及平分，求得，当与重合时，所在直线恰好平分，当与重合时，所在直线恰好平分，分开列式计算即可．
【详解】解：过点作直线平分，如图：
∵，
，
∵平分，
∴，
∴，
当与重合时，所在直线恰好平分，
则（秒）；
当与重合时，所在直线恰好平分，
则（秒）；
故答案为：或 ．
8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线．
（1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ；
（2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ．
【答案】 或
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键．
（1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得；
（2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，分别为与的3分位线，（，），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵射线、分别为与的5分位线，
∴，∴,
或，∴；
，∴，
或，∴，
当, 时，
，
∵，
∴不合；
当，时，
，
∴，
∴；
当，时，
，
∴；
当，时，
，
不合．
∴或．
故答案为：或．
三、解答题
9．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点О在线段上，线段，，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．
(1)如图1，点M，N分别为的中点，求线段的长；
(2)求运动时间为多少时，点P与点О重合？
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段的和与差
【分析】本题考查了线段和差的计算，线段的中点；
(1)根据题意，得，，整理得到，计算即可．
(2)设运动时，P，O重合，根据路程、速度与时间的关系列式计算即可．
【详解】（1）∵线段，，
∴，
∵点M，N分别为的中点，
∴，
∴．
（2）设运动时，P，O重合，
∵点P以的速度沿向右运动，
∴，
当P，O重合时，根据题意，得，
解得
故经过5秒钟，两点重合．
10．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点．
(1)如图，若，求线段的长；
(2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________；
①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大．
(3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长．
【答案】(1)线段的长为
(2)④
(3)画图见解析，的长为或
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论．
（1）先根据题意求出的长度，再根据中点的定义求解即可；
（2）根据题意将的长度表示出来，即可进行解答；
（3）分两种情况画出图形，讨论即可：当点D在上时，当点D在延长线上时．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的中点，
∴
∴
∴线段的长为；
（2）解：∵随着的变长，越来越靠近点，当是点与重合，然后点离点越来越远，
故选：④；
（3）解：当点在上时，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴；
当点在延长线上时，
∵，，
∴．
∵是的中点，
∴，
∴．
综上所述：的长为或．
11．（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．
(1)________，________，________．
(2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________．
(3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示）
(4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
【答案】(1)；；
(2)8；
(3)；
(4)的值不变，且
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、有理数的加减混合运算、线段的和与差
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类：
（1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则；
（2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为；
（3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案．
【详解】（1）解：∵是最大的负整数，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：设点P表示的数为x，
由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，
∴，
∴，
∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，
∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，
又∵当点P与点B重合时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：8；；
（3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
故答案为：；；
（4）∵，，
∴
，
∴的值不变，且．
12．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当、运动到如图1的位置时，．
(1)求的度数；
(2)如图2，射线、分别为、的平分线，求的度数．
(3)如图3，若、是外部的两条射线，且平分平分，当绕着点旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不会发生变化，
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查角平分线的定义、余角和补角的意义．
（1）根据角的和差关系，由，可得出答案；
（2）由角平分线的定义可得，进而求出的度数；
（3）由，，可以得出，再根据平分，平分，进而求出答案．
【详解】（1）解：，
，
又，
，
，
答：的度数为；
（2）解：是的平分线，
，
又是的平分线，
，
，
，
答：的度数为；
（3）解：的大小不会发生变化．
，，
，
，
，
又平分，平分，
，
，
．
13．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】
如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中．
（1） 填空： ；
（2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒．
①当时， ；
②当t为何值时，？
【拓展延伸】
（3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【答案】（1）75；（2）①；②；（3）不变，
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数．
（1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得；
（3）根据角平分线定义得，，代入计算即得
【详解】解：（1）∵，，
∴；
故答案为：75；
（2）①当时，，
故答案为：69；
②由题意得，，则，
∴
∵，
∴，
解得，
∴当t为时，；
（3）的度数不会发生变化，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
，
∴
，
∴的度数不会发生变化，它的度数为．
14．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以
(1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的K值 ；
(2)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，求点P关于点A的K值；
(3)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点表示的数为p，点A．点B分别表示数a、，若，请直接写出a、p需满足条件： ．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题即可．
（1）根据点P是线段的中点，得出，再利用定义求出的值即可．
（2）分两种情况进行讨论：当点P、A在点O的同侧时，当点P、A在点O的异侧时，分别求出结果即可；
（3）点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，得出，根据，得出，即可得出，从而得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点P是线段的中点，
∴，
∴ ，
故答案为：1；
（2）解：当点P、A在点O的同侧时，
∵，
∴
∴；
当点P、A在点O的异侧时，
∵，
∴
∴；
综上分析可知，或．
（3）解：∵点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当，解得：；
当，解得：；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，数轴上两点间距离，绝对值意义，新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．
15．（24-25七年级上·广东深圳·期末）国庆期间，南山区某校七年级同学在观看灯光秀表演后，以“角内特殊射线”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出倍分线的定义，在探究中感受数学之美．
新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线．如图1，若，则为的3倍分线；若，则也是的3倍分线．
【特例感知】
（1）若，射线为的1倍分线，则______；
（2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
如图2，在上方作（），使为的2倍分线；
【类比探究】
（3）如图3，点在同一条直线上，为直线上方的一条射线．
①若射线分别为和的4倍分线（，），当时，______；
②在①的条件下，当时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请求出的度数；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②不变，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、尺规作一个角等于已知角、角平分线的有关计算
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据射线为的1倍分线的定义求解；
（2）在的上方作即可；
（3）①求出可得结论；②的度数不变．根据n倍分线的定义以及角的和差定义求解．
【详解】解：（1）∵射线为的1倍分线，
∴．
故答案为：；
（2）如图2中，即为所求；
（3）①∵，
∴，
∵射线分别为和的4倍分线（，），
∴，，
∴．
故答案为：；
②的度数不变．
理由：∵射线分别为和的四倍分线，
，，
∴，，
∴
，
∵，
∴．
∴的度数不发生变化．