专题24 余角和补角（2知识点+5大题型）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024）

这是一份专题24 余角和补角（2知识点+5大题型）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024），文件包含专题24余角和补角2知识点+5大题型+思维导图+过关测原卷版docx、专题24余角和补角2知识点+5大题型+思维导图+过关测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 余角、补角的概念
1.余角概念
余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.
2.补角概念
补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.
知识点01 余角、补角的性质
1.余角的性质：同角或等角的余角相等.
2.补角的性质：同角或等角的补角相等.
【题型1 求一个角的余角】
例题：（24-25七年级下·山东济南·期中）一个角是，则这个角的余角的度数是 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知，那么的余角度数为 ．
2（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，则的余角大小是 ．
3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的余角的大小是 ．
【题型2 求一个角的补角】
例题：（24-25七年级上·湖南郴州·期末）已知，那么的补角等于 ．
【变式训练】
1．（2024七年级上·河南·专题练习）若，则的补角的余角为 ．
2．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知点在点的南偏西方向上，点在点的北偏西方向上，则的补角的度数为 ．
3．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）若，则的余角等于 ，补角等于 ．
【题型3 利用一元一次方程求余角或补角】
例题：（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知一个角的余角的2倍比它的补角少，求这个角的度数．
2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数．
3．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的度数．
【题型4 与余角、补角有关的计算】
例题：（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，O为直线上一点，平分，．

(1)若，求的度数；
(2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O．
(1)若，求的度数．
(2)判断和的大小关系，并说明理由．
(3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由．
2．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，直线与相交于点O，，．
(1)图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来）
(2)如果比的小，求的度数．
3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知，在内部，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若平分，请说明：；
(3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由．
【题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用】
例题：（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知．
(1)与是什么关系？为什么？
(2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？
【变式训练】
1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合．
(1)若，求的度数；
(2)写出以C为顶点的所有相等的角；
(3)请找出与之间的数量关系，并说明理由．
2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________．
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与之间的数量关系为___________．
3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一起，如图1．

(1)，则_____．
(2)写出图1中相等的角；
(3)若变大，如何变化，说明原因；
(4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与相等的角．
一、单选题
1．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，点在直线上，过点作，射线在内，过点作，则下列结论错误的是（ ）
A．B．与互为余角
C．D．与互为补角
3．（2025·北京西城·二模）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北张家口·模拟预测）如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（ ）
A．减小B．减小
C．减小D．与的和不变
5．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如果的余角等于，则的补角等于 ．
7．（24-25七年级下·山东威海·期中）一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ．
8．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如果和互余，则下列式子中：①；②；③；④能表示补角的是 ．（填序号）
9．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ．
10．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ．
三、解答题
11．（24-25七年级上·吉林·期末）已知一个角比它的余角的5倍小，求这个角的度数．
12．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设．
(1)当时，求α的余角的度数；
(2)若，射线平分，求的度数．
13．（24-25七年级上·山东滨州·期末）如图，直线，相交于点，和互余.是的平分线．
(1)请直接写出图中的余角，以及的补角；
(2)如果，求的度数．
14．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，直线，相交于点O，以O为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且．
(1)如图1，若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ；
(2)如图2，平分，平分，求证：．
15．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分．
(1)图中的补角为 ．
(2)若，求的度数．
(3)与存在怎样的数量关系？
16．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，求的度数；
(3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由．
17．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”．
(1)若，且在内部，则__°；
(2)若恰好平分，请求出的度数；
(3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由．
18．（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】
在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：
【构造联系】
（1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________．
【深入探究】
（2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；
在中，，，．
①当平分时，求的度数．
②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数．